1. 5年真題考點(diǎn)分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)考查，需要掌握函數(shù)零點(diǎn)的定義，難度不定，分值為5-6分
【備考策略】1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程解的關(guān)系，會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間及零點(diǎn)個(gè)數(shù)
2.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助計(jì)算工具用二分法求方程近似解
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容通常以函數(shù)為載體，考查函數(shù)零點(diǎn)，是新高考復(fù)習(xí)的重要內(nèi)容
知識(shí)講解
函數(shù)的零點(diǎn)
一般的，對(duì)于函數(shù)，我們把方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的零點(diǎn)。
零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，即，使得
注：零點(diǎn)存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點(diǎn)不一定存在
函數(shù)單調(diào)性對(duì)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響
如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，那么它的零點(diǎn)至多有一個(gè)。因此分析一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào)
4、幾個(gè)“不一定”與“一定”（假設(shè)在區(qū)間連續(xù)）
（1）若，則“一定”存在零點(diǎn)，但“不一定”只有一個(gè)零點(diǎn)。要分析的性質(zhì)與圖象，如果單調(diào)，則“一定”只有一個(gè)零點(diǎn)
（2）若，則“不一定”存在零點(diǎn)，也“不一定”沒有零點(diǎn)。如果單調(diào)，那么“一定”沒有零點(diǎn)
（3）如果在區(qū)間中存在零點(diǎn)，則的符號(hào)是“不確定”的，受函數(shù)性質(zhì)與圖象影響。如果單調(diào)，則一定小于0
5、零點(diǎn)與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號(hào)
是一個(gè)在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點(diǎn)，且，則時(shí)，；時(shí)，
6、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法
（1）可直接判斷的幾個(gè)結(jié)論：
① 若為增（減）函數(shù)，則也為增（減）函數(shù)
② 若為增函數(shù)，則為減函數(shù)；同樣，若為減函數(shù)，則為增函數(shù)
③ 若為增函數(shù)，且，則為增函數(shù)
（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：判斷的單調(diào)性可分別判斷與的單調(diào)性（注意要利用的范圍求出的范圍），若，均為增函數(shù)或均為減函數(shù)，則單調(diào)遞增；若，一增一減，則單調(diào)遞減（此規(guī)律可簡(jiǎn)記為“同增異減”）
（3）利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷——求出單調(diào)區(qū)間從而也可作出圖象
7、證明零點(diǎn)存在的步驟
（1）將所證等式中的所有項(xiàng)移至等號(hào)一側(cè)，以便于構(gòu)造函數(shù)
（2）判斷是否要對(duì)表達(dá)式進(jìn)行合理變形，然后將表達(dá)式設(shè)為函數(shù)
（3）分析函數(shù)的性質(zhì)，并考慮在已知范圍內(nèi)尋找端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的區(qū)間
（4）利用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)存在
考點(diǎn)一、求函數(shù)的零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)
1．（2024·山東青島·二模）函數(shù)的零點(diǎn)為（ ）
A．0B．1C．D．
2．（2024·江蘇·一模）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，則（ ）
A．B．
C．D．
1．（2023·上海徐匯·一模）函數(shù)的零點(diǎn)是 ．
2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有零點(diǎn)的和為（ ）
A．0B．C．D．
3．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（ ）
A．B．
C．D．
考點(diǎn)二、求方程的根及根的個(gè)數(shù)
1．（2024·浙江金華·三模）若函數(shù)，則方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2024·浙江溫州·三模）已知函數(shù)，則關(guān)于方程的根個(gè)數(shù)不可能是（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
1．（23-24高三下·遼寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（ ）
A．2B．4C．6D．8
2．（22-23高一上·上海·期末）已知，則方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)不可能為（ ）
A．5個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)
考點(diǎn)三、求圖象的交點(diǎn)及交點(diǎn)個(gè)數(shù)
1．（2024·全國(guó)·高考真題）當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．6D．8
2．（2023·全國(guó)·高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
1．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為軸上的所有整數(shù)，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)四、用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間
1．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·浙江寧波·期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
1．（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
考點(diǎn)五、根據(jù)零點(diǎn)、方程的根及圖象交點(diǎn)求參數(shù)范圍
1．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．1D．2
2．（2024·安徽合肥·三模）設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一上·重慶·期中）已知，若關(guān)于x的方程在上有解，則a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
1．（2024·全國(guó)·高考真題）曲線與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
2．（22-23高三上·河北張家口·期末）（多選）已知，方程，在區(qū)間的根分別為a，b，以下結(jié)論正確的有（ ）
A．B．
C．D．
3．（2024·天津·高考真題）若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
一、單選題
1．（23-24高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)y＝ax2＋2x＋1有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為 （ ）
A．1B．0
C．0或1D．一切實(shí)數(shù)
3．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（ ）
A．9B．10C．11D．12
4．（2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．（23-24高二下·安徽蕪湖·期中）已知函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三下·福建廈門·強(qiáng)基計(jì)劃）在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，則（ ）
A．1B．2C．3D．0
二、填空題
9．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)在所有零點(diǎn)之和為
10．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝則使得方程x＋f（x）＝m有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
一、單選題
1．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則使有零點(diǎn)的一個(gè)充分條件是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（ ）
A．0B．-1C．D．2
