A．45°B．47°C．55°D．78°
【答案】C
【解答】解：延長EC交AB于點H，如圖所示：
∵∠E＝78°，∠F＝47°，
∴∠ECF＝180°﹣∠E﹣∠F＝55°，
∵AB∥CF，AD∥CE，
∴∠BHE＝∠ECF＝55°，∠BHE＝∠A，
∴∠A＝55°．
故選：C．
2．（2022春?海陵區(qū)校級期末）如圖，把△ABC沿EF翻折，疊合后的圖形如圖，若∠A＝60°，∠1＝95°，則∠2的度數是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．35°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC沿EF翻折，
∴∠BEF＝∠B'EF，∠CFE＝∠C'FE，
∴180°﹣∠AEF＝∠1+∠AEF，180°﹣∠AFE＝∠2+∠AFE，
∵∠1＝95°，
∴∠AEF＝（180°﹣95°）＝42.5°，
∵∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AFE＝180°﹣60°﹣42.5°＝77.5°，
∴180°﹣77.5°＝∠2+77.5°，
∴∠2＝25°，
故選：C．
3．（2022春?海州區(qū)校級期末）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝122°，則∠1+∠2的度數為（ ）
A．116°B．100°C．128°D．120°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC紙片沿DE折疊，
∴△AED≌△A′ED，
∴∠ADE＝∠EDA′，∠AED＝∠DEA′，
∴∠1+∠2＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠AED
＝180°﹣（∠ADE+∠AED）+180°﹣（∠ADE+∠AED）
＝2∠A，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝122°，
∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣122°＝58°，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠A'BC+∠A'CB）＝2×58°＝116°，
∴∠A＝180°﹣116°＝64°，
∴∠1+∠2＝2∠A＝2×64°＝128°，
故選：C．
4．（2022春?澄海區(qū)期末）如圖，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，則∠P與∠D、∠B之間存在的數量關系為（ ）
A．∠P＝2（∠B﹣∠D）B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
∵∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，
∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，
∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，
∴2∠P＝∠D+∠B，
即∠P＝（∠D+∠B）．
故選：B．
5．（2022春?寬城縣期末）如圖，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2，同理可得∠A3，則∠A3＝（ ）度．
A．26°B．15°C．10°D．6.5°
【答案】D
【解答】解：∵∠BA1是∠ABC的平分線，CA1是∠ACD和∠ACD的平分線，
∴∠ABA1＝∠A1BC＝∠ABC，∠ACA1＝∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
∴∠A1＝∠A，
同理可得，∠A2＝∠A1，∠A3＝∠A2，
∴∠A3＝∠A＝×52°＝6.5°，
故選：D．
6．（2022春?嵩縣期末）在△ABC中，
（1）如圖（1）．∠ABC、∠ACB的平分線相交于點P．
若∠A＝60°，則∠BPC＝ ．
若∠A＝n°，則∠BPC＝ ．
（2）如圖（2），在ABC中的外角平分線相交于點Q，∠A＝n°．求∠BQC的度數．
（3）如圖（3），△ABC的∠ABC、∠ACB的平分線相交于點P，它們的外角平分線相交于點Q．直接回答：∠BPC與∠BQC具有怎樣的數量關系？
（4）如圖（4）．△ABC中的內角平分線相交于點P，外角平分線相交于點Q，延長線段BP．QC交于點E．△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，請直接寫出∠A的度數．
【解答】解：（1）如圖1，
∵BP、CP分別是∠ABC、∠ACB的平分線，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠ABC，∠ACP＝∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC；
當∠A＝60°時，∠BPC＝90°+×60°＝120°；
當∠A＝n°時，∠BPC＝90°+n°；
故答案為：120°，90°+n°；
（2）如圖2，
∵BQ、CQ分別是∠ABC、∠ACB的外角平分線，
