1、對數(shù)式的運算
(1)對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．
(2)常見對數(shù)：
①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；
②常用對數(shù)：以為底，記為；
③自然對數(shù)：以為底，記為；
(3) 對數(shù)的性質(zhì)和運算法則：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③對數(shù)換底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
2、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像
(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù) 且叫做對數(shù)函數(shù)．
對數(shù)函數(shù)的圖象
【方法技巧與總結(jié)】
1、對數(shù)函數(shù)常用技巧
在同一坐標系內(nèi)，當時，隨的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠離軸．(見下圖)
【典型例題】
例1．（2024·廣東·一模）假設(shè)甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學習，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上進步2%，而乙疏于學習，“日能力值”都在前一天的基礎(chǔ)上退步1%.那么，大約需要經(jīng)過（ ）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（參考數(shù)據(jù)：，，）
A．23B．100C．150D．232
例2．（2024·高三·江西·開學考試）研究表明，地震時釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為.2023年12月18日在甘肅積石山縣發(fā)生了里氏6.2級地震，2024年1月4日在斐濟群島發(fā)生了里氏5.7級地震，若前后這兩個地震釋放的能量之比是，則的整數(shù)部分為（ ）
A．3B．4C．5D．6
例3．（2024·高一·河南·開學考試）已知函數(shù)，則（ ）
A．-1B．0C．1D．2
例4．（2024·全國·模擬預測）在等差數(shù)列中，已知與是方程的兩根，則（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·廣東佛山·模擬預測）已知，，，則（ ）
A．B．C．D．E．均不是
例6．（2024·高一·廣東江門·階段練習）若函數(shù)是函數(shù)（，且）的反函數(shù)，且滿足，則（ ）
A．B．C．D．
例7．（2024·高一·全國·專題練習）已知函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥.其中是對數(shù)函數(shù)的是（ ）
A．①②③B．③④⑤
C．③④D．②④⑥
例8．（2024·高三·全國·專題練習）已知函數(shù)① y＝lgax；② y＝lgbx；③ y＝lgcx；④ y＝lgdx的大致圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是（ ）
A．a(chǎn)＋c＜b＋aB．a(chǎn)＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋dD．b＋d＜a＋c
例9．（2024·高一·青海西寧·開學考試）函數(shù) 的圖象是（ ）
A．B．
C．D．
例10．（2024·天津南開·一模）已知，，則（ ）
A．B．C．D．
例11．（2024·重慶·模擬預測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
例12．（2024·高一·上?！ら_學考試）設(shè)都是非零常數(shù)，且滿足，則 .（結(jié)果用表示）
例13．（2024·高三·全國·專題練習）函數(shù)的值域為 ．
例14．（2024·陜西西安·二模）已知定義域為的函數(shù)滿足，且當時，，則 .
例15．（2024·高一·安徽蚌埠·期末）（1）若，求的值；
（2）求值：.
例16．（2024·高一·江蘇常州·期末）（1）計算：；
（2）已知，計算的值并證明．
例17．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）計算：
(1)；
(2)．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2024·河北滄州·模擬預測）某企業(yè)的廢水治理小組積極探索改良工藝，致力于使排放的廢水中含有的污染物數(shù)量逐漸減少．已知改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量為，第n次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量滿足函數(shù)模型（，），其中為改良工藝前排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，為首次改良工藝后排放的廢水中含有的污染物數(shù)量，n為改良工藝的次數(shù)．假設(shè)廢水中含有的污染物數(shù)量不超過時符合廢水排放標準，若該企業(yè)排放的廢水符合排放標準，則改良工藝的次數(shù)最少為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．12B．13C．14D．15
2．（2024·高三·四川·期末）蘇格蘭數(shù)學家納皮爾在研究天文學的過程中，為了簡化其中的大數(shù)之間的計算而發(fā)明了對數(shù)．利用對數(shù)運算可以求大數(shù)的位數(shù)．已知，則是（ ）
A．9位數(shù)B．10位數(shù)C．11位數(shù)D．12位數(shù)