3．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多選題
5．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有五個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值可以為（ ）
A．B．C．D．0
6．（2024·湖南懷化·二模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為的零點(diǎn)為，則（ ）
A．B．
C．D．
三、填空題
7．（2024·寧夏銀川·二模）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的范圍
8．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
9．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
10．（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
1．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)
C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸
D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心
2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
3．（2023·天津·高考真題）設(shè),函數(shù),若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
4．（2022·天津·高考真題）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
5．（2022·北京·高考真題）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則 ； ．
6．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若，恰 有2個(gè)零點(diǎn)；
②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；
③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；
④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
7．（2021·天津·高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
8．（天津·高考真題）已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
9．（全國(guó)·高考真題）函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
A．2B．3C．4D．5
10．（浙江·高考真題）已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則
A．B．
C．D．
5年考情
考題示例
考點(diǎn)分析
關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2024年新I卷，第7題,5分
求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)
正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用
2024年新Ⅱ卷，第6題,5分
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍
函數(shù)奇偶性的定義與判斷
函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
求余弦(型)函數(shù)的奇偶性
2024年新Ⅱ卷，第9題,6分
求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)
求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值
求正弦(型)函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心
求正弦(型)函數(shù)的最小正周期
2024年新Ⅱ卷，第11題,6分
判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間
函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用
函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)
2023年新I卷，第15題,5分
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
求參數(shù)范圍
余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用
第06講 函數(shù)與方程
（5類核心考點(diǎn)精講精練）
1. 5年真題考點(diǎn)分布
2. 命題規(guī)律及備考策略
【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)考查，需要掌握函數(shù)零點(diǎn)的定義，難度不定，分值為5-6分
【備考策略】1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程解的關(guān)系，會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間及零點(diǎn)個(gè)數(shù)
2.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助計(jì)算工具用二分法求方程近似解
【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容通常以函數(shù)為載體，考查函數(shù)零點(diǎn)，是新高考復(fù)習(xí)的重要內(nèi)容
知識(shí)講解
函數(shù)的零點(diǎn)
一般的，對(duì)于函數(shù)，我們把方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的零點(diǎn)。
零點(diǎn)存在性定理
如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，即，使得
注：零點(diǎn)存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點(diǎn)不一定存在
函數(shù)單調(diào)性對(duì)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響
如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，那么它的零點(diǎn)至多有一個(gè)。因此分析一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào)
4、幾個(gè)“不一定”與“一定”（假設(shè)在區(qū)間連續(xù)）
（1）若，則“一定”存在零點(diǎn)，但“不一定”只有一個(gè)零點(diǎn)。要分析的性質(zhì)與圖象，如果單調(diào)，則“一定”只有一個(gè)零點(diǎn)
（2）若，則“不一定”存在零點(diǎn)，也“不一定”沒有零點(diǎn)。如果單調(diào)，那么“一定”沒有零點(diǎn)
（3）如果在區(qū)間中存在零點(diǎn)，則的符號(hào)是“不確定”的，受函數(shù)性質(zhì)與圖象影響。如果單調(diào)，則一定小于0
5、零點(diǎn)與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號(hào)
是一個(gè)在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點(diǎn)，且，則時(shí)，；時(shí)，
6、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法
（1）可直接判斷的幾個(gè)結(jié)論：
① 若為增（減）函數(shù)，則也為增（減）函數(shù)
② 若為增函數(shù)，則為減函數(shù)；同樣，若為減函數(shù)，則為增函數(shù)
③ 若為增函數(shù)，且，則為增函數(shù)
（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：判斷的單調(diào)性可分別判斷與的單調(diào)性（注意要利用的范圍求出的范圍），若，均為增函數(shù)或均為減函數(shù)，則單調(diào)遞增；若，一增一減，則單調(diào)遞減（此規(guī)律可簡(jiǎn)記為“同增異減”）
（3）利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷——求出單調(diào)區(qū)間從而也可作出圖象
7、證明零點(diǎn)存在的步驟
（1）將所證等式中的所有項(xiàng)移至等號(hào)一側(cè)，以便于構(gòu)造函數(shù)
（2）判斷是否要對(duì)表達(dá)式進(jìn)行合理變形，然后將表達(dá)式設(shè)為函數(shù)
（3）分析函數(shù)的性質(zhì)，并考慮在已知范圍內(nèi)尋找端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的區(qū)間
（4）利用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)存在
考點(diǎn)一、求函數(shù)的零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)
1．（2024·山東青島·二模）函數(shù)的零點(diǎn)為（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】B
【分析】令，解出即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>令，解得，
即函數(shù)的零點(diǎn)為1.
