1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、學(xué)校、班級、考生號填寫在答題卡上．將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼處”．
2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按要求作答的答案無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔．
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 圓的圓心坐標(biāo)與半徑分別為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】配方后可得圓心坐標(biāo)和半徑．
【詳解】由圓，可得圓，
所以圓心坐標(biāo)為，半徑為．
故選：D．
2. 已知直線l上的一點(diǎn)向右平移4個單位長度，再向下平移2個單位長度后，仍在該直線上，則直線l的斜率為（ ）
A. B. -C. 2D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，即可求解．
【詳解】設(shè)點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，
將點(diǎn)右平移4個單位長度，
再向下平移2個單位長度，得到點(diǎn)仍在該直線上，
則直線的斜率．
故選：B．
3. 雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由該雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)在軸上可得，再利用焦點(diǎn)坐標(biāo)與方程的關(guān)系計算即可得解.
【詳解】由該雙曲線的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
由可得，
即有，解得.
故選：B.
4. 若圓與圓有且只有三條公切線，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. 6B. 4C. 6或D. 4或
【答案】C
【解析】
【分析】由題意可得兩圓外切，即可得，計算即可得.
【詳解】由圓與圓有且只有三條公切線，故兩圓外切，
故，即，解得.
故選：C.
5. 以橢圓長軸的兩個端點(diǎn)為焦點(diǎn)，以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線的方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓方程寫出長軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得雙曲線的實(shí)半軸長和半焦距，再代入雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程即可.
【詳解】橢圓長軸的兩個端點(diǎn)為，，焦點(diǎn)為，，
所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，頂點(diǎn)為，，
則雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，，所以，
所以雙曲線的方程為.
故選：C.
6. 拋物線的焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值為（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)后，計算焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離最小值，需要求出焦點(diǎn)到圓心的距離，再減去圓的半徑就是最小值.
【詳解】對于拋物線，則，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為.
則焦點(diǎn)到圓心的距離.
因為圓的半徑，焦點(diǎn)到圓上點(diǎn)的距離的最小值為焦點(diǎn)到圓心的距離減去圓的半徑，即.
故選：B.
7. 已知橢圓C：上有一點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，則由已知條件結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得四邊形為矩形，得，然后在中，表示出，再利用橢圓的定義列方程化簡可求出離心率.
【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，
因為，所以根據(jù)橢圓的對稱性可知：四邊形為矩形，
所以，
在中，，
根據(jù)橢圓定義可知：，
所以，
所以，，所以，
所以離心率為
故選：B．
8. 已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率的最大值為（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出拋物線C及直線PQ的方程，借助垂直關(guān)系求出拋物線方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)，再用斜率坐標(biāo)公式建立函數(shù)，利用均值不等式求解作答.
【詳解】依題意，拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)的方程為：，
顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線PQ的方程為：，點(diǎn)，
由消去x得：，則有，
由得：，解得，
于是拋物線：的焦點(diǎn)，弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)，
顯然直線的斜率最大，必有，則直線的斜率，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以直線的斜率的最大值為.
故選：A
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知直線與，則下列說法正確的是（ ）
A. 直線恒過第二象限B. 坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的最大距離為
C. 若，則D. 若，則與之間的距離為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用分離參數(shù)法判斷A，利用點(diǎn)到直線距離和兩點(diǎn)距離知識判斷B，利用兩直線垂直充要條件判斷C，利用兩直線平行的充要條件及兩平行直線間距離公式判斷D.
【詳解】對于A選項，將直線變形.
令，解得，即直線恒過定點(diǎn)，該點(diǎn)在第二象限，所以直線恒過第二象限，A選項正確.
對于B選項，因為直線恒過定點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的最大距離就是原點(diǎn)到定點(diǎn)的距離.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，則，B選項正確.
對于C選項，若，對于直線和.
根據(jù)兩直線垂直的條件，可得，解得，C選項錯誤.
對于D選項，若，則.
由，可得，解得或.
當(dāng)時，，，滿足.當(dāng)兩直線重合，
兩平行直線，，根據(jù)兩平行直線間的距離公式，
則，D選項正確.
故選：ABD.
10. 拋物線的準(zhǔn)線為l，P為上的動點(diǎn)，過作圓的一條切線，切點(diǎn)為，過作的垂線，垂足為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 與圓相切B. 當(dāng)時，
C. 的最小值為D. 滿足的點(diǎn)有且僅有2個
【答案】AD
【解析】
【分析】A選項，拋物線準(zhǔn)線為，根據(jù)圓心到準(zhǔn)線的距離來判斷；B選項，根據(jù)先算出的坐標(biāo)，再借助切線的性質(zhì)計算即可得；C選項，結(jié)合拋物線定義可得三點(diǎn)共線時，最小，計算即可得；D選項，直接設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解即可得.
