1. 幾種常見的函數(shù)模型
2. 指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)的比較
1. 下列說法正確的是(　D　)
2. 已知 f ( x )＝ x 2， g ( x )＝2 x ， h ( x )＝lg2 x ，當(dāng) x ∈(4，＋∞)時(shí)，對(duì)三個(gè)函數(shù)的增 長速度進(jìn)行比較，下列選項(xiàng)中正確的是(　B　)
4. [2023湖南省株洲市模擬]“每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)”可以用數(shù)學(xué)來詮釋，假如你今天的 數(shù)學(xué)水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，則經(jīng)過 y 天之后，你的數(shù)學(xué)水平 x 與 y 之間的函數(shù)關(guān)系式是(　C　)
①在[ t 1， t 2]這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；
②在 t 2時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；
③在 t 3時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；
④甲企業(yè)在[0， t 1]，[ t 1， t 2]，[ t 2， t 3]這三段時(shí)間中，在[0， t 1]的污水治 理能力最強(qiáng).
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ?.
[解析]　由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在 t 1時(shí)刻高于乙企業(yè)，而在 t 2時(shí)刻甲、乙 兩企業(yè)的污水排放量相同，故在[ t 1， t 2]這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙 企業(yè)強(qiáng)，故①正確；甲企業(yè)污水排放量與時(shí)間的關(guān)系圖象在 t 2時(shí)刻切線的斜率的絕 對(duì)值大于乙企業(yè)，故②正確；在 t 3時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于污水達(dá) 標(biāo)排放量，故都已達(dá)標(biāo)，③正確；甲企業(yè)在[0， t 1]，[ t 1， t 2]，[ t 2， t 3]這三段時(shí)間 中，在[ t 1， t 2]這段時(shí)間的污水治理能力最強(qiáng)，故④錯(cuò)誤.
方法技巧判斷函數(shù)圖象與實(shí)際變化過程是否吻合的方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：若易構(gòu)建函數(shù)模型，則先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選擇函數(shù) 圖象.(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)， 驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.
命題點(diǎn)2　已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題
例2 (1)[2024武漢部分學(xué)校調(diào)考]某企業(yè)在生產(chǎn)中為倡導(dǎo)綠色環(huán)保的理念，購入污水 過濾系統(tǒng)對(duì)污水進(jìn)行過濾處理，已知在過濾過程中污水中的剩余污染物數(shù)量 N (mg/L)與時(shí)間 t (h)的關(guān)系為 N ＝ N 0e－ kt ，其中 N 0為初始污染物的數(shù)量， k 為常數(shù).若 在某次過濾過程中，前2個(gè)小時(shí)過濾掉了污染物的30％，則可計(jì)算前6個(gè)小時(shí)共能過 濾掉污染物的(　C　)
已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10 m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為 p 1， p 2， p 3，則(　ACD　)
方法技巧已知函數(shù)模型求解實(shí)際問題的步驟(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)；(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn).
命題點(diǎn)3　構(gòu)造函數(shù)模型求解實(shí)際問題例3 (1)[2024四川省敘永一中模擬]凈水機(jī)通過分級(jí)過濾的方式使自來水逐步達(dá)到純 凈水的標(biāo)準(zhǔn)，其中第一級(jí)過濾一般由孔徑為5微米的 PP 棉濾芯(聚丙烯熔噴濾芯)構(gòu) 成，其結(jié)構(gòu)是多層式的，主要用于去除鐵銹、泥沙、懸浮物等各種大顆粒雜質(zhì)，假 設(shè)每一層 PP 棉濾芯可以過濾掉三分之一的大顆粒雜質(zhì)，若過濾前水中大顆粒雜質(zhì) 含量為80 mg/L，現(xiàn)要滿足過濾后水中大顆粒雜質(zhì)含量不超過2 mg/L，則 PP 棉濾芯 的層數(shù)最少為(參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　A　)
(2)[2023南昌市模擬]某市出臺(tái)兩套出租車計(jì)價(jià)方案，方案一：2千米及2千米以內(nèi)收 費(fèi)8元(起步價(jià))，超過2千米的部分每千米收費(fèi)3元，不足1千米按1千米計(jì)算；方案 二：3千米及3千米以內(nèi)收費(fèi)12元(起步價(jià))，超過3千米不超過10千米的部分每千米收 費(fèi)2.5元，超過10千米的部分每千米收費(fèi)3.5元，不足1千米按1千米計(jì)算.以下說法正 確的是(　C　)
方法技巧構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟(1)建模：抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；(2)推理、演算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上 的解；(3)評(píng)價(jià)、解釋：對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)、解釋，返回到原來的 實(shí)際問題中去，得到實(shí)際問題的解.