故選：B.
2．（2024·江蘇·一模）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
【詳解】令，得，則；
故，，
所以在共有4個(gè)零點(diǎn)，
故選： C.
3．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】∵函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，
∴函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
作函數(shù)、函數(shù)、函數(shù)的圖象如圖6，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，
∵函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
∴點(diǎn)A、B關(guān)于直線對(duì)稱，又∵點(diǎn)A、B在直線上，∴點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
對(duì)于A：∴，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：易知，故選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C：∵，，，∴，即選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：由零點(diǎn)存在定理易知，，∴，即，，故選項(xiàng)D正確，
故選:BCD．
1．（2023·上海徐匯·一模）函數(shù)的零點(diǎn)是 ．
【答案】/0.5
【分析】
利用對(duì)數(shù)運(yùn)算及零點(diǎn)含義可得答案.
【詳解】由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?
，令可得，解得或（舍），
故答案為：.
2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有零點(diǎn)的和為（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【分析】利用和角的余弦公式及二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，由零點(diǎn)意義求得或，再借助正余弦函數(shù)圖象性質(zhì)求解即得.
【詳解】依題意，
，
由，得或或（不符合題意，舍去），
函數(shù)是偶函數(shù)，在上的所有零點(diǎn)關(guān)于數(shù)0對(duì)稱，它們的和為0，
正弦函數(shù)的周期為，方程在的兩根和為，
在上的兩根和為，因此在上
的兩根和構(gòu)成首項(xiàng)為，末項(xiàng)為的等差數(shù)列，共有項(xiàng)，所有根的和為.
故選：B
3．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】對(duì)于A，由題意得，進(jìn)而得即可求解判斷；對(duì)于B，先明確零點(diǎn)取值范圍，由取值范圍再結(jié)合即即可求解判斷；對(duì)于C，由即以及零點(diǎn)的取值范圍即可求解判斷；對(duì)于D，結(jié)合AB以及將轉(zhuǎn)化成即可判斷.
【詳解】對(duì)于A，由題，，
所以即，
所以，故，故A正確；
對(duì)于B，由得，
故函數(shù)與圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)和與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)和的零點(diǎn)，
如圖，由圖象性質(zhì)可知，
又由A得，故，
所以，故B錯(cuò)；
對(duì)于C，由上即，以及得：
，故C對(duì)；
對(duì)于D，由AB得，，，
所以，故D對(duì).
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是由和得即，二是數(shù)形結(jié)合明確零點(diǎn)的取值范圍為且，接著對(duì)所判式子進(jìn)行變形放縮等即可判斷.
考點(diǎn)二、求方程的根及根的個(gè)數(shù)
1．（2024·浙江金華·三模）若函數(shù)，則方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，令，則，且，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，只有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，只有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，由3個(gè)解，從而得到答案.
【詳解】，
當(dāng)時(shí)，，則，
此時(shí)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，則，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
畫出函數(shù)和的圖象如下：
令得，
故，
令，則，且，
當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，只有1個(gè)解，
當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，只有1個(gè)解，
當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，由3個(gè)解，
綜上，方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為5.
故選：D
2．（2024·浙江溫州·三模）已知函數(shù)，則關(guān)于方程的根個(gè)數(shù)不可能是（ ）
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)
【答案】C
【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出的圖象，分、、三種情況，結(jié)合圖象求解即可．
【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

將原問題轉(zhuǎn)化為直線（過定點(diǎn)）與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；
所以直線與函數(shù)的圖象不可能有兩個(gè)交點(diǎn)．
故選：C．
1．（23-24高三下·遼寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】首先確定的圖象關(guān)于對(duì)稱，然后分和兩種情況進(jìn)行討論，利用數(shù)形結(jié)合的方法，在同一直角坐標(biāo)系中畫出、 ，通過判斷兩函數(shù)在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求出函數(shù)的實(shí)根和.
