（考試時間 120 分鐘 試卷滿分 150 分）
一?單項選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有
一項是符合題目要求的.
1. 復(fù)數(shù) 滿足 ，則 的虛部為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出 ，進(jìn)而求出其共軛的虛部.
【詳解】衣題意， ， ，
所以 的虛部為 .
故選：B
2. 已知向量 則兩向量之間的夾角 為（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的夾角公式求解.
【詳解】解：因為 ，
所以 ，
，
所以 ，
因為 ，
所以 ，
第 1頁/共 15頁
故選：C
3. 在 中，內(nèi)角 的對邊分別為 ，已知 ，則 的形狀為（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】在 中利用余弦定理化簡題干信息即可.
【詳解】在 中利用余弦定理，則 ，
得 ，則 為直角三角形.
故選：B
4. 下列關(guān)于向量 ，說法正確的是（）
A. 若 ，則 B. 若 ，則
C. 若 ，則 與 夾角為鈍角 D.
【答案】D
【解析】
【分析】對于 ，當(dāng) 時 與 不一定共線；對于 ，當(dāng) 時 不一定等于 ；對于 ，當(dāng)
時，滿足 ；對于 ，根據(jù)向量的運算性質(zhì)即可判斷.
【詳解】對于 ，當(dāng) 時，滿足 ，但 與 不一定共線，故 錯誤；
對于 ，當(dāng) 時， ，但 不一定等于 ，故 錯誤；
對于 ，當(dāng) 時，滿足 ，此時 與 夾角不是鈍角，故 錯誤；
對于 ，根據(jù)向量的運算性質(zhì)可知 ，故 正確.
故選：D.
5. 已知函數(shù) ，則 的值域為（ ）
A. B. C. D.
第 2頁/共 15頁
【答案】C
【解析】
分析】利用二倍角公式化簡函數(shù) ，再利用余弦函數(shù)及二次函數(shù)求出值域.
【詳解】函數(shù) ，而 ，
則當(dāng) 時，有 ；當(dāng) 時，有 ，
所以 的值域為 .
故選：C
6. 如圖，在矩形 中， 均為邊長 2 的等邊三角形， 為六邊形
邊上的動點（含端點），則 的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定的幾何圖形，求出 在 方向上投影的數(shù)量，再利用數(shù)量積的定義求出范圍.
【詳解】令 在 方向上投影的數(shù)量為 ，
當(dāng)點 在線段 上時， ；當(dāng)點 在線段 上（不含點 ）時， ；
當(dāng)點 在線段 上（不含點 ）時， ，
則當(dāng)點 在折線 上時， ，
同理當(dāng)點 在折線 上時， ，
因此點 為六邊形 邊上運動時， ，
于是 ，
所以 的取值范圍為 .
故選：B
第 3頁/共 15頁
7. 已知 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分別平方后相加即可求 ，再用二倍角公式求解即可.
【詳解】
①
②
①＋②得：
，
，
故選：
8. 在 中，角 的對邊分別為 的面積為 ，且滿足條件 ，
為 邊上一點， ，則 的邊長為（ ）
A. 2 B. C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理及三角形面積公式求出 ，再利用直角三角形邊角關(guān)系及差角的正弦、
正弦定理求解.
【詳解】在 中，由 及余弦定理、面積公式得：
，則 ，而 ，故 ，
第 4頁/共 15頁
在 中， ，
則 ， ，
中， ，
由正弦定理得 .
故選：D
二?多選題：本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題
目要求.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分.
9. 已知復(fù)數(shù) ，其中 為實數(shù)， 為虛數(shù)單位，則（ ）
A. 若 為純虛數(shù)，則 或
B. 若復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù) 的點位于第四象限，則
C. 若 ，則
D. 若 ，則
【答案】BD
【解析】
【分析】由純虛數(shù)的定義，求出 的值，即可判斷 A；由復(fù)數(shù)表示的點所在象限，求出 的范圍，即可判
斷 B；由題意求得 ，求出 的值，即可判斷 C；由題意可得 ，再求出 ，即
可判斷 D.
【詳解】對于 A，因為 為純虛數(shù)，
第 5頁/共 15頁
所以 ，解得 ，故 A 錯誤；
對于 B，因為復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù) 的點位于第四象限，
所以 ，解得 ，故 B 正確；
對于 C，當(dāng) 時， ，
所以 ，故 C 錯誤；
對于 D，因 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，故 D 正確.
故選：BD.
10. 如圖，在矩形 中， ，點 滿足 ，其中 ，設(shè)
，則下列說法正確的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算逐項求解判斷.
【詳解】在矩形 中，以點 為原點，射線 分別為 軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則 ，設(shè) ，由 ，得 ，
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由 ，得 ， ，
對于 AB， ， ，A 正確，B 錯誤；
對于 CD， ，C 錯誤，D 正確.
故選：AD
11. 尺規(guī)作圖是一種傳統(tǒng)的幾何作圖方法，這種方法僅使用無刻度直尺和圓規(guī)這兩種工具，通過有限次的操
作步驟完成幾何圖形的構(gòu)造.已知 中， ，現(xiàn)需用尺規(guī)作圖作出該三角形，
下列說法正確的有（ ）
A. 可以作出兩個不同的三角形
B. 作出的三角形中沒有銳角三角形
C. 作出的三角形中，三角形的面積不變
D. 作出的三角形中， 可能為銳角，也可能為鈍角
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理確定三角形的個數(shù)，再逐項判斷.