2. [命題點(diǎn)2/多選]第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)在四川成都舉行，大運(yùn)會(huì)吉祥物“蓉 寶”備受人們歡迎.某大型超市舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，推出“單次消費(fèi)滿1 000元可參加抽 獎(jiǎng)”的活動(dòng)，獎(jiǎng)品為若干個(gè)大運(yùn)會(huì)吉祥物“蓉寶”.抽獎(jiǎng)結(jié)果分為五個(gè)等級(jí)，等級(jí) x 與獲得“蓉寶”的個(gè)數(shù) f ( x )的關(guān)系式為 f ( x )＝ p ＋e kx ＋ b ，已知三等獎(jiǎng)比四等獎(jiǎng)獲得 的“蓉寶”多2個(gè)，比五等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”多3個(gè)，且三等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”數(shù)是 五等獎(jiǎng)的2倍，則(　ABD　)
3. [命題點(diǎn)3]某省2023年退休人員基本養(yǎng)老金，采取定額調(diào)整、掛鉤調(diào)整和適當(dāng)傾斜 相結(jié)合的辦法.(1)定額調(diào)整：每人每月增加41元養(yǎng)老金.(2)掛鉤調(diào)整：按以下兩部分 計(jì)算增加養(yǎng)老金，①按2022年12月本人基本養(yǎng)老金的1.25％確定月增加額；②按本 人繳費(fèi)年限分段確定月增加額，其中，對(duì)15年(含)以下的部分，每滿1年，月增加1.2 元，16年(含)以上至25年的部分，每滿1年，月增加1.4元，26年(含)以上至35年的部 分，每滿1年，月增加1.6元，36年(含)以上至45年的部分，每滿1年，月增加1.8元， 46年(含)以上的部分，每滿1年，月增加2元.(3)適當(dāng)傾斜：2022年12月31日前，年滿 70周歲不滿75周歲、年滿75周歲不滿80周歲和年滿80周歲的退休人員，每人每月分 別增加15元、30元和60元養(yǎng)老金.張女士今年57周歲，繳費(fèi)年限是34年，2022年12月 的基本養(yǎng)老金為3 000元，則張女士2023年基本養(yǎng)老金的月增加額為(　B　)
[解析]　張女士年齡不滿70周歲，沒有“適當(dāng)傾斜”的部分，只有定額調(diào)整41元和掛鉤調(diào)整的兩部分，其中按2022年12月本人基本養(yǎng)老金的1.25％確定的月增加額為3 000×1.25％＝37.5(元)；按本人繳費(fèi)年限分段確定的月增加額為15×1.2＋10×1.4＋(34－15－10)×1.6＝46.4(元).因此張女士2023年基本養(yǎng)老金的月增加額為41＋37.5＋46.4＝124.9(元)，故選B.
1. [2023合肥市二檢]Malthus模型是一種重要的數(shù)學(xué)模型.某研究人員在研究一種細(xì)菌 數(shù)量 N ( t )與時(shí)間 t 的關(guān)系時(shí)，得到的Malthus模型是 N ( t )＝ N 0e0.46 t ，其中 N 0是 t ＝ t 0時(shí)刻的細(xì)菌數(shù)量，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若 t 時(shí)刻細(xì)菌數(shù)量是 t 0時(shí)刻細(xì)菌數(shù)量的6.3倍，則 t 約為(ln 6.3≈1.84)(　C　)
[解析]　因?yàn)?t 時(shí)刻細(xì)菌數(shù)量是 t 0時(shí)刻細(xì)菌數(shù)量的6.3倍，所以 N 0e0.46 t ＝6.3 N 0，即 e0.46 t ＝6.3，則0.46 t ＝ln 6.3≈1.84，得 t ≈4.故選C.