【詳解】因?yàn)椋?br>則，
所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)?，此時(shí)不成立，
當(dāng)時(shí)，由，即，則，
，，，
在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與，的圖象如下所示：
由圖可得與在上有且僅有個(gè)交點(diǎn)，圖象都關(guān)于，
所以所有的實(shí)根之和為.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是判斷出關(guān)于對(duì)稱，再將方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性計(jì)算.
2．（22-23高一上·上海·期末）已知，則方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)不可能為（ ）
A．5個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)
【答案】A
【分析】作出的圖象，令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)作出的圖象，再對(duì)分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（具體到每種類型時(shí)為常數(shù)）的解的個(gè)數(shù)問題.
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，，
當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
且，，，，，
作出的圖象，如圖所示：
令，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知在，上單調(diào)遞減，
在，上單調(diào)遞增，且，，則的圖象如下所示：
①當(dāng)時(shí)，令或，
則關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，關(guān)于的方程的方程也有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
即此時(shí)對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為，（以下處理方法類似）；
②當(dāng)時(shí)，令或或，此時(shí)對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為6；
③當(dāng)時(shí)，
令或或或，
此時(shí)對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為；
④當(dāng)時(shí)，或或或，此時(shí)對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為；
⑤當(dāng)時(shí)，或或，此時(shí)對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為；
⑥當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為3；
⑦當(dāng)時(shí)，，此時(shí)對(duì)應(yīng)的個(gè)數(shù)為2.
綜上可知，實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)不可能為5個(gè).
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是作出的圖象，再對(duì)分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（具體到每種類型時(shí)為常數(shù)）的根的問題.
考點(diǎn)三、求圖象的交點(diǎn)及交點(diǎn)個(gè)數(shù)
1．（2024·全國(guó)·高考真題）當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】畫出兩函數(shù)在上的圖象，根據(jù)圖象即可求解
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的的最小正周期為，
函數(shù)的最小正周期為，
所以在上函數(shù)有三個(gè)周期的圖象，
在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：
由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).
故選：C
2．（2023·全國(guó)·高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點(diǎn)處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.
【詳解】因?yàn)橄蜃笃揭苽€(gè)單位所得函數(shù)為，所以，
而顯然過與兩點(diǎn)，
作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
所以由圖可知，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.
故選：C.
1．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】D
【分析】在同一坐標(biāo)系中，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】函數(shù)與都是偶函數(shù)，其中，，
在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與的圖象，如下圖，
由圖可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.
故選：D
2．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的零點(diǎn)為軸上的所有整數(shù)，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題意明確函數(shù)的表達(dá)式，數(shù)形結(jié)合求出二者的交點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為軸上的所有整數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期，
所以，且，結(jié)合，可得，
所以．
作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如下圖所示，
可知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，
故選：D．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷
(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；
(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．
考點(diǎn)四、用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間
1．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.
【詳解】的定義域?yàn)椋?br>又與在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以，
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為，
故選：B.
2．（23-24高三上·浙江寧波·期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行求解.
【詳解】由已知，可知為增函數(shù)，
且，
，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在有零點(diǎn)，且零點(diǎn)是唯一的.
故選：B
1．（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且在?nèi)單調(diào)遞增，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
且，
所以函數(shù)的唯一一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是.
故選：B.
2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由零點(diǎn)存在性定理可得答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，易知函?shù)在上單調(diào)遞增，
又，所以在內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，使.
故選：C.
考點(diǎn)五、根據(jù)零點(diǎn)、方程的根及圖象交點(diǎn)求參數(shù)范圍
1．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【分析】解法一：令，分析可知曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得，并代入檢驗(yàn)即可；解法二：令，可知為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知的零點(diǎn)只能為0，即可得，并代入檢驗(yàn)即可.
【詳解】解法一：令，即，可得，
令，
原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，
注意到均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則方程有且僅有一個(gè)實(shí)根0，即曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，
所以符合題意；
綜上所述：.
解法二：令，
原題意等價(jià)于有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，
因?yàn)椋?br>則為偶函數(shù)，
根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性可知的零點(diǎn)只能為0，
即，解得，
若，則，
又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以符合題意；
故選：D.
