湖南省永州市東安縣2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（原卷版解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）
1. 下列圖案中，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是中心對(duì)稱(chēng)圖形，利用中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱(chēng)中心，進(jìn)而判斷得出即可．
【詳解】解：A、圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；
B、圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；
C、圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；
D、圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意．
故選：B．
2. 一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個(gè)多邊形是（）
A. 三角形B. 四邊形C. 五邊形D. 六邊形
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式與多邊形的外角和定理列式進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【詳解】設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，根據(jù)題意，得
，
解得：，
∴這個(gè)多邊形是六邊形．
故選：D
3. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是中線(xiàn),則CD的長(zhǎng)為( )
A 2.5B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【詳解】∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=5，
∵CD是中線(xiàn)，
∴CD=2.5.
故選A.
4. 正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形,它的對(duì)稱(chēng)軸共有( )
A. 1條B. 2條C. 3條D. 4條
【答案】D
【解析】
【分析】
【詳解】正方形的對(duì)稱(chēng)軸是兩對(duì)角線(xiàn)所在的直線(xiàn)，兩對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸共4條．
故選D．
5. 將一個(gè)直角三角板和一把直尺如圖放置，如果∠α＝47°，則∠β的度數(shù)是（）
A. 43°B. 47°C. 30°D. 60°
【答案】A
【解析】
【分析】延長(zhǎng)BC交刻度尺的一邊于D點(diǎn)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，對(duì)頂角的性質(zhì)，將已知角與所求角轉(zhuǎn)化到Rt△CDE中，利用內(nèi)角和定理求解．
【詳解】如圖，延長(zhǎng)BC交刻度尺的一邊于D點(diǎn)，
∵AB∥DE，
∴∠β＝∠EDC，
又∵∠CED＝∠α＝47°，∠ECD＝90°，
∴∠β＝∠EDC＝90°﹣∠CED＝90°﹣47°＝43°．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線(xiàn)的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造出平行線(xiàn)是解答此題的關(guān)鍵．
6. 下列說(shuō)法正確的是( )
A. 對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是平行四邊形
B. 對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形
C. 對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是平行四邊形
D. 對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形是平行四邊形
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查的是平行四邊形的判定方法.
【詳解】對(duì)角線(xiàn)互相平分四邊形是平行四邊形，故選B.
故選B.
7. 如圖，正方形小方格邊長(zhǎng)為1，則網(wǎng)格中的是（）
A. 直角三角形B. 銳角三角形
C. 鈍角三角形D. 以上答案都不對(duì)
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理的逆定理：已知的三邊滿(mǎn)足，則三角形是直角三角形．
根據(jù)勾股定理求得各邊的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判定，即可得出答案．
【詳解】正方形小方格邊長(zhǎng)為1，
，，
，
網(wǎng)格中的是直角三角形
故選A．
8. 如圖，的周長(zhǎng)為，與相交于點(diǎn)，交于，則的周長(zhǎng)為（）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由的周長(zhǎng)為，即可求得，又由，可得是線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)，即可得，繼而可得的周長(zhǎng)等于的長(zhǎng)．
【詳解】解：四邊形是平行四邊形，
，，，
的周長(zhǎng)為，
，
，，
，
的周長(zhǎng)為：．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)．此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
9. 如圖，正方形和正方形中，點(diǎn)在上，，，是的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（）

A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】連接、，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，，，則，再利用勾股定理計(jì)算出，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)，求的長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖，連接、，

正方形和正方形中，，，
，，
，
，
由勾股定理得，，
是的中點(diǎn)，
．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)及勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10. 如圖，，過(guò)點(diǎn)P作且，得；再過(guò)點(diǎn)P1作且，得；又過(guò)點(diǎn)P2作且，得……依此法繼續(xù)作下去，得（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了勾股定理以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)，熟練掌握勾股定理，從數(shù)字找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
由勾股定理結(jié)合數(shù)字找出規(guī)律，即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：由勾股定理得，，
，
…
故選D．
二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）
11. 如圖，在中，，是高，，．則的長(zhǎng)為．
【答案】的長(zhǎng)為1
【解析】
【分析】利用含角的直角三角形的性質(zhì)即可得到答案．
【詳解】解：在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
的長(zhǎng)為1．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含角的直角三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
12. 如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC，BD交于點(diǎn)O，OA=OC，OB=OD，添加一個(gè)條件使四邊形ABCD是菱形，那么所添加的條件可以是___________（寫(xiě)出一個(gè)即可）．
【答案】AB=AD（答案不唯一）.
【解析】
【詳解】已知OA=OC，OB=OD，可得四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定定理添加鄰邊相等或?qū)蔷€(xiàn)垂直即可判定該四邊形是菱形．所以添加條件AB=AD或BC=CD或AC⊥BD，本題答案不唯一，符合條件即可.
