一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.[2023·漳州模擬]已知角α，β的頂點(diǎn)都為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊都與x軸的非負(fù)半軸重合，α，β的終邊關(guān)于y軸對稱，α的終邊過點(diǎn)(3，4)，則sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))＝( )
A.－eq \f(4,5) B.－eq \f(3,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
2.[2024·德州模擬]在△ABC中，“A＞eq \f(π,6)”是“sin A＞eq \f(1,2)”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
3.[2024·武漢模擬]已知sin(α＋eq \f(π,3))＝eq \f(3,5)，則sin(2α＋eq \f(π,6))＝( )
A.eq \f(24,25) B.－eq \f(24,25) C.eq \f(7,25) D.－eq \f(7,25)
4.[2023·濟(jì)南質(zhì)檢]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖所示，將一個(gè)半徑為1的圓盤固定在平面上，圓盤的圓心與原點(diǎn)重合，圓盤上纏繞著一條沒有彈性的細(xì)線，細(xì)線的端頭M(開始時(shí)與圓盤上點(diǎn)A(1，0)重合)系著一支鉛筆，讓細(xì)線始終保持與圓相切的狀態(tài)展開，切點(diǎn)為B，細(xì)繩的粗細(xì)忽略不計(jì)，當(dāng)φ＝2 rad時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)O之間的距離為( )
A.eq \f(1,cs 1) B.eq \f(2,sin 1) C.2 D.eq \r(5)
5.[2024·駐馬店模擬]如圖，某景區(qū)為方便游客，計(jì)劃在兩個(gè)山頭M，N間架設(shè)一條索道.為測量M，N間的距離，施工單位測得以下數(shù)據(jù)：兩個(gè)山頭的海拔高度MC＝100eq \r(3) m，NB＝50eq \r(2) m，在BC同一水平面上選一點(diǎn)A，在點(diǎn)A處測得M點(diǎn)的仰角為60°，N點(diǎn)的仰角為30°，以及∠MAN＝45°，則M，N間的距離為( )
A.100eq \r(2) m B.120 m C.100eq \r(3) m D.200 m
6.[2024·日照質(zhì)檢]函數(shù)f(x)＝sin (2x＋φ)的圖象向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位長度得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，則tan φ＝( )
A.－eq \r(3) B.eq \r(3) C.－eq \f(\r(3),3) D.eq \f(\r(3),3)
7.[2024·南京六校聯(lián)考]若α∈(0，π)，tan 2α＝eq \f(sin α,cs α＋2)，則sin(α＋eq \f(5π,6))＝( )
A.eq \f(\r(3)＋\r(15),8) B.eq \f(\r(3)－\r(15),8) C.eq \f(1－3\r(5),8) D.eq \f(－1－3\r(5),8)
8.[2024·宜昌模擬]將函數(shù)f(x)＝sin ωx(cs ωx－sin ωx)＋1(ω＞0)的圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變，得y＝g(x)的圖象，若g(x)在[eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是( )
A.(0，2] B.[eq \f(3,2)，eq \f(15,4)] C.[eq \f(3,2)，eq \f(15,8)] D.(eq \f(15,8)，2]
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.[2024·廣州模擬]如圖，彈簧下端懸掛著的小球做上、下運(yùn)動(dòng)(忽略小球的大小)，它在t(單位：s)時(shí)相對于平衡位置的高度h(單位：cm)可以由h＝2sin(eq \f(π,2)t＋eq \f(π,4))確定，則下列說法正確的是( )
A.小球運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為2 cm B.小球經(jīng)過4 s往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次
C.t∈(3，5)時(shí)小球是自下往上運(yùn)動(dòng) D.當(dāng)t＝6.5時(shí)，小球到達(dá)最低點(diǎn)
10.[2024·衡陽模擬]在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7，則下列結(jié)論正確的是( )
A.sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶4
B.△ABC為鈍角三角形
C.若a＝6，則△ABC的面積是6eq \r(15)
D.若△ABC外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則eq \f(R,r)＝eq \f(16,5)
11.[2024·廣東六校聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)＝sin|x|－|cs x|，下列關(guān)于此函數(shù)的論述正確的是( )
A.π是f(x)的一個(gè)周期
B.函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－eq \r(2)，1]
C.函數(shù)f(x)在[eq \f(3π,4)，eq \f(4π,3)]上單調(diào)遞減
D.函數(shù)f(x)在[－2π，2π]內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.[2024·蘇州模擬]已知θ是第三象限角，P(x，－2)是θ終邊上的一點(diǎn)，若cs θ＝eq \f(\r(5),5)x，則eq \f(1－sin 2θ,sin 2θ－2cs2θ)＝________.