2．（2024·安徽合肥·三模）設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)，可確定當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，繼而作出的大致圖像，考慮時(shí)的圖象情況，分類討論，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，即可解決.
【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
由得，即，解得或，
所以在上有2個(gè)零點(diǎn)；
時(shí)，若，對(duì)稱軸為，函數(shù)的大致圖象如圖：
此時(shí)，即，則，
所以無解，則無零點(diǎn)，無零點(diǎn)，
綜上，此時(shí)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，
若，此時(shí)的大致圖象如下：
令，解得（舍去），
顯然在上存在唯一負(fù)解，
所以要使恰有5個(gè)零點(diǎn)，
需，即，解得，
所以．
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法: 直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法: 先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;
（3）數(shù)形結(jié)合法: 先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
3．（23-24高一上·重慶·期中）已知，若關(guān)于x的方程在上有解，則a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知可得.當(dāng)時(shí)，設(shè)，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)增長(zhǎng)速度的快慢，結(jié)合函數(shù)圖象，列出不等式，求解即可得出；當(dāng)時(shí)，代入方程求解，即可判斷；當(dāng)時(shí)，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，列出不等式組，求解即可得出答案.
【詳解】由已知可得，.
當(dāng)時(shí)，設(shè)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.
但是函數(shù)的遞減的速度要慢于函數(shù)的遞減速度，
且.
作出函數(shù)以及的圖象
如圖，要使與在上有交點(diǎn)，
應(yīng)滿足，即.
又，所以；
當(dāng)時(shí)，由已知可得，
整理可得，解得，或（舍去），
此時(shí)方程有解，滿足；
當(dāng)時(shí)，設(shè)，
函數(shù)以及均為上的增函數(shù)，
所以，在上單調(diào)遞增.
要使在上有解，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，
應(yīng)有，即，解得.
綜上所述，.
故選：B.
1．（2024·全國(guó)·高考真題）曲線與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，令，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.
【詳解】令，即，令
則，令得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，
因?yàn)榍€與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
所以等價(jià)于與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以.
故答案為：
2．（22-23高三上·河北張家口·期末）（多選）已知，方程，在區(qū)間的根分別為a，b，以下結(jié)論正確的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】題意說明分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用這三個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于直線對(duì)稱得，， 直接變形判斷AB，利用不等式知識(shí)判斷C，由零點(diǎn)存在定理確定，構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性，由單調(diào)性判斷D．
【詳解】已知兩方程化為，，
所以分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
易知和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
而函數(shù)的圖象可以看作是由的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的，
因此的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，所以點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，
，，
，A正確；
又，所以，，
從而，B正確；
，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
由于，而，因此，等號(hào)不成立，即，C錯(cuò)誤，
，
設(shè)，則，
，，
所以，所以，
時(shí)，是減函數(shù)，所以由得，
所以，D正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，解題關(guān)鍵是確定分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用這三個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于直線對(duì)稱得出的關(guān)系．
3．（2024·天津·高考真題）若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)與兩函數(shù)的交點(diǎn)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)與，則兩函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)，分、與進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，計(jì)算函數(shù)定義域可得或，計(jì)算可得時(shí)，兩函數(shù)在軸左側(cè)有一交點(diǎn)，則只需找到當(dāng)時(shí)，在軸右側(cè)無交點(diǎn)的情況即可得；當(dāng)時(shí)，按同一方式討論即可得.
【詳解】令，即，
由題可得，
當(dāng)時(shí)，，有，則，不符合要求，舍去；
當(dāng)時(shí)，則，
即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn)，
由，可得或，
當(dāng)時(shí)，則，則，
即，整理得，
當(dāng)時(shí)，即，即，
當(dāng)，或（正值舍去），
當(dāng)時(shí)，或，有兩解，舍去，
即當(dāng)時(shí)，在時(shí)有唯一解，
則當(dāng)時(shí)，在時(shí)需無解，
當(dāng)，且時(shí)，
由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，令，可得或，
且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
令，即，
故時(shí)，圖象為雙曲線右支的軸上方部分向右平移所得，
由的漸近線方程為，
即部分的漸近線方程為，其斜率為，
又，即在時(shí)的斜率，
令，可得或（舍去），
且函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故有，解得，故符合要求；
當(dāng)時(shí)，則，
即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn)，
由，可得或，
當(dāng)時(shí)，則，則，
即，整理得，
當(dāng)時(shí)，即，即，
當(dāng)，（負(fù)值舍去）或，
當(dāng)時(shí)，或，有兩解，舍去，
即當(dāng)時(shí)，在時(shí)有唯一解，
則當(dāng)時(shí)，在時(shí)需無解，
當(dāng)，且時(shí)，
由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，令，可得或，
且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
同理可得：時(shí)，圖象為雙曲線左支的軸上方部分向左平移所得，
部分的漸近線方程為，其斜率為，
又，即在時(shí)的斜率，
令，可得或（舍去），
且函數(shù)在上單調(diào)遞減，
故有，解得，故符合要求；
綜上所述，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問題，從而可將其分成兩個(gè)函數(shù)研究.