【詳解】A選項，拋物線的準(zhǔn)線為，
圓的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，
故準(zhǔn)線和圓相切，A選項正確；
B選項，當(dāng)時，，此時，故或，
當(dāng)時，，則；
當(dāng)時，，；
故或，B選項錯誤；
C選項，，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，故 的最小值為，C選項錯誤；
D選項， 設(shè)，由可得，又，又，
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，
，則關(guān)于的方程有兩個解，
即存在兩個這樣的點(diǎn)，D選項正確.
故選：AD.
11. 造型為“”的曲線稱為雙紐線，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，與定點(diǎn)距離之積等于的動點(diǎn)的軌跡為雙紐線．記時的雙紐線為曲線，點(diǎn)是曲線上的一個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的最小值為4B. 點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是
C. 面積的最大值為2D. 若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】對A：借助基本不等式計算即可得；對B：整理可得，即有，即可得，解出即可得；對C：借助換元法可得的最大值，即可得面積最大值；對D：借助反證法，假設(shè)后代入原式計算即可得.
【詳解】設(shè)是曲線上任意一點(diǎn)，根據(jù)雙紐線的定義可得：，
當(dāng)時，曲線的方程為，
對于A：，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為，故A正確；
對于B：整理可得：，則，
可得，解得，故B錯誤；
對于C：，令，則，
所以，
所以當(dāng)時，，所以面積的最大值為，故C正確；
對于D：若，
則
，
其與矛盾，
故不成立，故，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項中關(guān)鍵點(diǎn)在于使用反證法，假設(shè)，代入原方程中得到與題設(shè)矛盾.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 直線分別交x軸和軸于A、兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為______.
【答案】
【解析】
【分析】由是線段的中點(diǎn)，可得A、兩點(diǎn)坐標(biāo)，后可得直線方程.
【詳解】因A、兩點(diǎn)x軸和軸上，設(shè)，
因是線段的中點(diǎn)，則，
故直線的截距式方程為：.
故答案為：.
13. 直線與圓相交于兩點(diǎn)，若，則____________．
【答案】
【解析】
【分析】先求圓心到直線的距離，進(jìn)而利用圓的幾何性質(zhì)，即用即可求解.
【詳解】圓的圓心，，
圓心到直線的距離，
由圓的幾何性質(zhì)可得，即，
整理得，即.
故答案為:
14. 已知雙曲線上存在兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線對稱，且MN的中點(diǎn)在拋物線上，則實(shí)數(shù)的值為_________．
【答案】0或3
【解析】
【分析】我們先求出MN中點(diǎn)的坐標(biāo)（設(shè)為），因為M，N關(guān)于直線對稱，所以MN與直線垂直，可得到MN的斜率，再結(jié)合雙曲線方程求出中點(diǎn)坐標(biāo)，最后將中點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求出的值.
【詳解】因為M，N關(guān)于直線對稱，直線的斜率為，
兩條垂直直線的斜率乘積為，所以直線MN的斜率.
設(shè)直線MN的方程為，將其代入雙曲線可得.
展開得到，即.
設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理，所以，
則中點(diǎn)橫坐標(biāo).
因為中點(diǎn)在直線上，所以.
因為MN的中點(diǎn)在拋物線上，所以，解得或.
當(dāng)時，中點(diǎn)為，因為中點(diǎn)在直線上，所以；
當(dāng)時，中點(diǎn)為，在直線上，所以，解得.
故實(shí)數(shù)的值為或.
故答案為：或.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 在下列所給的三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答．
①與直線平行；②過點(diǎn)；③點(diǎn)到的距離為5．
問題：已知直線過點(diǎn)，且_________．
（1）求直線的一般式方程；
（2）求圓關(guān)于直線對稱的圓的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若選①，法一：利用兩直線平行關(guān)系求得斜率，利用點(diǎn)斜式可求直線方程；法二：利用平行直線系方程的方法可求解；若選②，法一：利用兩點(diǎn)式可求直線方程；法二，先求得直線的斜率，再用點(diǎn)斜式求得直線的方程；若選③，法一：設(shè)直線方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公可求；法二：由于與之間距離恰為5，進(jìn)而可利用兩直線的垂直關(guān)系求得斜率，利用點(diǎn)斜式可求直線方程；
（2）求得圓圓心關(guān)于直線的稱點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求圓的方程.
【小問1詳解】
若選①，
法一：因為直線的斜率為，直線與直線平行，
所以直線的斜率為，
直線的方程為，
即．
法二：因為直線與直線平行，
故的方程可設(shè)為．
又直線過點(diǎn)，則，即：．
所以的方程．
若選②，
法一：因為直線過點(diǎn)及，
所以直線的方程為，
即；
法二：因為直線過點(diǎn)及，
所以直線的斜率．
直線的方程為，
即．
若選③，
法一：若直線斜率不存在，點(diǎn)到的距離為3，不合題意，斜率存在．
設(shè)斜率為，其方程為，即，
由得：．
直線方程為．
即：．
法二：由于與之間距離恰為5，兩點(diǎn)連線的斜率為，
故直線的斜率，
直線方程為，
即：；
【小問2詳解】
圓心為，半徑為2；
只要求圓心關(guān)于直線的對稱圓心，
則，
解得，即，
所以圓的方程為：.