13.[2024·海淀區(qū)模擬]若點(diǎn)P(cs θ，sin θ)與點(diǎn)Q(cs (θ＋eq \f(π,3))，sin(θ＋eq \f(π,3)))關(guān)于y軸對稱，寫出一個(gè)符合題意的θ＝________.
14.[2024·蚌埠模擬]函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜eq \f(π,2))的部分圖象如圖所示，若f(x1)＋f(x2)＝0，且f(x1)＝eq \f(\r(3),4)，則x1＋x2＝__________，cs(x2－x1)＝________.
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(13分)[2024·青島模擬]已知函數(shù)f(x)＝2cs2ωx＋sin 2ωx(ω＞0)，x1，x2是f(x)的兩個(gè)相鄰極值點(diǎn)，且滿足|x1－x2|＝π.
(1)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程；
(2)若f(α)＝eq \f(1,3)，求sin 2α.
16.(15分)[2024·濟(jì)寧模擬]已知函數(shù)f(x)＝cs4x－sin4x＋sin(2x－eq \f(π,6)).
(1)求函數(shù)f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移φ(0＜φ＜eq \f(π,4))個(gè)單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq \f(π,3)，0)成中心對稱，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，α))上的值域?yàn)閑q \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，求α的取值范圍.
17.(15分)[2024·南京模擬]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，eq \f(\r(3),2)b＋acs B＝c，從條件①②中找出能使得△ABC唯一確定的條件，并求邊BC上的高h(yuǎn).
條件①a＝2，sin C＝eq \f(\r(2),2)；條件②a＝eq \r(7)，b＝eq \r(3).
18.(17分) [2024·威海模擬]已知偶函數(shù)f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M＞0，ω＞0，|φ|≤eq \f(π,2))的部分圖象如圖所示，A，B，C為該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，且D為圖象的一個(gè)最高點(diǎn).
(1)證明：2ADsin ∠ADB＝CDsin ∠BDC；
(2)若AD＝2eq \r(7)，CD＝2，∠BDC＝eq \f(π,2)，求f(x)的解析式.
19.(17分)[2024·合肥模擬]已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b2＋2c2－2a2＝0.
(1)若tan C＝eq \f(1,3)，求A的大小；
(2)當(dāng)A－C取得最大值時(shí)，試判斷△ABC的形狀.
三角函數(shù)、解三角形
1.B [∵α，β的終邊關(guān)于y軸對稱，α的終邊過點(diǎn)(3，4)，∴β的終邊過點(diǎn)(－3，4)，∴cs β＝－eq \f(3,5)，則sin(eq \f(π,2)＋β)＝cs β＝－eq \f(3,5).]
2.B [在△ABC中，A∈(0，π)，由sin A＞eq \f(1,2)，可得eq \f(π,6)＜A＜eq \f(5π,6)，所以“A＞eq \f(π,6)”是“sin A＞eq \f(1,2)”的必要不充分條件.故選B.]
3.D [∵sin(α＋eq \f(π,3))＝sin[eq \f(π,2)－(eq \f(π,6)－α)]＝cs(eq \f(π,6)－α)＝eq \f(3,5)，
∴sin(2α＋eq \f(π,6))＝sin[eq \f(π,2)－(eq \f(π,3)－2α)]＝cs(eq \f(π,3)－2α)
＝cs 2(eq \f(π,6)－α)＝2cs2(eq \f(π,6)－α)－1＝2×eq \f(9,25)－1＝－eq \f(7,25).故選D.]