一、單選題
1．（23-24高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋缘牧泓c(diǎn)所在的區(qū)間為.
故選：C.
2．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)y＝ax2＋2x＋1有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為 （ ）
A．1B．0
C．0或1D．一切實(shí)數(shù)
【答案】C
【解析】略
3．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】作出函數(shù)和的圖象，由圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出結(jié)論．
【詳解】設(shè)，．在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出與的大致圖象，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
根據(jù)圖象可得兩個(gè)函數(shù)共有11個(gè)交點(diǎn)．
故選：C．
4．（2024高三上·全國(guó)·競(jìng)賽）方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義即可求解.
【詳解】依題意，
原方程等價(jià)于
即，顯然只有一個(gè)正實(shí)根.
故選：B.
5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件先畫出在不同定義域內(nèi)的圖象，需要求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，令，利用函數(shù)的圖象求解和兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
【詳解】由題意可知，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為和函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，它們的函數(shù)圖象如圖所示.
故選：C．
6．（23-24高二下·安徽蕪湖·期中）已知函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】采用參變分離法，將函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的圖象及趨勢(shì)特征即得參數(shù)范圍.
【詳解】由，，可得：，令，
依題意，函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).
又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故時(shí)，取得極大值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).，需使，解得.
故選：C.
7．（23-24高三下·福建廈門·強(qiáng)基計(jì)劃）在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】借助因式分解的方法，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解即得.
【詳解】依題意，，
而，顯然且，因此，
由，得，解得或，
所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.
故選：B
8．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，則（ ）
A．1B．2C．3D．0
【答案】C
【分析】由函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱得零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，但的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)可得答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，
所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，
令，則，
可得函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，
所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，
則函數(shù)的零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，但的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，
則所以.
故選：C.
二、填空題
9．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)在所有零點(diǎn)之和為
【答案】
【分析】化簡(jiǎn)函數(shù)為，令，求得方程的根，即可求解.
【詳解】由，
令，即，解得或，
因?yàn)?，所以或或，所以零點(diǎn)之和為.
故答案為：.
10．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝則使得方程x＋f（x）＝m有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】方程有解，利用求函數(shù)的值域即可得到參數(shù)的范圍.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，即有解，則；
當(dāng)時(shí)，，即有解，則，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故答案為：
一、單選題
1．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則使有零點(diǎn)的一個(gè)充分條件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先判斷，此時(shí)可得的單調(diào)性，依題意可得，令，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理得到存在使得，從而得到有零點(diǎn)的充要條件為，即可判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，所以，沒有零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
，要使有零點(diǎn)，則需，
即，令，則在上單調(diào)遞減，
且，，，
所以存在使得，
所以有零點(diǎn)的充要條件為，
所以使有零點(diǎn)的一個(gè)充分條件是.
故選：D
2．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（ ）
A．0B．-1C．D．2
【答案】A
【分析】令，即，構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，畫出函數(shù)圖象，可知兩個(gè)函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)，設(shè)為，得，進(jìn)而得到，即
【詳解】由零點(diǎn)定義可知，函數(shù)的零點(diǎn)，就是方程的實(shí)數(shù)根，令，
則，顯然，所以，
構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，則方程的根，
可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，根據(jù)圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)，
所以此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)為，所以，，
即，
另外發(fā)現(xiàn)，將代入，可得，
所以也是函數(shù)的零點(diǎn)，說明，即.
故選:A.
3．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直線與函數(shù)的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，可得是奇函數(shù)，可得只需直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)即可，即方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.
【詳解】由題意得，則直線與函數(shù)的圖象有5個(gè)交點(diǎn).
顯然，直線與的圖象交于點(diǎn).
又當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，所以是奇函數(shù)，
則必須且只需直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)即可，
所以方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根.令，則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以.
