【典例1】（1）已知：如圖，n邊形A1A2A3A4A5…An．求證：n邊形A1A2A3A4A5…An的內(nèi)角和等于（n﹣2）?180°；
（2）在一個各內(nèi)角都相等的多邊形中，每一個內(nèi)角都比相鄰的外角的3倍還大20°，求這個多邊形的內(nèi)角和；
（3）粗心的小明在計算一個多邊形的內(nèi)角和時，誤把一個外角也加進去了，得其和為1180°．請直接寫出這個多加的外角度數(shù)及多邊形的邊數(shù)．
【思路點撥】
（1）根據(jù)從n邊形的一個頂點可以作（n﹣3）條對角線，這（n﹣3）條對角線要和多邊形的兩邊組成三角形，得出把三角形分割成的三角形個數(shù)．欲證明多邊形的內(nèi)角和定理，可以把多邊形的內(nèi)角轉(zhuǎn)移到三角形中，利用三角形內(nèi)角和等于180°解答；
（2）設(shè)多邊形的一個外角為α°，則與其相鄰的內(nèi)角為（3α+20）°，根據(jù)題意列出方程可得答案；
（3）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°可知，多邊形的內(nèi)角和是180°的倍數(shù)，然后求出多邊形的邊數(shù)以及多加的外角的度數(shù)即可得解．
【解題過程】
解：（1）∵從n邊形的一個頂點可以作（n﹣3）條對角線，
∴得出把三角形分割成的三角形個數(shù)為：n﹣3+1＝n﹣2，
∵這（n﹣2）個三角形的內(nèi)角和都等于180°，
∴n邊形的內(nèi)角和是（n﹣2）×180°；
（2）設(shè)多邊形的一個外角為α°，則與其相鄰的內(nèi)角為（3α+20）°，
由題意，得（3α+20）+α＝180，
解得α＝40，
即多邊形的每個外角為40°，
∵多邊形的外角和為360°，
∴多邊形的邊數(shù)為360°÷40°＝9，
內(nèi)角和為（9﹣2）×180°＝1260°，
答：這個多邊形的內(nèi)角和為1260°；
（3）設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，多加的外角度數(shù)為α，則
（n﹣2）?180°＝1180°﹣α，
∵1180°＝6×180°+100°，內(nèi)角和應(yīng)是180°的倍數(shù)，
∴小明多加的一個外角為100°，
∴這是6+2＝8邊形的內(nèi)角和．
答：這個外角的度數(shù)是100°，該多邊形的邊數(shù)是8．
1．（2022?九龍坡區(qū)校級開學(xué)）已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都比它相鄰的外角的4倍多30°，這個多邊形是（ ）
A．十邊形B．十一邊形C．十二邊形D．十三邊形
2．（2021秋?龍山縣期末）從九邊形的一個頂點出發(fā)，可以作①條對角線，它們將九邊形分成②個三角形．對于符號①、②表示的數(shù)字正確的是（ ）
A．①6、②7B．①7、②8C．①8、②8D．①9、②7
3．（2021春?東坡區(qū)期末）某校新建的科技館準(zhǔn)備用正多邊形地磚鋪設(shè)地面，下列組合中能鋪滿地面的是（ ）
A．正方形和正六邊形B．正三角形和正六邊形
C．正五邊形和正八邊形D．正方形和正十邊形
4．（2021秋?桓臺縣期末）如圖，桐桐從A點出發(fā)，前進3m到點B處后向右轉(zhuǎn)20°，再前進3m到點C處后又向右轉(zhuǎn)20°，…，這樣一直走下去，她第一次回到出發(fā)點A時，一共走了（ ）
A．100mB．90mC．54mD．60m
5．（2021秋?尋烏縣期末）將一個四邊形ABCD的紙片剪去一個三角形，則剩下圖形的內(nèi)角和為（ ）
A．180°B．180°或360°
C．360°或540°D．180°或360°或540°
6．（2021秋?銅官區(qū)期末）如圖，在五邊形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3分別是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，則∠1+∠2+∠3的度數(shù)為（ ）
A．180°B．210°C．240°D．270°
7．（2021秋?微山縣期末）如圖，正六邊形IMNPGH的頂點分別在正六邊形ABCDEF的邊上．若∠FHG＝28°，則∠BIM等于（ ）
A．28°B．32°C．48°D．52°
8．（2021春?長寧區(qū)期末）小明測量了某凸多邊形的內(nèi)角和，登記時不慎被油墨玷污，僅能看清其記錄的是一個三位數(shù)，其百位數(shù)是7，則這個凸多邊形的邊數(shù)為 ．
9．（2021春?市北區(qū)期末）用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起的三塊正多邊形木板頂點重合，且各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數(shù)分別是4和6，則第三塊木板的邊數(shù)是 ．
10．（2021秋?青島期末）如圖，試求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度數(shù)為 ．
11．（2021秋?江都區(qū)期末）如圖，A、B、C均為一個正十邊形的頂點，則∠ACB＝ °．
12．（2021秋?海淀區(qū)校級期中）如圖①，猜想：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝
