1.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解答】解：如上圖：分情況討論．
①AB為等腰△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)（包括兩個(gè)等腰直角三角形）；
②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)．
故選：C．
2.如圖是一個(gè)經(jīng)過改造的臺球桌面的示意圖，圖中四個(gè)角上的陰影部分分別表示四個(gè)入球孔，如果一個(gè)球按圖中所示的方向被擊出（球可以經(jīng)過多次反彈），那么該球最后將落入的球袋是（ ）
A．1號袋B．2號袋C．3號袋D．4號袋
【答案】B
【解答】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可知，臺球走過的路徑為：
故選：B．
3.如圖，在第1個(gè)△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在邊A1B上任取一點(diǎn)D，延長CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2個(gè)△A1A2D；在邊A2D上任取一點(diǎn)E，延長A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3個(gè)△A2A3E，…按此做法繼續(xù)下去，則第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是（ ）
A．（）n?75°B．（）n﹣1?65°
C．（）n﹣1?75°D．（）n?85°
【答案】C
【解答】解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝＝75°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；
同理可得，
∠EA3A2＝（）2×75°，∠FA4A3＝（）3×75°，
∴第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的底角度數(shù)是（）n﹣1×75°．
故選：C．
4.如圖，坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)A（2，﹣1），O為原點(diǎn)，P是x軸上的一個(gè)動點(diǎn)，如果以點(diǎn)P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解答】解：如上圖：①OA為等腰三角形底邊，符合符合條件的動點(diǎn)P有一個(gè)；
②OA為等腰三角形一條腰，符合符合條件的動點(diǎn)P有三個(gè)．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)共4個(gè)．
故選：C．
5.如圖，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，OP＝5cm，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是射線OA和射線OB上的動點(diǎn)，△PMN周長的最小值是5cm，則∠AOB的度數(shù)是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【答案】B
【解答】解：分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對稱點(diǎn)C、D，連接CD，
分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，連接OC、OD、PM、PN、MN，如圖所示：
∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對稱點(diǎn)為D，關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對稱點(diǎn)為C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝∠COD，
∵△PMN周長的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN＝5，
∴DM+CN+MN＝5，
即CD＝5＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等邊三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°；
故選：B．
6.如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，面積是16，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動點(diǎn)，則△CDM周長的最小值為（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【解答】解：連接AD，
∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是線段AC的垂直平分線，
∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
∴AD的長為CM+MD的最小值，
∴△CDM的周長最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故選：C．
7.如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA＝CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長為（ ）
A．B．C．D．不能確定
【答案】B
【解答】解：過P作PM∥BC，交AC于M；
∵△ABC是等邊三角形，且PM∥BC，
∴△APM是等邊三角形；
又∵PE⊥AM，
∴AE＝EM＝AM；（等邊三角形三線合一）
∵PM∥CQ，
∴∠PMD＝∠QCD，∠MPD＝∠Q；
又∵PA＝PM＝CQ，
在△PMD和△QCD中
∴△PMD≌△QCD（AAS）；
∴CD＝DM＝CM；
∴DE＝DM+ME＝（AM+MC）＝AC＝，故選：B．
8.如圖，四邊形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是BC、DC上的點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長最小時(shí)，∠EAF的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】D
【解答】解：作A關(guān)于BC和CD的對稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于E，交CD于F，則A′A″即為△AEF的周長最小值．作DA延長線AH，
∵∠C＝50°，
∴∠DAB＝130°，
∴∠HAA′＝50°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，
∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，
故選：D．
9.如圖，把一個(gè)長方形的紙片對折兩次，然后剪下一個(gè)角，為了得到一個(gè)鈍角為120°的菱形，剪口與第二次折痕所成角的度數(shù)應(yīng)為（ ）
A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°
【答案】D
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠ABD＝∠ABC，∠BAC＝∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAD＝120°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°．
∴剪口與折痕所成的角a的度數(shù)應(yīng)為30°或60°．
故選：D．
10.的對稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，則△PMN的周長為 15 ．
【答案】15
【解答】解：∵P點(diǎn)關(guān)于OA的對稱是點(diǎn)P1，P點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N．
∴△PMN的周長為PM+PN+MN＝MN+P1M+P2N＝P1P2＝15．
故答案為：15
11.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為36°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為 ．
【答案】63°或27°
【解答】解：在三角形ABC中，設(shè)AB＝AC，BD⊥AC于D．
①若是銳角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，
底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；
②若三角形是鈍角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，
此時(shí)底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．
所以等腰三角形底角的度數(shù)是63°或27°．
故答案為：63°或27°．
12.如圖，C為線段AE上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A、E重合），在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．
恒成立的結(jié)論有 ．（把你認(rèn)為正確的序號都填上）
【答案】 ①②③⑤
【解答】解：①∵正△ABC和正△CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，（故①正確）；
②又∵CD＝CE，∠DCP＝∠ECQ＝60°，∠ADC＝∠BEC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP＝CQ，
∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，
∴∠QPC＝∠BCA，
∴PQ∥AE，（故②正確）；
③∵△CDP≌△CEQ，
∴DP＝QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD＝BE，