又當(dāng)趨近于0時(shí)，,所以；
當(dāng)趨近于時(shí)，，
所以必須且只需.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：直接法；分離參數(shù)法；數(shù)形結(jié)合法.
4．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，令，利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)和函數(shù)的對(duì)稱性求出，即可求的值．
【詳解】由題意，，
令，
因?yàn)榕c互為反函數(shù)，兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
且的圖象也關(guān)于直線對(duì)稱，
設(shè)，
則關(guān)于直線對(duì)稱，
所以且
由可得，
所以．
由可得，
所以，
又代入上式可得，
則．
故選：A．
二、多選題
5．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有五個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值可以為（ ）
A．B．C．D．0
【答案】AB
【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可知，在有兩個(gè)零點(diǎn)，列出不等式組求解即可.
【詳解】,如圖所示，
令，則，
若方程有五個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則有兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，
由圖象可知，即，可得，解得，
則實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：AB．
6．（2024·湖南懷化·二模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為的零點(diǎn)為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)的意義，結(jié)合函數(shù)與互為反函數(shù)，確定的關(guān)系，再逐項(xiàng)分析判斷得解.
【詳解】依題意，，，
則分別是直線與函數(shù)，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
而函數(shù)與互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
又直線垂直于直線，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
則，于是，，，BC正確，A錯(cuò)誤；
，即，D錯(cuò)誤.
故選：BC

三、填空題
7．（2024·寧夏銀川·二模）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的范圍
【答案】
【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義,轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.結(jié)合反函數(shù)特征,得解.
【詳解】的零點(diǎn)兩個(gè),即的根有兩個(gè).
即的交點(diǎn)有兩個(gè).
而互為反函數(shù),圖像關(guān)于對(duì)稱.
當(dāng)兩個(gè)圖像均與相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為.
分別求導(dǎo),
所以,所以.,即,所以.
當(dāng)時(shí)候,兩圖像有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng),
兩圖像有兩個(gè)交點(diǎn),即的零點(diǎn)兩個(gè).綜上所.
故答案為: .
8．（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，再分段去絕對(duì)值符號(hào)，探討零點(diǎn)個(gè)數(shù)即得.
【詳解】顯然是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，由，得，
因?yàn)楹瘮?shù)有3個(gè)零點(diǎn)，必有，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：
9．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】本題根據(jù)已知條件給定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)參數(shù)a分類討論并結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.
【詳解】①當(dāng)時(shí)，，由于時(shí)，時(shí)，
此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的大概圖象如圖所示，
，
由于時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)在上有，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，只需，即；
③當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的大概圖象如圖所示，
，
由于函數(shù)在上是增函數(shù)，故與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
要使有兩個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)即可，
當(dāng)時(shí)，恰好只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
10．（2024·天津武清·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】
【分析】本題首先可根據(jù)函數(shù)解析式研究函數(shù)在區(qū)間和上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后根據(jù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)或根據(jù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，即可得出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，令，得，即，該方程至多兩個(gè)根；
當(dāng)時(shí)，令，得，該方程至多兩個(gè)根，
因?yàn)楹瘮?shù)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，
所以函數(shù)在區(qū)間和上均有零點(diǎn)，
若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，
即直線與函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋?br>則，解得，
若函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，則或，
解得或，
若函數(shù)在區(qū)間上也有兩個(gè)零點(diǎn)，
令，解得，，
則，解得，
若函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，則且，
解得；
所以當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需滿足，解得，
當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)時(shí),
需滿足，解得，
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)數(shù)目求參數(shù)的取值范圍，可將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)數(shù)目進(jìn)行求解，其中分段函數(shù)中一段可以有2個(gè)交點(diǎn)也可有1個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此結(jié)合總共有3個(gè)交點(diǎn)求解，考查分類討論思想，是難題.
1．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)
C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸
D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心
【答案】AD
【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號(hào)判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.
【詳解】A選項(xiàng)，，由于，
故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，
時(shí)，，單調(diào)遞減，
則在處取到極大值，在處取到極小值，
由，，則，
根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，
又，，則，
則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，
時(shí)，單調(diào)遞增，
此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，
即存在這樣的使得，
即，
根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開式含有的項(xiàng)為，
于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，
方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)
，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，
則，事實(shí)上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.
方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論
任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，
，，，
由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為，
由題意也是對(duì)稱中心，故，
即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.
故選：AD
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對(duì)稱軸為；（2）關(guān)于對(duì)稱；（3）任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對(duì)稱中心
2．（2023·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>令，則有3個(gè)根，
令，則有3個(gè)根，其中，
結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，
故答案為：.