13. 已知、、是的三邊長(zhǎng)，且滿(mǎn)足關(guān)系式，則的形狀為_(kāi)_________．
【答案】等腰直角三角形
【解析】
【分析】本題考查二次根式被開(kāi)方數(shù)及絕對(duì)值的非負(fù)性，勾股定理逆定理，利用二次根式被開(kāi)方數(shù)和絕對(duì)值的非負(fù)性求得，，從而得到且，從而進(jìn)行判斷．．
【詳解】解：∵，
∴，，
則且，
∴為等腰直角三角形
故答案為：等腰直角三角形．
14. 如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是_____．
【答案】11
【解析】
【分析】利用勾股定理列式求出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．
【詳解】∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，
∴．
∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，
∴EH=FG=AD，EF=GH=BC．
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=EH+GH+FG+EF=AD+BC．
又∵AD=6，
∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=6＋5=11．
故答案為：11．
15. 如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，E是AB邊上的一點(diǎn)，且AE=6，點(diǎn)Q為對(duì)角線(xiàn)AC上的動(dòng)點(diǎn)，則△BEQ周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)______．
【答案】12
【解析】
【分析】連接BD，DE，如圖，根據(jù)正方形的性質(zhì)可知點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)，故DE的長(zhǎng)即為BQ+QE的最小值，然后在Rt△ADE中根據(jù)勾股定理求出DE，進(jìn)而可得結(jié)果．
【詳解】解：連接BD，DE，如圖,
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)，
∴DE的長(zhǎng)即為BQ+QE的最小值，
∵AD=AB=8，AE=6，
∴DE＝，
∵AB＝8，AE＝6，
∴BE＝2，
∴△BEQ周長(zhǎng)的最小值＝DE+BE＝10+2＝12．
故答案為：12．
【點(diǎn)睛】本題是典型的“將軍飲馬”問(wèn)題，主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和利用對(duì)稱(chēng)性求兩線(xiàn)段和的最小值問(wèn)題，屬于?？碱}型，熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
16. 若菱形兩條對(duì)角線(xiàn)的比為3：4，且周長(zhǎng)為20cm，則它的面積等于________cm2．
【答案】24
【解析】
【詳解】解：設(shè)BO=4x，則AO=3x，菱形周長(zhǎng)為20cm，則AB=5cm，菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，∴（3x）2+（4x）2=52，得x=1，即AO=3cm，BO=4cm，∴菱形的面積為S=×6cm×8cm=24cm2，故答案為24．
點(diǎn)睛：本題考查了菱形面積的計(jì)算，考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，本題中根據(jù)勾股定理求AO、BO的值是解題的關(guān)鍵．
17. 如圖，矩形的對(duì)角線(xiàn)和相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別交和于點(diǎn)、，，，，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，矩形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相平分，所以過(guò)交點(diǎn)的把矩形分成面積相等的兩部分，通過(guò)面積的等量代換可求出解．
【詳解】解：矩形的對(duì)角線(xiàn)和相交于點(diǎn)，
四邊形里面的空白三角形的面積和四邊形中陰影三角形的面積相等．
求陰影部分的面積可看成求四邊形的面積．
陰影部分的面積為：．
故答案為：．
18. 如圖，將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為4，8的長(zhǎng)方形紙片折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合，則折痕的長(zhǎng)是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查了矩形與折疊及勾股定理，添加合適的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
先過(guò)點(diǎn)F作于G．利用勾股定理可求出，再利用翻折變換的知識(shí)，可得到，，再利用平行線(xiàn)及等量代換得出，根據(jù)等角對(duì)等邊得出．在和中，兩次利用勾股定理即可得出答案．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F作于G
∵是直角梯形的折痕
∴，．
又∵
∴
∴
，
在中，
，
在中，，
（負(fù)值已舍去）
故答案為：．
三、解答題（本大題共7題，共58分．）
19. 如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)．求證：．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．根據(jù)“平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)”證得四邊形為平行四邊形，然后由“平行四邊形的對(duì)邊相等”的性質(zhì)證得結(jié)論．
【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，
，；
又點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，
，，
四邊形為平行四邊形，
．
20. 如圖，小明同學(xué)在點(diǎn)P處測(cè)得教學(xué)樓A位于北偏東方向，辦公樓B位于南偏東方向．小明沿正東方向前進(jìn)60米到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得教學(xué)樓A恰好位于正北方向．辦公樓B正好位于正南方向．求教學(xué)樓A與辦公樓B之間的距離________．
【答案】米
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--方向角問(wèn)題，先證出米，再由銳角三角函數(shù)定義求出（米），即可求解．
【詳解】解：由題意可知：．
在中，，
∴米，
在中，，
∵，
∴（米）．
∴米，
即：教學(xué)樓A與辦公樓B之間的距離是米．
故答案為：米
21. 如圖，點(diǎn)D、B分別在∠A的兩邊上，C是∠A內(nèi)一點(diǎn)，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求證：CE = CF．
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
【分析】首先證明△ADC≌△ABC可得∠DAC＝∠BAC，再根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得結(jié)論．
【詳解】證明：在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，
∴CE＝CF．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線(xiàn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．
22. 如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB 于點(diǎn)H，連接OH，求證：∠DHO=∠DCO.