3．（2024·青?！ひ荒＃┮阎?，，則（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·高一·山西大同·階段練習）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·江西九江·二模）若函數(shù)在（1，2）上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·高三·全國·專題練習）函數(shù)f(x)＝＋ln (3x－1)的定義域為( )
A．(，]B．(，)
C．[－，)D．[－，]
7．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若，則（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·高一·湖南·階段練習）已知，則的大小關(guān)系為（ ）
A．B．C．D．
9．（2024·高一·廣東茂名·期末）若指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點，則它的反函數(shù)的解析式為（ ）
A．B．C．D．
10．（2024·高二·貴州遵義·期末）年一位丹麥生物化學家提出溶液值，亦稱氫離子濃度指數(shù)、酸堿值，是溶液中氫離子活度的一種標度，其中源自德語，意思是濃度，代表氫離子.的定義式為：，指的是溶液中氫離子活度.若溶液甲中氫離子活度為，溶液乙中氫離子活度為.則溶液甲的值與溶液乙的值的差約為（ ）
A．B．C．D．
11．（2024·高三·江蘇揚州·期末）年月日，阿貝爾獎和菲爾茲獎雙料得主，英國歲高齡的著名數(shù)學家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學界的震動.在年，德國數(shù)學家黎曼向科學院提交了題目為《論小于某值的素數(shù)個數(shù)》的論文并提出了一個命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的數(shù)學家歐拉也曾研究過這個何題，并得到小于數(shù)字的素數(shù)個數(shù)大約可以表示為的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計以內(nèi)的素數(shù)個數(shù)為（ ）（素數(shù)即質(zhì)數(shù)，，計算結(jié)果取整數(shù)）
A．B．C．D．
12．（2024·貴州貴陽·一模）純電動汽車是以車載電源為動力，用電機驅(qū)動車輪行駛，符合道路交通、安全法規(guī)各項要求的車輛，它使用存儲在電池中的電來發(fā)動．因其對環(huán)境影響較小，逐漸成為當今世界的乘用車的發(fā)展方向．研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量、放電時間和放電電流之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：，其中為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)），在電池容量不變的條件下，當放電電流為時，放電時間為；當放電電流為時，放電時間為，則該蓄電池的Peukert常數(shù)約為（參考數(shù)據(jù)：，）（ ）
A．1.12B．1.13
C．1.14D．1.15
二、多選題
13．（2024·高一·河南省直轄縣級單位·期末）下列說法正確的是（ ）
A．冪函數(shù)的圖象都過點
B．函數(shù)與是同一函數(shù)
C．函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱
D．，是以為周期的函數(shù)
三、填空題
14．（2024·高一·山東威?！て谀┮阎?，則 .
15．（2024·高一·福建漳州·期末）設(shè)，則的值為 .
16．（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù).則的值為 .
17．（2024·高三·上?！るA段練習）方程的解是 .
18．（2024·高一·云南·階段練習）計算： .
19．（2024·高一·山西呂梁·期末）設(shè)是定義在R上的函數(shù)，滿足，且，當時；，則 ．
20．（2024·高一·山東青島·期末）寫出一個同時滿足下列①②③的函數(shù)的解析式 ．
①的定義域為；②；③當時，．
21．（2024·高一·北京東城·期末）函數(shù)的定義域是 .
22．（2024·云南·模擬預測）若為奇函數(shù)，則 .
23．（2024·高一·上海閔行·階段練習）函數(shù)的最大值為 .
24．（2024·高一·山西長治·期末）已知函數(shù)的最大值為2，則 ．
25．（2024·高一·四川綿陽·開學考試）函數(shù)（且）的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)的反函數(shù) ．
四、解答題
26．（2024·高一·四川眉山·開學考試）（1）
（2）已知，求的值．
27．（2024·高一·廣西百色·開學考試）計算下列各式的值：
(1)；
(2)．
28．（2024·高一·遼寧撫順·開學考試）求的定義域和值域.
29．（2024·高一·湖北十堰·開學考試）求函數(shù)．
(1)定義域和值域；
(2)增區(qū)間和減區(qū)間．
30．（2024·高一·湖南長沙·期末）已知函數(shù)．
(1)若，求的取值范圍；
(2)若，求的值域．
31．（2024·高一·云南昆明·期末）設(shè)函數(shù)且．
(1)若，解不等式；
(2)若在上的最大值與最小值之差為1，求的值．
32．（2024·高一·云南·期末）已知函數(shù)且．
(1)若，解不等式；
(2)若在上的最大值與最小值的差為1，求的值．
圖象

性質(zhì)
定義域：
值域：
過定點，即時，
在上增函數(shù)
在上是減函數(shù)
當時，，當時，
當時，，當時，

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