【詳解】在 中， ，由正弦定理得 ，
由 ，得 ，由 ，得 或 ，
因此可以作出兩個不同的三角形， 可能為銳角，也可能為鈍角，AD 正確；
當(dāng) 時， ， 是鈍角三角形；當(dāng) 時， 是鈍角三角形，B
正確；
當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ，
的面積 有兩個不同值，C 錯誤.
故選：ABD
三?填空題：本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 ，則 在 上的投影向量的坐標(biāo)為_______.
【答案】
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【解析】
【分析】先求出 ，再由投影向量的坐標(biāo)表示求出即可.
【詳解】由題意可得 ，
在 上的投影向量為 ，
所以 在 上的投影向量的坐標(biāo)為 ，
故答案為： .
13. 已知 ，則 __________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用平方關(guān)系及正余弦齊次式法求得目標(biāo)值.
【詳解】由 ，得 .
故答案為：
14. 在 中， 是 邊上靠近 的四等分點，過點 的直線分別交直線 于不同的兩點
，設(shè) ，其中 ，則 的最大值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件可得 ，再利用共線向量定理的推論及基本不等式求出最大值.
【詳解】在 中，由 是 邊上靠近 的四等分點，得 ，則 ，
而 ，則 ，由 共線，得 ，
又 ，因此 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，
第 8頁/共 15頁
因此 ， ，
所以當(dāng) 時， 取得最大值 .
故答案為：
四?解答題：本大題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 已知向量 滿足 與 的夾角為 .
（1）求 ；
（2）當(dāng) 為何值時，向量 與 垂直？
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用數(shù)量積的定義求出 ，再利用數(shù)量積的運算律求出模.
（2）利用垂直關(guān)系的向量表示列式，再利用數(shù)量積的運算律求解.
【小問 1 詳解】
由 與 的夾角為 ，得 ，
所以 .
【小問 2 詳解】
由向量 與 垂直，得
，解得 ，
所以當(dāng) 時，向量 與 垂直.
16. 已知向量 ，函數(shù) .
第 9頁/共 15頁
（1）求函數(shù) 的周期，最大值，最小值；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）周期為 ，最大值為 2，最小值為 ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出 ，再利用二倍角公式及輔助角公式化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的性
質(zhì)求解.
（2）由（1）求得 ，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式求解.
【小問 1 詳解】
向量 ，
則 ，
所以函數(shù) 的周期為 ，最大值為 2，最小值為 .
【小問 2 詳解】
由 ，得 ，
所以 .
17. 在 中，角 的對邊分別為 ，已知 .
（1）若 ，求角 ；
（2）若 的平分線與邊 交于點 ，且 ，求 的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)條件限制出 的范圍，并求出 ，然后在 中利用正弦定理即可；
（2）先證明角平分線定理并得出 ，，再利用余弦定理得出 的值，即可利用面積公式求解.
【小問 1 詳解】
第 10頁/共 15頁
因 ，且 ，
則 且 ，
在 中利用正弦定理得， ，即 ，得 ，
因 ，則 或 ，
若 ，則 ，不符合題意；若 ，則 ，
故 .
【小問 2 詳解】
因 是 的角平分線，且 ，
則 ，則 ，
在 中利用余弦定理得， ，
得 ，則 ，
則 的面積 .
18. 在 中，角 的對邊分別為 為銳角三角形，已知 ，且滿足條件
.
（1）求 的大??；
（2）求 取值范圍；
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（3）求 的內(nèi)切圓半徑 的最大值.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理求出 .
（2）利用正弦定理，結(jié)合和差角 正余弦公式求出 的范圍.
（3）利用三角形面積公式可得 ，結(jié)合（2）中信息求出 最大值即可.
【小問 1 詳解】
由 ，得 ，
在銳角 中，由余弦定理得 ，而 ，
所以 .
【小問 2 詳解】
由（1）知， ，則 ，令 ，由銳角 ，得 ，
由正弦定理得 ，則 ，
因此
，
由 ，得 ，則 ， ，
所以 的取值范圍是 .
【小問 3 詳解】
由（2）得 ，
第 12頁/共 15頁
又 ，則 ，由 ，
得 ，
則當(dāng) ，即 時， ，
所以 的內(nèi)切圓半徑 的最大值 .
19. 設(shè) 是平面內(nèi)相交成 的兩條射線， 分別是與 同向的單位向量，定義平
面坐標(biāo)系 為 仿射坐標(biāo)系，在 仿射坐標(biāo)系中，若 ，則記 .
（1）在 仿射坐標(biāo)系中
①若 ，求 ；
②若 且 與 的夾角為 ，求 ；
（2）如圖所示，在 仿射坐標(biāo)系中， 分別在 軸、 軸正半軸上，且 ，點 分別為
的中點，求 的最大值.
【答案】（1）① ；②
（2） .
【解析】
【分析】（1）①利用數(shù)量積的定義及運算律求出 ；②由 表示出 和 及 ，再利用夾角公
式建立方程求解.
（2）設(shè)出點 的坐標(biāo)，用 表示 ，利用數(shù)量積的運算律，結(jié)合正余弦定理及三角恒等變換
求出最大值.
第 13頁/共 15頁
【小問 1 詳解】
①由 ，得 ，
則 ，
所以 ；
②由 ，即 ，
得 ，
，
，
由 與 的夾角為 ，得 ，得 ，而 ，
所以 .
【小問 2 詳解】
依題意，設(shè) ， ，
，在 中，由余弦定理得 ，
由 為 中點，得 ，
由 為 中點，得 ，
則
，
在 中，由正弦定理得 ，
設(shè) ，則 ，
第 14頁/共 15頁
，其中銳角 由 確定，
由 ，得 ，則當(dāng) 時， ，
所以 的最大值為 .
第 15頁/共 15頁

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