一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若集合，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】或，
所以．
故選：D.
2. 已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)的圖象大致為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設冪函數(shù)的解析式為：，
因其圖象經(jīng)過點，則得，解得，
于是，則該函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，
因，故函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱.
故選：B.
3. 已知α的終邊經(jīng)過點，且，則＝（ ）
A. B.
C. D. 2
【答案】A
【解析】因為α的終邊經(jīng)過點，且，
所以，再由，解得，
由正切函數(shù)定義得：，
故選：A.
4. 已知扇形OAB的周長為8cm，圓心角，則該扇形中弦長（ ）
A. 2 cmB. 4 cm
C. 2sin1 cmD. 4sin1 cm
【答案】D
【解析】設扇形的弧長為l，半徑為r，圓心角為α，
由已知得，解得，則弦長（cm）．
故選：D.
5. 如果是實數(shù)，那么“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】當時，不妨設，則.而當時，可能，此時，而.綜上所述“”是“”的充分不必要條件.
6. 已知關于x的一元二次方程的兩根為sinα，csα，則m的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】關于x的一元二次方程的兩根為
，可得m，
又由韋達定理可得
所以
解得即m．
故選：C.
7. 已知函數(shù)，，若，則的最小值為（ ）
A. 9B. C. 3D.
【答案】B
【解析】由題設，又，得，
整理得，且，則，
u所以，當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為．
故選：B.
8. 已知函數(shù)，若關于x的方程至少有兩個不等的實根，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因為，
作出函數(shù)的圖象，如圖所示：
關于x的方程至少有兩個不等的實根，
即關于x的方程至少有兩個不同的交點，
所以，
當時，令，解得，
當時，令，解得，
所以，解得．
故選：A.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列說法正確的有（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若，則
D. 若，則
【答案】AC
【解析】A中，因為，可得，所以，所以A正確；
B中，若，也可以，所以不正確，所以B不正確；
C中，，
因為，，而，所以，即，所以C正確；
D中，若，當時，則，則錯誤，所以D不正確．
故選：AC.
10. 筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用（圖1），明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）．若一半徑為2米的筒車水輪圓心O距離水面1米（圖3），已知水輪按逆時針轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖3中點）開始計時，點P距水面的高度可以用函數(shù)（）表示．下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 點P所滿足的函數(shù)表達式為
B. 點P第一次到達最高點需用時5秒
C. P再次接觸水面需用時10秒
D. 當點P運動2.5秒時，距水面的高度為1.5米
【答案】BC
【解析】函數(shù)中，所以，
時，，解得，因為，所以，
所以，A錯誤；
令得，則，解得，
所以x的最小值為5，即點P第一次到達最高點需用時5秒，B正確；
由題意知，點P再次接觸水面需用時（秒），C正確；
當時，，點P距水面的高度為2米，D錯誤．
故選：BC.
11. 已知函數(shù)，下列說法正確的有（ ）
A. 函數(shù)為奇函數(shù)
B. 函數(shù)的周期為π
C. 函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)
D. 當時，函數(shù)的圖象恒在直線的下方
【答案】ACD
【解析】對于A，函數(shù)的定義域為R，有，
則為奇函數(shù)，故A正確；
對于B，因，
故π不是函數(shù)的周期，故B錯誤；
對于C，因，
當時，為增函數(shù)且，
由復合函數(shù)的單調(diào)性知， 也是增函數(shù)，
故在上遞增，，
又由為奇函數(shù)，則在區(qū)間上為增函數(shù)，故C正確；
對于D，，
當時，由函數(shù)與的圖象（如圖）可知：，
因，則有恒成立，故，
即函數(shù)的圖象恒在直線的下方，故D正確．
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. _______．
【答案】
【解析】
故答案為：.
13. 已知定義在R上的奇函數(shù)關于對稱，當時，，則 _________．
【答案】
【解析】因函數(shù)為奇函數(shù)，，
函數(shù)關于x＝1對稱，則有，
則有，變形可得，
則有，即4是函數(shù)的一個周期，
則，
又由當時，，則，
則.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)．若對，均有或，且使得成立，則實數(shù)a的取值范圍為 _______．
【答案】
【解析】對，均有或，令，解得，
故當時需要，
易得二次函數(shù)的對稱軸為，
故需確保且右邊根，
,解得，
，解得，
綜上，①；
再分析存在當時，，
故存在，，
故左邊根，解得②，
綜合①②取交集，可得，
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，．
（1）當時，求；
（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
解：（1）集合，
當時，，所以.
（2）由“”是“”的充分不必要條件，得集合B是A的真子集，
而，則或，
解得或，
所以實數(shù)a的取值范圍是.
16. 已知第三象限角，且．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）因為為第三象限角，且，
所以，解得（正值舍去），
所以；
（2）
17. 已知函數(shù)的圖象過點.
（1）求實數(shù)的值；
（2）證明：函數(shù)為偶函數(shù)；
（3）求關于的不等式的解集．
（1）解：函數(shù)的圖象過點，
所以，即，，
則，則，所以；
（2）證明：函數(shù)，
故為偶函數(shù)；
（3）解：不等式可化為，
即，解得，
所以，
故不等式的解集為．
18. 如圖，函數(shù)的部分圖象與直線交于A，B兩點，點，在函數(shù)的圖象上，且的面積為．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）設在上的兩個零點為，求的值；
（3）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，若在[0,b]（）上至少有10個零點，求最小正整數(shù)b．
解：（1）因為，得到，
所以的一條對稱軸為，
此時，則，從而解得，
又，且，得．
從而；
（2）由題意得，
令，得到，
因為，，
所以，解得，
從而；
（3）根據(jù)圖象平移得，
令，則或，
由在[0,b]（）上至少有10個零點，易知，則，
所以，又b為正整數(shù)，故最小正整數(shù)b為10．
19. 已知函數(shù)，．
（1）若方程有4解，求a的取值范圍；
（2）對恒成立，求a的取值范圍；
（3）對，恒成立，求λ的取值范圍．
解：（1）令，且函數(shù)最小值，則在上存在兩個不等的實數(shù)解，
所以且，解得，即a的取值范圍是．
（2）因為，設，且在是單調(diào)遞增，
，即解得，滿足題設；
，即，解得，滿足題設；
若，則在上恒有，而，顯然不滿足題設；
若，，解得，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是．
（3）因為，在是單調(diào)遞增，所以，
設，則，，不妨設，而，
，
當，，即時，取得等號，
從而，
所以，
綜上所述，實數(shù)λ的取值范圍是.

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