3．（2023·天津·高考真題）設(shè),函數(shù),若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，
即，
若時(shí)，，此時(shí)成立；
若時(shí)，或，
若方程有一根為，則，即且；
若方程有一根為，則，解得：且；
若時(shí)，，此時(shí)成立．
（2）當(dāng)時(shí)，，
即，
若時(shí)，，顯然不成立；
若時(shí)，或，
若方程有一根為，則，即；
若方程有一根為，則，解得：；
若時(shí)，，顯然不成立；
綜上，
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為．
所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對(duì)值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對(duì)應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)，從而解出．
4．（2022·天津·高考真題）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】設(shè)，，分析可知函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出，求出的取值范圍，然后對(duì)實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】設(shè)，，由可得.
要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，
解得或.
①當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：
此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，
要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，
所以，，解得；
③當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：
由圖可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，合乎題意；
④當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，
要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，
可得，解得，此時(shí).
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
5．（2022·北京·高考真題）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則 ； ．
【答案】 1
【分析】先代入零點(diǎn)，求得A的值，再將函數(shù)化簡(jiǎn)為，代入自變量，計(jì)算即可.
【詳解】∵，∴
∴
故答案為：1，
6．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①若，恰 有2個(gè)零點(diǎn)；
②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個(gè)零點(diǎn)；
③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)；
④存在正數(shù)，使得恰有3個(gè)零點(diǎn)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，由，可得或，①正確；
對(duì)于②，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，
所以，存在，使得只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；
對(duì)于③，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，
直線與曲線有一個(gè)交點(diǎn)，所以，，此不等式無解，
因此，不存在，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，考查直線與曲線相切于點(diǎn)，
對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，
所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，④正確.
故答案為：①②④.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：已知函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點(diǎn)問題；
（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．
7．（2021·天津·高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由最多有2個(gè)根，可得至少有4個(gè)根，分別討論當(dāng)和時(shí)兩個(gè)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.
【詳解】最多有2個(gè)根，所以至少有4個(gè)根，
由可得，
由可得，
（1）時(shí)，當(dāng)時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)，即；
當(dāng)，有5個(gè)零點(diǎn)，即；
當(dāng)，有6個(gè)零點(diǎn)，即；
（2）當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，有1個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，令，則，此時(shí)有2個(gè)零點(diǎn)；
所以若時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn).
綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個(gè)零點(diǎn)，則應(yīng)滿足
或或，
則可解得a的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是分成和兩種情況分別討論兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況.
8．（天津·高考真題）已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，結(jié)合已知，將問題轉(zhuǎn)化為與有個(gè)不同交點(diǎn)，分三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.
【詳解】注意到，所以要使恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程恰有3個(gè)實(shí)根
即可，
令，即與的圖象有個(gè)不同交點(diǎn).
因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，此時(shí)，如圖1，與有個(gè)不同交點(diǎn)，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，如圖2，此時(shí)與恒有個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，如圖3，當(dāng)與相切時(shí)，聯(lián)立方程得，
令得，解得（負(fù)值舍去），所以.
綜上，的取值范圍為.
故選：D.

【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道中檔題.
9．（全國(guó)·高考真題）函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】令，得或，再根據(jù)x的取值范圍可求得零點(diǎn).
【詳解】由，
得或，，
．
在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查在一定范圍內(nèi)的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取特殊值法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題．
10．（浙江·高考真題）已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】當(dāng)時(shí)，最多一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，得；最多一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)，即時(shí)，，在，上遞增，最多一個(gè)零點(diǎn)．不合題意；
當(dāng)，即時(shí)，令得，，函數(shù)遞增，令得，，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn)；
根據(jù)題意函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，在，上有2個(gè)零點(diǎn)，
如圖：
且，
解得，，．
故選．
5年考情
考題示例
考點(diǎn)分析
關(guān)聯(lián)考點(diǎn)
2024年新I卷，第7題,5分
求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)
正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用
2024年新Ⅱ卷，第6題,5分
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍
函數(shù)奇偶性的定義與判斷
函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
求余弦(型)函數(shù)的奇偶性
2024年新Ⅱ卷，第9題,6分
求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)
求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值
求正弦(型)函數(shù)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心
求正弦(型)函數(shù)的最小正周期
2024年新Ⅱ卷，第11題,6分
判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間
函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用
函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)
2023年新I卷，第15題,5分
根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)
求參數(shù)范圍
余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用

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