∴AD﹣DP＝BE﹣QE，
∴AP＝BQ，（故③正確）；
④∵DE＞QE，且DP＝QE，
∴DE＞DP，（故④錯(cuò)誤）；
⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，（故⑤正確）．
∴正確的有：①②③⑤．
故答案為：①②③⑤．
13.如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則△AMN的周長為 ．
【答案】6
【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°
∴∠BCD＝∠DBC＝30°
∵△ABC是邊長為3的等邊三角形
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°
∴∠DBA＝∠DCA＝90°
延長AB至F，使BF＝CN，連接DF，
在Rt△BDF和Rt△CDN中，BF＝CN，DB＝DC
∴△BDF≌△CDN，
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN
∵∠MDN＝60°
∴∠BDM+∠CDN＝60°
∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM為公共邊
∴△DMN≌△DMF，
∴MN＝MF
∴△AMN的周長是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．
14.如圖所示，AOB是一鋼架，且∠AOB＝10°，為了使鋼架更加堅(jiān)固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF，F(xiàn)G，GH…，添加的鋼管長度都與OE相等，則最多能添加這樣的鋼管 根．
【答案】8
【解答】解：∵添加的鋼管長度都與OE相等，∠AOB＝10°，
∴∠GEF＝∠FGE＝20°，…從圖中我們會發(fā)現(xiàn)有好幾個(gè)等腰三角形，
即第一個(gè)等腰三角形的底角是10°，第二個(gè)是20°，第三個(gè)是30°，四個(gè)是40°，五個(gè)是50°，六個(gè)是60°，七個(gè)是70°，八個(gè)是80°，九個(gè)是90°就不存在了．所以一共有8個(gè)．
故答案為：8．
15.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F．求證：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
【解答】證明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵E是CD的中點(diǎn)（已知），
∴DE＝EC（中點(diǎn)的定義）．
∵在△ADE與△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD（全等三角形的性質(zhì)）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的對應(yīng)邊相等），
又∵BE⊥AF，
∴BE是線段AF的垂直平分線，
∴AB＝BF＝BC+CF，
∵AD＝CF（已證），
∴AB＝BC+AD（等量代換）．
16.如圖，已知：E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，連接CD，且交OE于點(diǎn)F．
（1）求證：OE是CD的垂直平分線．
（2）若∠AOB＝60°，請你探究OE，EF之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．
【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，OE＝OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD＝OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分線，
∴OE是CD的垂直平分線；
（2）∵OE是∠AOB的平分線，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF，
∴OE＝4EF．
17.如圖1，點(diǎn)P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點(diǎn)（端點(diǎn)除外），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A、點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的運(yùn)動速度相同，連接AQ、CP交于點(diǎn)M．
（1）求證：△ABQ≌△CAP；
（2）當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AB、BC邊上運(yùn)動時(shí)，∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數(shù)．
（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它的度數(shù)．
【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵點(diǎn)P、Q運(yùn)動速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ與△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動的過程中，∠QMC不變．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分）
（3）解：點(diǎn)P、Q在運(yùn)動到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動時(shí)，∠QMC不變．（7分）
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．
18.已知，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長線上，且ED＝EC．
（1）【特殊情況，探索結(jié)論】
如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．
（2）【特例啟發(fā)，解答題目】
如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時(shí)，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．（請你完成以下解答過程）．
（3）【拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題】
在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在線段CB的延長線上，且ED＝EC，若△ABC的邊長為1，AE＝2，求CD的長（請你畫出相應(yīng)圖形，并直接寫出結(jié)果）．
【解答】解：（1）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，AE＝DB；
（2）AE＝DB，理由如下，過點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，
證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴△AEF為等邊三角形，
∴AE＝EF，BE＝CF，
∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，
∴∠DEB＝∠ECF，
在△DBE和△EFC中，
，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB＝EF，
則AE＝DB；
（3）點(diǎn)E在AB延長線上時(shí)，作EF∥AC，則△EFB為等邊三角形，
如圖所示，同理可得△DBE≌△CFE，
∵AB＝1，AE＝2，
∴BE＝1，
∵DB＝FC＝FB+BC＝2，
則CD＝BC+DB＝3．
故答案為：（1）＝；（2）＝
19.（煙臺）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．
【問題解決】
如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，求證：CE+CF＝CD；
【類比探究】
如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
【答案】詳見解答
【解答】【問題解決】證明：在CD上截取CH＝CE，如圖1所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ECH＝60°，
∴△CEH是等邊三角形，
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等邊三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，
∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
，
∴△DEH≌△FEC（SAS），
∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，
∴CE+CF＝CD；
【類比探究】解：線段CE，CF與CD之間的等量關(guān)系是FC＝CD+CE；理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
過D作DG∥AB，交AC的延長線于點(diǎn)G，如圖2所示：
∵GD∥AB，
∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，
∴△GCD為等邊三角形，
∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，
∵△EDF為等邊三角形，
∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，
∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD和△FCD中，
，
∴△EGD≌△FCD（SAS），
∴EG＝FC，
∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．

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