我們把圖①稱為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F；圖②稱為二環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和為∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H．則二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為
二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為
二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為
13．（2021秋?西峰區(qū)期末）已知一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180°，求這個多邊形的邊數(shù)和對角線的條數(shù)．
14．（2021秋?海淀區(qū)校級期中）看對話答題：小梅說：這個多邊形的內(nèi)角和等于1125°．小紅說：不對，你少加了一個角．
問題：
（1）他們在求幾邊形的內(nèi)角和？
（2）少加的那個內(nèi)角是多少度？
15．（2021秋?孝昌縣校級月考）以下提供了將凸多邊形分割成若干個三角形的一種方法：
（1）試根據(jù)所給的方法，將圖④中的七邊形分割成 個三角形；
（2）按這種方法，凸n邊形可以分割成 個三角形；
（3）請根據(jù)上述方法，以三角形的內(nèi)角和定理為依據(jù)，推導(dǎo)凸n邊形的內(nèi)角和公式：凸n邊形的內(nèi)角和＝（n﹣2）×180°；
（4）利用（3）中的公式解答下面的問題：
凸n邊形的內(nèi)角和再加上某個外角等于1350°，求這個多邊形的邊數(shù)以及這個外角的度數(shù)．
16．（2021秋?余干縣月考）如圖，將六邊形紙片ABCDEF沿虛線剪去一個角（∠BCD）后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°．
（1）求六邊形ABCDEF的內(nèi)角和；
（2）求∠BGD的度數(shù)．
17．（2021春?臥龍區(qū)期末）（1）問題發(fā)現(xiàn)：由“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”聯(lián)想到四邊形的外角．
如圖①，∠1，∠2是四邊形ABCD的兩個外角．
∵四邊形ABCD的內(nèi)角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
由此可得∠1，∠2與∠A，∠D的數(shù)量關(guān)系是 ；
（2）知識應(yīng)用：如圖②，已知四邊形ABCD，AE，DE分別是其外角∠NAD和∠MDA的平分線，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度數(shù)；
（3）拓展提升：如圖③，四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的兩個外角，且∠CDP∠CDN，∠CBP∠CBM，求∠P的度數(shù)．
18．（2021春?新吳區(qū)月考）（1）如圖①，把三角形紙片ABC沿DE折疊，當(dāng)點A落在四邊形BCDE的內(nèi)部時，∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請試著找一找這個規(guī)律 ；
（2）如果把△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在四邊形BCED的外部點A′的位置，如圖②，此時∠A與∠1、∠2之間存在什么樣的關(guān)系？
（3）如果把四邊形ABCD沿EF折疊，使點A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部A′、D′的位置，如圖③，你能求出∠A、∠D、∠1與∠2之間的關(guān)系嗎？（直接寫出關(guān)系式即可）
19．（2021秋?永吉縣期中）
（1）四邊形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°．
①如圖1，若∠B＝∠C，則∠C＝ °；
②如圖2，若∠ABC的平分線BE交DC于點E，且BE∥AD，則∠C＝ ；
③如圖3，若∠ABC和∠BCD的平分線相交于點E，則∠BEC＝ °；
（2）如圖3，當(dāng)∠A＝α，∠D＝β時，若∠ABC和∠BCD的平分線交于點E，∠BEC與α，β之間的數(shù)量關(guān)系為 ；
（3）如圖4，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，CP，DP分別平分∠BCD和∠EDC，求∠P的度數(shù)．
20．（2021秋?臨江市期末）我們探究過三角形內(nèi)角和等于180°，四邊形內(nèi)角和等于360°，請解決下面的問題：
（1）如圖1，∠A+∠B+∠C+∠D＝180°，則∠AOB+∠COD＝ （直接寫出結(jié)果）；
（2）連接AD、BC，若AO、BO、CO、DO分別是四邊形ABCD的四個內(nèi)角的平分線；
①如圖2，如果∠AOB＝110°，那么∠COD的度數(shù)為 （直接寫出結(jié)果）；
②如圖3，若∠AOD＝∠BOC，AB與CD平行嗎？請寫出理由．

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