【答案】證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分可得OD=OB，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半可得OH=OB，然后根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠OHB=∠OBH，根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根據(jù)等角的余角相等證明即可．
【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠COD=90°，
∵DH⊥AB，
∴OH=BD=OB，
∴∠OHB=∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH=∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，
∴∠DHO=∠DCO．
23. 如圖，∠A=∠B=90°，E是AB上的一點(diǎn)，且AE=BC，∠1=∠2．
（1）求證：△ADE≌△BEC；
（2）求證：△CDE 是直角三角形．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）證明見(jiàn)解析；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)∠1=∠2，得DE=CE，利用“HL”可證明Rt△ADE≌Rt△BEC；
（2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3=∠4，從而得出∠4+∠5=90°，則△CDE是直角三角形．
【小問(wèn)1詳解】
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵∠A=∠B=90°，
在Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴△ADE≌△BEC（HL）．
【小問(wèn)2詳解】
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形全等的判定，以及直角三角形的判定，本題中主要運(yùn)用兩個(gè)直角三角形，有一條直角邊對(duì)應(yīng)相等以及斜邊相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等，兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形為直角三角形，大家要熟練掌握．
24. 如圖，矩形中，點(diǎn)P是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)，O為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于Q．
（1）求證：；
（2）若厘米，厘米，P從點(diǎn)A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運(yùn)動(dòng)（不與D重合），設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)用t表示的長(zhǎng)；并求t為何值時(shí)，四邊形是菱形．
【答案】（1）見(jiàn)解析（2）秒
【解析】
【分析】（1）根據(jù)四邊形是矩形可得，，再根據(jù)O為的中點(diǎn)得出，即可證出．
（2）根據(jù)厘米，厘米，得出和的長(zhǎng)，再根據(jù)四邊形是菱形列方程求出t的值．
【小問(wèn)1詳解】
證明：∵四邊形是矩形
∴，
∴，
又∵O為的中點(diǎn)，
∴，
在與中，
∴，
∴；
【小問(wèn)2詳解】
由題意得，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴時(shí)，四邊形是菱形，
∵四邊形是矩形，
∴，
在中，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，
即運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形是菱形．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定，在解題時(shí)與全等三角形結(jié)合是解本題的關(guān)鍵．
25. 如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一動(dòng)點(diǎn)(P與B、C不重合)，連接AP，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AP交CD于點(diǎn)Q，將△BQC沿BQ所在的直線(xiàn)對(duì)折得到△BQC′，延長(zhǎng)QC′交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M．
(1)試探究AP與BQ的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)當(dāng)AB=3，BP=2PC，求QM的長(zhǎng)；
(3)當(dāng)BP=m，PC=n時(shí)，求AM的長(zhǎng)．
【答案】(1)AP=BQ；(2)QM的長(zhǎng)為；(3)AM的長(zhǎng)為．
【解析】
【分析】(1)要證AP=BQ，只需證△PBA≌△QCB即可；
(2)過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，如圖．易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后運(yùn)用勾股定理可求得AP(即BQ)=，BH=2．易得DC∥AB，從而有∠CQB=∠QBA．由折疊可得∠C′QB=∠CQB，即可得到∠QBA=∠C′QB，即可得到MQ=MB．設(shè)QM=x，則有MB=x，MH=x-2．在Rt△MHQ中運(yùn)用勾股定理就可解決問(wèn)題；
(3)過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，如圖，同(2)的方法求出QM的長(zhǎng)，就可得到AM的長(zhǎng)．
【詳解】解：(1)AP=BQ．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠ABQ+∠CBQ=90°．
∵BQ⊥AP，
∴∠PAB+∠QBA=90°，
∴∠PAB=∠CBQ．
在△PBA和△QCB中，
，
∴△PBA≌△QCB，
∴AP=BQ；
(2)過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，如圖．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴QH=BC=AB=3．
∵BP=2PC，
∴BP=2，PC=1，
∴BQ=AP===，
∴BH===2．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠CQB=∠QBA．
由折疊可得∠C′QB=∠CQB，
∴∠QBA=∠C′QB，
∴MQ=MB．
設(shè)QM=x，則有MB=x，MH=x-2．
在Rt△MHQ中，
根據(jù)勾股定理可得x2=(x-2)2+32，
解得x=．
∴QM長(zhǎng)為；
(3)過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AB于H，如圖．
∵四邊形ABCD正方形，BP=m，PC=n，
∴QH=BC=AB=m+n．
∴BQ2=AP2=AB2+PB2，
∴BH2=BQ2-QH2=AB2+PB2-AB2=PB2，
∴BH=PB=m．
設(shè)QM=x，則有MB=QM=x，MH=x-m．
在Rt△MHQ中，
根據(jù)勾股定理可得x2=(x-m)2+(m+n)2，
解得x=m+n+，
∴AM=MB-AB=m+n+-m-n=．
∴AM的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，設(shè)未知數(shù)，然后運(yùn)用勾股定理建立方程，是求線(xiàn)段長(zhǎng)度常用的方法，應(yīng)熟練掌握．

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