∴∠DBQ＝∠QBC＝∠DBC，∠FCQ＝∠QCB＝∠FCB，
∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB
＝180°﹣（∠DBC+∠FCB）
＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°﹣（180°+∠A）
＝90°﹣∠A
＝90°﹣n°；
（3）如圖3，
由（1）得，∠BPC＝90°+∠A，
由（2）得，∠BQC＝90°﹣∠A，
∴∠BPC+∠BQC＝180°；
（4）如圖4，
∵BQ是∠ABC的外角平分線，BP是∠ABC的平分線，
∴∠QBE＝×180°＝90°，
∴∠E＝180°﹣∠QBE﹣∠Q
＝180°﹣90°﹣（90°﹣∠A）
＝∠A，
①當∠QBE＝2∠E時，即90°＝2∠E，
∴∠A＝2∠E＝90°；
②當∠QBE＝2∠Q時，即90°＝2×（90°﹣∠A），
∴∠A＝90°；
③當∠Q＝2∠E時，即90°﹣∠A＝2×∠A，
∴∠A＝60°；
④當∠E＝2∠Q時，即∠A＝2（90°﹣∠A），
∴∠A＝120°；
綜上所述，當△BQE的一個內角等于另一個內角的2倍時，∠A的度數為60°，90°，120°．
7．（2022春?新野縣期末）在學習并掌握了平行線的性質和判定內容后，數學老師安排了自主探究內容一利用平行線有關知識探究并證明：三角形的內角和等于180°．小穎通過探究發(fā)現：可以將三角形的三個內角之和轉化為一個平角來解決，也就是可以過三角形的一個頂點作其對邊的平行線來證明．請將下面（1）中的證明補充完整：
（1）已知：如圖1，三角形ABC，求證：∠BAC+∠B+∠C＝180°，證明：過點A作EF∥BC．
（2）如圖2，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖2這樣的圖形稱之為“8字形”．請利用小穎探究的結論直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系： ；
（3）在圖2的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N，得到圖3，請判斷∠P與∠D、∠B之間存在的數量關系，并說明理由．
【解答】（1）證明：過A作EF∥BC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；
（2）解：根據（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，
又∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B；
故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（3）解：2∠P＝∠D+∠B．
根據（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠PAB+∠P＝∠B+∠PCB②，
∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，
∴2∠P＝∠D+∠B．
8．（2022春?張家川縣期末）如圖，∠MON＝90°，點A、B分別在直線OM、ON上，BC是∠ABN的平分線．
（1）如圖1，若BC所在直線交∠OAB的平分線于點D時，嘗試完成①、②兩題：
①當∠ABO＝40°時，∠ADB＝ °；當∠ABO＝70°時，∠ADB＝ °；
②當點A、B分別在射線OM、ON上運動時（不與點O重合），試問：隨著點A、B的運動，∠ADB的大小會變嗎？如果不會，請求出∠ADB的度數；如果會，請求出∠ADB的度數的變化范圍；
（2）如圖2，若BC所在直線交∠BAM的平分線于點C時，將△ABC沿EF折疊，使點C落在四邊形ABEF內點C′的位置、求∠BEC′+∠AFC′的度數．
【解答】解：（1）①∵∠ABO＝40°，
∴∠OAB＝50°，∠ABN＝140°，
∵BC是∠ABN的平分線，AD是∠OAB的平分線，
∴∠DAB＝∠OAB＝25°，∠ABC＝∠ABN＝70°，
∴∠ADB＝∠ABC﹣∠DAB＝45°；
∵∠ABO＝70°，
∴∠OAB＝20°，∠ABN＝110°，
∵BC是∠ABN的平分線，AD是∠OAB的平分線，
∴∠DAB＝∠OAB＝10°，∠ABC＝∠ABN＝55°，
∴∠ADB＝∠ABC﹣∠DAB＝45°；
故答案為：45；45；
②隨著點A、B的運動，∠ADB的大小不變．
設∠ABO＝α，
∵∠MON＝90°，
∴∠BAD＝45°﹣，∠ABC＝90°﹣，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝90°+，
∴∠ADB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABD＝45°；
（2）∵∠MON＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝（∠BAM+∠ABN）＝135°，
∴∠C＝45°，
∴∠CEC′+∠CFC′＝2（180°﹣∠C）＝270°，
∴∠BEC′+∠AFC′＝360°﹣（∠CEC′+∠CFC′）＝90°．

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