4.D [展開過程中：BM＝eq \(AB,\s\up8(︵))＝φ·R＝2，BO＝1，MO＝eq \r(BM2＋BO2)＝eq \r(5)，故選D.]
5.A [由題意，
可得∠MAC＝60°，
∠NAB＝30°，
MC＝100eq \r(3)，
NB＝50eq \r(2)，
∠MAN＝45°，
且∠MCA＝∠NBA＝90°，
在直角△ACM中，可得
AM＝eq \f(MC,sin 60°)＝200，
在直角△ABN中，可得
AN＝eq \f(NB,sin 30°)＝100eq \r(2)，
在△AMN中，由余弦定理得
MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cs ∠MAN＝20 000，所以MN＝100eq \r(2) m.
故選A.]
6.C [函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向左平移eq \f(π,3)個(gè)單位長度，得g(x)＝sin(2x＋eq \f(2π,3)＋φ)的圖象，又函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，則有eq \f(2π,3)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，解得φ＝kπ－eq \f(π,6)，k∈Z，所以tan φ＝tan(kπ－eq \f(π,6))＝－eq \f(\r(3),3).故選C.]
7.D [因?yàn)閠an 2α＝eq \f(sin α,cs α＋2)，
所以eq \f(sin 2α,cs 2α)＝eq \f(sin α,cs α＋2)，
即eq \f(2sin αcs α,2cs2α－1)＝eq \f(sin α,cs α＋2).
因?yàn)棣痢?0，π)，所以sin α＞0，
則2cs α(cs α＋2)＝2cs2α－1，
解得cs α＝－eq \f(1,4)，
所以sin α＝eq \f(\r(15),4)，
則sin(α＋eq \f(5π,6))＝sin αcs eq \f(5π,6)＋cs αsin eq \f(5π,6)＝eq \f(\r(15),4)×(－eq \f(\r(3),2))＋(－eq \f(1,4))×eq \f(1,2)＝eq \f(－1－3\r(5),8).故選D.]
8.B [由f(x)＝sin ωx(cs ωx－sin ωx)＋1
＝sin ωxcs ωx－sin2ωx＋1
＝eq \f(1,2)sin 2ωx－eq \f(1－cs 2ωx,2)＋1
＝eq \f(1,2)sin 2ωx＋eq \f(1,2)cs 2ωx＋eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(2),2)sin(2ωx＋eq \f(π,4))＋eq \f(1,2)，
所以g(x)＝eq \f(\r(2),2)sin(ωx＋eq \f(π,4))＋eq \f(1,2).
當(dāng)x∈[eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]時(shí)，
ωx＋eq \f(π,4)∈[eq \f(π,6)ω＋eq \f(π,4)，eq \f(π,3)ω＋eq \f(π,4)].
又g(x)在[eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]上單調(diào)遞減，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)ω＋\f(π,4)≤\f(3π,2)＋2kπ，,\f(π,6)ω＋\f(π,4)≥\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ω≤6k＋\f(15,4)，,ω≥12k＋\f(3,2)))(k∈Z)，
當(dāng)k＝0時(shí)，滿足題意，即eq \f(3,2)≤ω≤eq \f(15,4)，
故選B.]
9.BD [由h＝2sin(eq \f(π,2)t＋eq \f(π,4))可知，小球運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為4 cm，A錯(cuò)誤；
最小正周期T＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4，B正確；
t∈(3，5)時(shí)，eq \f(π,2)t＋eq \f(π,4)∈(eq \f(7π,4)，eq \f(11π,4))，小球先向上運(yùn)動(dòng)，再向下運(yùn)動(dòng)，C錯(cuò)誤；
當(dāng)t＝6.5時(shí)，eq \f(π,2)t＋eq \f(π,4)＝eq \f(7π,2)，h＝2sin(eq \f(π,2)t＋eq \f(π,4))＝2sin eq \f(7π,2)＝－2，小球到達(dá)最低點(diǎn)，D正確.選BD.]
