一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個選項是符合題意的)
1. 的值等于（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可得答案．
【詳解】解：，
故選A
【點睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵．
2. 如圖是一種零件的實物圖，則它的左視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了三視圖，根據(jù)從左邊看到的圖形是左視圖，逐項分析判斷，即可求解．
【詳解】選項 A中的左視圖中沒有虛線，選項B是它的主視圖，選項D 是它的俯視圖，
只有選項C是它的左視圖，
故選C.
3. 已知線段成比例，且，，則線段的長為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)線段成比例，可得，由可得，把，代入比例式計算即可求解，掌握成比例線段的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵線段成比例，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故選：．
4. 若點，點在反比例函數(shù)的圖象上，且，則（ ）
A. B. C. D. 不能確定
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
先確定反比例函數(shù)的增減性，再利用比較它們的函數(shù)值的大?。?br>【詳解】∵，
∴函數(shù)的圖象在第一，三象限，并且在每個象限內(nèi)，y 隨x的增大而減小，
∵點 點 在反比例函數(shù)的圖象上，且 ，
∴．
故選：B．
5. 如圖是由5個小正方形連接而成的圖形，它需再添加一個小正方形，折疊后才能圍成一個正方體．圖中的黑色小正方形分別由四位同學補畫，其中正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要是考查正方體展開圖．根據(jù)正方體展開圖的特征，即可求解．
【詳解】解：解：把所給圖形補成正方體展開圖的“141”結(jié)構(gòu)如圖：
6. 在一個可以改變?nèi)莘e的密閉容器內(nèi)，裝有一定質(zhì)量的某種氣體，當改變?nèi)莘e時，氣體的密度也隨之改變，與在一定范圍內(nèi)滿足，它的圖象如圖所示，則該氣體的質(zhì)量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】將點代入，即可求得的值．
【詳解】解：點在圖象上，
，
解得：，
故選：C．
【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是由點的坐標，求出函數(shù)的解析式．
7. 如圖，在矩形中，于點F，若則的長度為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，通過證明，可得，可求的長，通過證明，可得，可求的長．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故選：B．
8. 中考新考法：真實問題情境·實物，如圖是橢圓機在使用過程中某時刻的側(cè)面示意圖，已知手柄滾輪連桿，且，連桿與底坐的夾角為，則該橢圓機的機身高度（點到地面的距離）為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此題考查了解直角三角形的應用，矩形的判定和性質(zhì)等知識，作垂足分別為點E和點H，作于點F，證明四邊形是矩形，同時得到，求得，的值，即可得到答案．
【詳解】解：如圖，作垂足分別為點E和點H，作于點F，
∴，，
∴四邊形是矩形，，
∴，
∵，
∴，，
∴,
∴，
故選：D
9. 如圖，在中，以邊為直徑作交于點D，過點D作的切線交AB于點E．若D為的中點，，則的值為（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，正確做輔助線是解題的關(guān)鍵；
由為的直徑，得，根據(jù)中位線的性質(zhì)得，在證 是等腰三角形，證得，即可得出結(jié)論．
【詳解】如圖，連接，，
為的直徑，
，
又D為的中點，O 為的中點，
是的中位線，
，
，
又，
，
，
是等腰三角形，
是的切線，
，
又為的直徑，
，
，
，
，
，

，
，
故選：C．
10. 如圖矩形的邊在軸上，點的坐標為，，將矩形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形此時，點的對應點與點的對應點均落在軸上，則點的坐標為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)全等三角形的判定與的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是注意題中輔助線的作法．圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標．過點作軸于點，證明，可得，，然后證明，可得，進而可以解決問題．
【詳解】解：如圖，過點作軸于點，
點的坐標為，，
，，
，
矩形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：B
二、填空題(共5小題，每小題3分，共15分)
11. 如圖，在中，，則的長為_________．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查的是解直角三角形，銳角三角函數(shù)，先求出的長，進面可求出的長，熟知特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
故答案為：．
12. 如圖，平行于地面的三角形紙片上方有一燈泡(看作一個點O)，燈泡發(fā)出的光線照射后，在地面上形成陰影．已知燈泡距離地面3m，燈泡距離紙片1m，則陰影與紙片的面積比為________．
【答案】9：1
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的應用，三角形的面積，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)題意可得：，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得．
【詳解】解：由題意得：，
，
故答案：．
13. 數(shù)學實踐小組要測量某路段上一處無標識的車輛限高桿的高度，如圖，他們先用測傾器在C處測得點A的仰角，然后在距離C處2米的D處測得點A的仰角，已知測傾器的高度為1.6米，C、D、B在一條直線上，則車輛限高桿的高度為______米．（結(jié)果保留根號）
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應用．延長交于點H，則，米，米，設米，然后在和中，解直角三角形，即可求解．
【詳解】解：如圖，延長交于點H，則，米，米，
設米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴，
即，
解得：
∴米．
故答案為：
14. 如圖，在中，E，F(xiàn)分別是的中點，連接分別交對角線于點G，H，I，若的面積為6，則圖中陰影部分的面積為________．
【答案】10
【解析】
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)，過點B作于點P，先證明可得計算出再求解再相加即可得出答案，
【詳解】如圖，過點B作于點P，
∵四邊形為平行四邊形，
，
E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，
四邊形為平行四邊形，
的面積為6，
，
，
∵，
∴，
同理可得，
故答案為：10
【點睛】如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，連接AE，EF，CF分別交對角線BD于點G，H，I，若△ABE的面積為6，則圖中陰影部分的面積為
15. 如圖，在平面直角坐標系中，矩形的兩邊分別在軸、軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象與相交于點，與相交于點，若點的坐標為的面積是，則的值為______．

