2024~2025學年江蘇省連云港市東?？h高一(上)期中考試數(shù)學試卷(解析版)

這是一份2024~2025學年江蘇省連云港市東?？h高一(上)期中考試數(shù)學試卷(解析版)，共12頁。試卷主要包含了單項選擇題，多項選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由題意得，因為，，
所以根據(jù)交集運算的定義，兩集合的公共元素為，所以.
故選：D.
2. 若命題“，”是真命題，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，的最小值是，因此.
故選：B．
3. 定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，下列判斷正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵在0,+∞單調(diào)遞減，∴，故B錯誤；
又是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，∴，故C錯誤；
而由是偶函數(shù)以及其單調(diào)性可得，∴，
故A正確，D錯誤.
故選：A．
4. 已知函數(shù)圖象如右圖所示，則的圖象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】將與的圖象關(guān)于軸對稱，
再將的圖象向右平移1個單位得到，因此D符合.
故選：D
5. 設(shè)正數(shù)，滿足，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】正數(shù)，滿足，則，
當且僅當時取等號，所以的最小值為.
故選：A.
6. 設(shè)，則“”的充要條件是（ ）
A. a，b不都為1B. a，b都不為0
C. a，b中至多有一個是1D. a，b都不為1
【答案】D
【解析】由，可得，所以且，
所以“”的充要條件是“都不為”.
故選：D.
7. 已知函數(shù)，，則函數(shù)的值域為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由題意得，設(shè)，且，
則，
因為，所以，
又因為，若，則，此時，
所以在上為減函數(shù)；
若，則，此時，
所以在上為增函數(shù)；
綜上所述，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
所以，
因為，所以，
所以函數(shù)，的值域為.
故選：B.
8. 已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，，則，
解得.
故選：C．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 若，則下列各式中，成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】，A錯；
，B正確；
由換底公式知C正確；
，D錯.
故選：BC．
10. 已知是定義在R上的奇函數(shù)，當時，fx=x2-2x，則下列說法正確的是（ ）
A. B. 當x∈0,+∞時，
C. 在定義域R上為減函數(shù)D. 不等式的解集為
【答案】AC
【解析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，對于所有，，
因為是奇函數(shù)，對于所有，
，
因此，所以A正確；B錯誤；
當，函數(shù)的導數(shù)為，
在時，，所以函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，
當，的導數(shù)為，在時，，
所以函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，故在整個定義域R上是減函數(shù)；故C正確；
若， 當時，，即，
因為在整個定義域R上是減函數(shù)，解得，即，所以選項D錯誤.
故選：AC.
11. 關(guān)于的方程的兩實根為，，且，，則（ ）
A. B. 的最小值為4
C. 的最小值為D. 的最小值為
【答案】ABD
【解析】由的兩實根為，可得，
故，或，
對于A，，A正確；
對于B，由，，
可得，故，
當且僅當時取等號，故B正確；
對于C，由可得，
故，
當且僅當，即取等號，故C錯誤；
對于D，由可得，
故，當且僅當，
即時取等號，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 函數(shù)的定義域是_________．
【答案】
【解析】由解析式可知，故函數(shù)的定義域為：.
13. 若集合，則______.
【答案】1
【解析】當時，，即，則；
當時，，解得，此時，即，則，
綜上：.
14. 若，則的最小值是________.
【答案】
【解析】由題意，
若存在使得，則，
因此，但，
因此假設(shè)錯誤，不存在使得，
所以的最小值不小于，
又時，，所以的最小值為.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. （1）化簡求值：；
（2）已知，求的值.
解：（1）原式=
.
（2）因為，兩邊平方得，
所以.
16. 設(shè)為實數(shù)，集合，.
（1）若，求的取值范圍；
（2）若，求的取值范圍.
解：（1）由得，則.
若，則，所以，解得.
（2）當時，有，則；
當時，則，或，
解得或.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
17. 定義在的函數(shù)滿足，且當時，.
（1）證明：函數(shù)是奇函數(shù)；
（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明.
解：（1）證明：函數(shù)的定義域為R，
令，得：，，
再令，則，
即f-x=-fx，
所以函數(shù)在R上是奇函數(shù).
（2）在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，
證明如下：
任取，，且，則，
則，
因為當時，，
所以，
所以，即，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減.
18. 已知二次函數(shù)fx=ax2+bx+c的兩個零點為和，且.
（1）求的解析式；
（2）當時，求的最小值；
（3）解關(guān)于的不等式.
解：（1）因為二次函數(shù)fx=ax2+bx+c的兩個零點為和，
可設(shè)，
又，所以，解得，所以.
（2）因為的對稱軸為，
當時，在上單調(diào)遞增，；
當，即時，；
當，即時，在上單調(diào)遞減，；
綜上，.
（3）由題意可得，即，
①當時，不等式的解集為，
②當時，不等式可化為，
不等式的解集為或.
③當時，不等式可化為，
當，即時，不等式的解集為，
當，即時，不等式的解集為，
當，即時，不等式的解集為.
綜上，當時，不等式的解集為或；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為；
當時，不等式的解集為.
19. 設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)滿足，且對任意的，總存在，使得，稱函數(shù)為函數(shù).
（1）求證：函數(shù)是函數(shù)；
（2）若函數(shù)是函數(shù)，求實數(shù)；
（3）若函數(shù)是函數(shù)，求實數(shù).
解：（1）任取，總存在，
使得，
所以是函數(shù).
（2）法一：因為函數(shù)是函數(shù)，
若，則當時，，
此時不存在，使得，所以或；
若任取，存在，使得，
所以，化簡得，
令，因為在單調(diào)遞減，
所以
當時，得，
當時，得，
綜上所述.
法二：因為函數(shù)是函數(shù)，若，
則當時，，
此時不存在，使得，
所以或；
若任取，存在，
使得，
只需滿足即可，
因為在是增函數(shù)，
故有，即，
解得.
（3）法一：因為，所以，所以，
又
所以函數(shù)為增函數(shù)；
函數(shù)函數(shù)，
所以任取，存在，
使得，
化簡得，
，得，所以.
法二：因為，所以，所以，
又
所以函數(shù)為上的增函數(shù)；
又函數(shù)是函數(shù)，
所以任取，存在，
使得，
等價于，
即，即，
解得.