3. [2022北京高考]在北京冬奧會(huì)上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化 碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化 碳所處的狀態(tài)與 T 和lg P 的關(guān)系，其中 T 表示溫度，單位是K； P 表示壓強(qiáng)，單位是 bar .下列結(jié)論中正確的是(　D　)
[解析]　對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng) T ＝220， P ＝1 026，即lg P ＝lg 1 026＞lg 103＝3 時(shí)，根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于固態(tài)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng) T ＝270， P ＝128， 即lg P ＝lg 128∈(lg102，lg103)，即lg P ∈(2，3)時(shí)，根據(jù)圖象可知，二氧化 碳處于液態(tài)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng) T ＝300， P ＝9 987，即lg P ＝lg 9 987＜lg104 ＝4時(shí)，根據(jù)圖象可知，二氧化碳處于固態(tài)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng) T ＝360， P ＝ 729，即lg P ＝lg 729∈(lg102，lg103)，即lg P ＝lg 729∈(2，3)時(shí)，根據(jù)圖象 可知，二氧化碳處于超臨界狀態(tài).故選D.
4. [多選/2024廣東七校聯(lián)考]盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家經(jīng)過研 究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，例如，地震時(shí)釋放的能量 E (單位：焦耳)與地震里氏震 級(jí) M 之間的關(guān)系為lg E ＝4.8＋1.5 M ，則下列說法正確的是(　ACD　)
5. [2024江蘇常州模擬]牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：θ＝(θ1－θ0)e－ kt ＋θ0，其中 t 為時(shí)間(單位：min)，θ0為環(huán)境溫度，θ1為物體初始溫度，θ為冷卻后溫 度.假設(shè)在室內(nèi)溫度為20°C的情況下，一杯飲料由100 ℃降低到60 ℃需要20 min，則 此飲料從60 ℃降低到25 ℃需要 ?min .
(1)當(dāng)投入 A ， B 兩個(gè)項(xiàng)目的資金相同且 B 項(xiàng)目比 A 項(xiàng)目一年創(chuàng)造的利潤高時(shí)，求投 入 A 項(xiàng)目的資金 x (單位：萬元)的取值范圍.
綜上，投入 A 項(xiàng)目的資金 x (單位：萬元)的取值范圍為(10，40).
(2)若該公司共有資金30萬，全部用于投資 A ， B 兩個(gè)項(xiàng)目，則該公司一年分別投入 A ， B 兩個(gè)項(xiàng)目多少萬元時(shí)，創(chuàng)造的總利潤最大？
8. [2024江蘇省南京市第九中學(xué)模擬]天宮空間站的軌道高度為400～450千米，傾角 為42～43度，設(shè)計(jì)壽命為10年，長期駐留3人，總質(zhì)量可達(dá)180噸，以進(jìn)行較大規(guī)模 的空間應(yīng)用.某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)在空間站進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)開始時(shí)，某物質(zhì)的含量為1.2 mg/cm3，每 經(jīng)過1小時(shí)，該物質(zhì)的含量就會(huì)減少20％，若該物質(zhì)的含量不超過0.2 mg/cm3，則實(shí) 驗(yàn)進(jìn)入第二階段，那么實(shí)驗(yàn)進(jìn)入第二階段至少需要(需要的小時(shí)數(shù)取整數(shù)，參考數(shù) 據(jù)：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　B　)
10. [2024河北省衡水市第十三中學(xué)模擬]為進(jìn)一步奏響“綠水青山就是金山銀山”的 主旋律，某旅游風(fēng)景區(qū)以“綠水青山”為主題，特別制作了旅游紀(jì)念章，并決定近 期投放市場(chǎng).根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研情況，預(yù)計(jì)每枚紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià) y (單位：元)與上市時(shí)間 x (單位：天)的數(shù)據(jù)如下表
(2)記你所選取的函數(shù) y ＝ f ( x )，若對(duì)任意 x ∈[ k ，＋∞)( k ＞0)，不等式 kf ( x )－32 k －210≥0恒成立，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍.

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