【答案】2
【解析】
【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的的值，求出點M的坐標為，點N的坐標為，根據(jù)進行計算即可．
【詳解】解：四邊形是矩形，
，，
∵點的坐標為
∴，
則點M的坐標為，點N的坐標為，
∴
解得，
故答案為：2．
三、解答題(共8小題，共75分．解答應寫出過程)
16. 如圖，在平面直角坐標系中，的頂點A，B，C的坐標分別是、、，結(jié)合平面直角坐標系解答下列問題．
（1）畫出繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到的，并寫出點的坐標；
（2）以點O為位似中心，畫出一個三角形，使它與的相似比為，且不在同一象限．
【答案】（1）圖見解析，點的坐標為；
（2）圖見解析；
【解析】
【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分別作出對應點、、，依次連接即可得到和點的坐標；
（2）利用位似變換的性質(zhì)分別作出對應點，依次連接即可得到答案．
【小問1詳解】
解：如下圖，點的坐標為；
【小問2詳解】
解：位似三角形如圖所示．
【點睛】本題考查了作圖—旋轉(zhuǎn)變換、位似變換，張哦我旋轉(zhuǎn)變換和位似變換的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
17. 如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點，點，與y軸交于點C．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）點D是點C關(guān)于x軸的對稱點，求的面積；
（3）直接寫出不等式的解集．
【答案】（1）反比例函數(shù)得解析式為，一次函數(shù)的解析式為
（2）16 （3）或
【解析】
【分析】（1）由點，點是的圖象與直線的交點，則，解得，得到，，，得到反比例函數(shù)解析式，再用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式即可；
（2）求出點，得到，即可得到答案；
（3）根據(jù)圖象位置得到解集即可．
【小問1詳解】
解：∵點，點是圖象與直線的交點，
∴，
解得，
∴，，，
∴反比例函數(shù)得解析式為，
將點，代入一次函數(shù)中，
得 解得
∴一次函數(shù)的解析式為，
【小問2詳解】
對于直線，
令，得，
∴點C的坐標為，
∵點D是點C關(guān)于x軸的對稱點
∴點，
∴，
∴；
【小問3詳解】
由題圖可知，不等式的解集為或．
【點睛】此題是反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法、關(guān)于坐標軸對稱等知識，數(shù)形結(jié)合和準確計算是解題的關(guān)鍵．
18. 如圖，在中，D是上一點，連接，點E在上，連接，已知，且．
（1）求證：；
（2）若，求的長．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)等等：
（1）先根據(jù)等邊對等角得到，則可證明，再證明，即可證明；
（2）先證明，求出進而得到，由（1）得 ，即 解之即可得到答案．
【小問1詳解】
證明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即
∴
由（1）得 ，即
整理得
解得 (邊長為正值，舍去負值)．
19. 如圖，是一條東西走向的海岸線，一艘貨船在點A處測得燈塔C位于北偏東方向后，以每小時40海里的速度沿北偏東方向航行，經(jīng)過2小時后到達點D處，在D處測得燈塔C位于南偏東：方向，已知燈塔C距離海岸的距離是44海里，求此時貨船與燈塔之間的距離．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，)
【答案】42.7海里
【解析】
【分析】本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，正確標注方向角、掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過點 D 作 交的延長線于點E，作 于點F，先求得海里，再求得海里，最后解直角三角形即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，過點 D 作 交的延長線于點E，作 于點F，
∵，

在 中， 海里，
海里，
海里，
，
，
，
在 中， ．
答：此時貨船與燈塔之間的距離CD 約為42.7海里．
20. 如圖，是的直徑，是的切線，以為鄰邊作，邊交于點E，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】
【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
（1）連接，先證明，可得，再由是的切線，可得，從而可得結(jié)論；
（2）過點 E作于點 F，延長交的延長線于點 M，連接交于點H，先用勾股定理求出，再由四邊形為平行四邊形，為直徑，可得，再證明,求出，再證明，求出最后求解即可．
【小問1詳解】
證明：如解圖①，連接，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵是的切線，
∴，
∵是的半徑，
∴是的切線；
【小問2詳解】
如圖②，過點 E作于點 F，延長交的延長線于點 M，連接交于點H，
∴，

