一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
1. 若全集，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為，，所以，又，
所以.
故選：C.
2. 命題：的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】命題：是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
所以命題：的否定是：.
故選：C.
3. 若，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】解法一：
因為，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要條件.
解法二：
充分性：因為，且，所以，
所以，所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
解法三：
充分性：因為，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因為，且，
所以，
所以，所以，所以，所以必要性成立.
所以“”是“”的充要條件.
故選：C.
4. 若，則（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴，，∴.
故選：A．
5. 已知，則的最小值為（ ）
A. 10B. 9C. 26D. 11
【答案】D
【解析】因，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為11.
故選：D.
6. 下列各組函數(shù)中，圖象不完全相同的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. ，和，
【答案】B
【解析】A：由解析式，兩函數(shù)的定義域均為，
故與的圖象相同，不符；
B：對于，其定義域為，對于，
其定義域為，
在上，即它們部分圖象相同，符合；
C：由解析式，兩函數(shù)的定義域均為，則，
與圖象相同，不符；
D：顯然，和，的對應(yīng)法則和定義域都相同，即圖象相同，不符.
故選：B.
7. 若是方程的根，則（ ）
A. B. C. 7D.
【答案】C
【解析】設(shè)方程的另一根為，
由韋達(dá)定理可得：，即，同時，
所以.
故選：C.
8. 已知函數(shù).若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】當(dāng)時，由，
若時，，即，故；
若時，，即，故；
此時；
當(dāng)時，由，
所以或，即或（舍），
若時，，即，顯然無解；
若時，，即，故；
此時；
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
故選：A.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列命題為真命題的是（ ）
A. 若，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，則
【答案】AD
【解析】對于A：若，則正確；
對于B：取，滿足，，顯然不成立，錯誤；
對于C：取，滿足，，顯然不成立，錯誤，
對于D：構(gòu)造函數(shù)：，由對勾函數(shù)的單調(diào)性知其在上遞增，
又，所以，即，正確.
故選：AD.
10. 已知集合，集合，，則可能的取值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】由集合，解得，因為，所以，由集合可知，
當(dāng)時，解得，則，解得，與前提矛盾；
當(dāng)時，不等式的解集為，則由可知，，解得，
故可能取值為或.
故選：AB.
11. 若，滿足，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】因為（R），由可變形為，
，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，，故A錯誤，B正確；
由可變形為，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；
因為變形可得，
設(shè)，所以，
因此
，所以當(dāng)時，即時，
此時，取到最大值2，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 函數(shù)的定義域為___________.
【答案】且
【解析】由題意可得：，解得：且，
所以定義域為：且.
13. 若，則的值為___________.
【答案】2
【解析】由，可得：，
所以，
所以.
14. 噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：
已知在距離燃油汽車、電動汽車的m處測得實際聲壓分別為，，則______.
【答案】100
【解析】由，則，
由，則，所以.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 計算：
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）原式=.
（2）原式=.
（3）原式=.
16. 設(shè)全集為，集合，.
（1）當(dāng)時，求；
（2）若是的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）當(dāng)時，，或，
=，
.
（2）因為是的必要條件，所以.
當(dāng)，,即時，符合題意；
當(dāng)，即時，，或，化簡得：，或.
綜上所述：或.
17. 設(shè)命題，使得不等式恒成立；命題，使得一次函數(shù)的圖象不在軸下方.
（1）若命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若命題，中恰有一個為假命題，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）當(dāng)命題為真命題時，,，
因為的對稱軸為：，，
所以當(dāng)時，取得最小值為，
所以.解得：.
（2）當(dāng)命題為真命題時，則有，.
因為當(dāng)，的最大值為.
所以.解得：，或.
當(dāng)真假時，，解得.
當(dāng)假真時，，解得.
綜上所述：.
18. 如圖，某房地產(chǎn)開發(fā)公司要在矩形地塊上規(guī)劃出一塊五邊形地塊建造住宅區(qū).住宅區(qū)不能占用文物區(qū)，文物區(qū)可看作以為直角的等腰直角，設(shè)計時過作了一條直線，與交于，與交于；由實地測量知：，，.
（1）設(shè)，將住宅區(qū)的面積表示為的函數(shù)，并注明定義域；
（2）應(yīng)如何設(shè)計，可使住宅區(qū)的面積最大？并求出最大面積.
解：（1）過點作垂直于，垂直為，
在等腰中，，，
由得：，即，故，
所以，
所以，.
（2）令，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“=”.
答：當(dāng)時，住宅區(qū)的面積最大，最大值為.
19. 已知二次函數(shù).
（1）設(shè)，，證明：；
（2）已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)，使得對任意實數(shù)，有恒成立.判斷函數(shù)是否屬于集合，并說明理由；
（3）若對任意，不等式恒成立，求的最大值.
解：（1）若，顯然有；
若，設(shè)，則有；從而，故有；
綜上可知：.
（2）假設(shè)，則，，，
即，因為該式對于任意的實數(shù)均成立，
從而有，解之得，
而這與矛盾，故.
（3）恒成立，
，故；
，
令，則，，
. 當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，
所以，的最大值為.聲源
與聲源的距離/m
聲壓級/dB
燃油汽車A
10
80
電動汽車B
10
40

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