16. 已知的三個頂點(diǎn)分別為．
（1）求的外接圓的方程；
（2）設(shè)，若點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，試問：在平面上是否存在點(diǎn)，使得．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）存在；
【解析】
【分析】（1）法一：設(shè)圓的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而解方程組可求圓的方程；法二：求得，可得的圓心是的中點(diǎn)，可求圓的方程；
（2）假設(shè)存在，對任意的都有，計算利用恒成立可得，求解即可.
【小問1詳解】
法一：設(shè)圓的方程為，則
，
解得：，
所以圓的方程為，即，
法二：因為，
所以，所以，所以，
又因為，所以是等腰直角三角形，
所以的圓心是的中點(diǎn)，即圓心，半徑，
所以的方程為；
【小問2詳解】
假設(shè)存在，對任意的都有，
即：，
化簡得：，
又滿足，即，
即：，
所以，
解得：，
即存在滿足條件．
17. 已知點(diǎn)是拋物線上的動點(diǎn)，過向軸作垂線段，垂足為，記垂線段PM的中點(diǎn)為．
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)作直線與點(diǎn)的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，且的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為，代入拋物線方程計算即可；（2）直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理和面積公式計算即可.
【小問1詳解】
設(shè)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為
又點(diǎn)在拋物線上，故即
【小問2詳解】
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組得：，有，
則，
S△AOB=12OFy1?y2=12y1+y22?4y1y2
解得：
所以直線的方程為，即：
18. 已知圓和定點(diǎn)為圓上的任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線與直線PC交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；
（2）若是曲線上的一點(diǎn)，過的直線與直線分別交于S，T兩點(diǎn)，且為線段ST的中點(diǎn)．
①求證：直線l與曲線有且只有一個公共點(diǎn)；
②求的最小值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
【答案】（1）
（2）①證明見解析 ；②
【解析】
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，即可得到，結(jié)合雙曲線的定義計算可得；
（2）（i）設(shè)，不妨令，，即可得到，從而表示出直線的方程，再聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、由，即可證明；（ii）由 （i ）求出，，再計算可得為定值，即可結(jié)合基本不等式求解.
【小問1詳解】
為PA的垂直平分線上一點(diǎn)，則，
則，
點(diǎn)的軌跡為以A，C為焦點(diǎn)的雙曲線，且，
故點(diǎn)的軌跡方程為；
【小問2詳解】
（i）設(shè)，直線是雙曲線的漸近線，如圖所示：
則：①．②，
①+②得，，①-②得，，
則，得，
由題可知，則，
得，即，
直線ST的方程為，即，
又點(diǎn)在曲線上，則，得，
將方程聯(lián)立，得，
得，
由，可知方程有且僅有一個解，
故直線與曲線有且僅有一個交點(diǎn)；
（ii）由（i）聯(lián)立，可得，
同理可得，，則，同理，
所以，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
故的最小值為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為x1,y1、x2,y2；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
19. 定義：一般地，當(dāng)且時，我們把方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．
（1）求證：相似橢圓的離心率相等；
（2）已知橢圓的相似橢圓為且．
①直線與橢圓均有且只有一個公共點(diǎn)，且的斜率之積為，求證：的交點(diǎn)在橢圓的相似橢圓上；
②若為橢圓上異于左右頂點(diǎn)，的任意一點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求的值．
【答案】（1）證明見解析
（2）①證明見解析 ；②
【解析】
【分析】（1）求得相似橢圓的離心率可得結(jié)論；
（2）①設(shè)直線斜率為，則直線的斜率為，聯(lián)立方程組，利用，化簡可得結(jié)論；
②由已知，設(shè)為，聯(lián)立方程組求得，同理求得，進(jìn)而可得結(jié)論．
【小問1詳解】
橢圓的離心率為
可化為
其離心率為
所以，即：相似橢圓的離心率相等．
【小問2詳解】
（i）設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，
直線的方程為：與橢圓聯(lián)立得：
，
，
即：亦即：①，
用代換①的得：②，
①式乘4+②式得：，
兩邊同除得：，
即點(diǎn)在橢圓上，
亦即：在橢圓的相似橢圓上，
（ii）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，
所以，，
設(shè)Px0,y0，易知直線，的斜率均存在且不為，
所以，
因為Px0,y0在橢圓上，所以，即，
所以．
設(shè)直線的斜率為，則直線PN的斜率為，
所以直線的方程為．
由，得，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則，
所以
，
由替換可得，
所以．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：高考中解析幾何解答題一般圍繞直線和圓錐曲線的位置關(guān)系進(jìn)行設(shè)題，對考生的代數(shù)運(yùn)算能力、邏輯思維能力要求較高，挖掘幾何圖形的性質(zhì)是求解有幾何背景的圓錐曲線問題的主要思路，在解決與橢圓有關(guān)的問題時要重視圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用．

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