∴在中，



∵四邊形為平行四邊形，為直徑，
∴，
在中，
又∵O為的中點，，
∴



在中，，
∴，
∵，
∴，

解得
由（1）知，，

21. 中考新考法：跨物理并聯(lián)電路，請閱讀下列材料，完成相應的任務：
任務：
（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：
依據(jù)1：____________；
依據(jù)2：____________；
（2）如圖②，兩個電阻并聯(lián)在同一電路中，已知千歐，千歐，請在圖③中（1個單位長度代表1千歐）畫出表示該電路圖中總阻值的線段長；
（3）受以上作圖法的啟發(fā)，小明提出了已知和，求的一種作圖方法，如圖④，作，使，過點作的垂線，并在垂線上截取，使點與點在直線的同一側(cè)，作射線，交的延長線于點，則即為．你認為他的方法是否正確，若正確，請加以證明；若不正確，請說明理由．
【答案】（1）有兩個角分別相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊成比例；
（2）見解析； （3）正確，證明見解析．
【解析】
【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正確理解已知證明過程是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)分析即可；
（2）根據(jù)已知證明過程和圖形作圖即可；
（3）證明，得到，再結(jié)合，，得出，即可證明．
【小問1詳解】
解：由證明過程可知，依據(jù)1：有兩個角分別相等的兩個三角形相似，
依據(jù)2：相似三角形對應邊成比例；
故答案為：有兩個角分別相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊成比例；
【小問2詳解】
解：如圖，即為該電路圖中總阻值的線段長；
小問3詳解】
解：，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
小明的方法是正確的．
22. 中考新考法：注重過程性學習，某數(shù)學小組在研究函數(shù)時，對函數(shù)的圖象進行了探究，探究過程如下：

（1）①與的幾組對應值如下表，請補全表格；
②在上圖平面直角坐標系中，描出上表中各組對應值為坐標的點，并根據(jù)描出的點畫出該函數(shù)的圖象；
（2）我們知道，函數(shù)的圖象是由二次函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向上平移個單位得到的．類似地，請直接寫出將的圖象經(jīng)過怎樣的平移可以得到的圖象；
（3）若一次函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于兩點，連接，求的面積．
【答案】（1）見解析，
（2）向左平移1個單位，向上平移2個單位
（3）
【解析】
【分析】本題主要考查的是反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，理解題意，靈活運用所學知識解決問題是解題的關(guān)鍵．
（1）求出時的函數(shù)值，利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；
（2）根據(jù)平移的方式即可解答；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象即可解答；
【小問1詳解】
當時，，
補全表格為：
圖象如下：
【小問2詳解】
的圖象向左平移1個單位，向上平移2個單位可以得到的圖象；
【小問3詳解】
一次函數(shù)的圖象，如圖，可知，
∴的面積為．

23. 在和中，，點F是的中點，連接，將繞點C旋轉(zhuǎn)一周，試判斷和的關(guān)系．
（1）如圖①，當點E在上時，和的數(shù)量關(guān)系為_____________，直線和直線相交所成的銳角的度數(shù)為______________；
（2）如圖②，當點E不在上時，（1）中的關(guān)系是否仍然成立，如果成立，請證明；如果不成立，請寫出新的關(guān)系，并說明理由．
（3）若，將繞著點C旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當D，E，B三點共線時，直接寫出的長．
【答案】（1），
（2）成立，證明見解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，再由點F是的中點，可得是等腰直角三角形，點C，D，F(xiàn)三點共線，從而得到，直線和直線相交所成的銳角的度數(shù)為，即可求解；
（2）連接，并延長和延長線交于點P，記與交于H，等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，可證明，從而得到，，再證明，可得，即可；
（3）分兩種情況討論：當點D在線段上時，過當C作交于點N；當點E在線段上時，過當C作交的延長線于點N，結(jié)合全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理，即可求解．
【小問1詳解】
解：在和中，∵，
∴和均為等腰直角三角形，
∴，，
∵點F是的中點，
∴，
∴等腰直角三角形，點C，D，F(xiàn)三點共線，
∴，直線和直線相交所成的銳角的度數(shù)為；
∴；
故答案為：，
【小問2詳解】
解：成立，證明如下：
如圖，連接，并延長和延長線交于點P，記與交于H，
由（1）得：和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，；
【小問3詳解】
解：如圖，當點D在線段上時，過當C作交于點N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴；
如圖，當點E在線段上時，過當C作交的延長線于點N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
由（2）得：，
∴；
綜上所述，的長為或．
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，利用類比思想解答和分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．有這樣一個題目：設有兩只電阻，分別為和，問并聯(lián)后的電阻值是多少？
我們可以利用公式求得值，也可以設計一種圖形直接得出結(jié)果，具體如下：如圖①，在直線上任取兩點，分別過點作直線的垂線，并在這兩條垂線上分別截取，且點位于直線的同側(cè)，連接，交于點，過點作直線，則線段的長度就是并聯(lián)后的電阻值．
證明：，
，
又，
（依據(jù)1），
（依據(jù)2）．
同理可得：，
，
，即．
…
1
2
3
…
…
3
4
6
1
…
…
1
2
3
…
…
3
4
6
1
…

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初中數(shù)學中考復習 精品解析：2022年湖南省永州市中考數(shù)學真題（原卷版）

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