10.BD [設(shè)a＋b＝5t，b＋c＝6t，c＋a＝7t，
則a＝3t，b＝2t，c＝4t.
對于A，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，故A不正確；
對于B，c最大，所以C最大，
又cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq \f(1,4)＜0，
所以C為鈍角，故B正確；
對于C，若a＝6，則t＝2，b＝4，c＝8，
所以cs C＝－eq \f(1,4)?sin C＝eq \f(\r(15),4)，
所以△ABC的面積是S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×6×4×eq \f(\r(15),4)＝3eq \r(15)，故C不正確；
對于D，由正弦定理得外接圓半徑
R＝eq \f(c,2sin C)＝eq \f(8t,\r(15))＝eq \f(8\r(15),15)t，
△ABC的周長l＝9t，S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(3\r(15),4)t2，所以內(nèi)切圓半徑為r＝eq \f(2S,l)＝eq \f(\r(15),6)t，所以eq \f(R,r)＝eq \f(16,5)，故D正確. 故選BD.]
11.BD [feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝0，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋π))＝sineq \f(5π,4)－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(5π,4)))＝－eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(2),2)＝－eq \r(2)，
則feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋π))≠feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，所以π不是f(x)的一個(gè)周期，故A錯(cuò)誤.
函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，并且f(－x)＝
f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).
因?yàn)閤∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)＝sin x－|cs x|，
所以f(x)＝f(x＋2π)，f(x)為周期函數(shù)，故僅需研究函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2π]上的值域及零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.
當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))時(shí)，
f(x)＝sin x－cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))；
當(dāng)x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))時(shí)，f(x)＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).
當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))時(shí)，
令t＝x－eq \f(π,4)，
則t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))，
y＝eq \r(2)sin t，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))，
可得y∈[－eq \r(2)，1]，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))時(shí)，令t′＝x＋eq \f(π,4)，
則t′∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(7π,4)))，y＝eq \r(2)sin t′，
t′∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(7π,4)))，可得y∈[－eq \r(2)，1)，
有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－eq \r(2)，1]，且在
[－2π，2π]內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn).故選項(xiàng)B，D正確.
對于選項(xiàng)C，當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(4π,3)))時(shí)，
f(x)＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，此時(shí)x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(19π,12)))，f(x)不單調(diào)，故C錯(cuò)誤.故選BD.]
12.eq \f(1,2) [因?yàn)镻(x，－2)是θ終邊上的一點(diǎn)，
所以|OP|＝eq \r(x2＋4)，
則cs θ＝eq \f(x,\r(x2＋4))＝eq \f(\r(5),5)x，
解得x＝±1，
又因?yàn)棣仁堑谌笙藿?，所以cs θ＜0即x＜0，從而x＝－1，
所以cs θ＝－eq \f(\r(5),5)，sin θ＝－eq \f(2\r(5),5).
從而eq \f(1－sin 2θ,sin 2θ－2cs 2θ)＝eq \f(1－2sin θcs θ,2sin θcs θ－2cs 2θ)
＝eq \f(1－2×（－\f(2\r(5),5)）×（－\f(\r(5),5)）,2×（－\f(2\r(5),5)）×（－\f(\r(5),5)）－2×（－\f(\r(5),5)）2)＝eq \f(1,2).]
13.eq \f(π,3)(答案不唯一) [因?yàn)辄c(diǎn)P(cs θ，sin θ)與點(diǎn)Q(cs (θ＋eq \f(π,3))，sin(θ＋eq \f(π,3)))關(guān)于y軸對稱，則
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs （θ＋\f(π,3)）＝－cs θ，,sin（θ＋\f(π,3)）＝sin θ，))
由cs(θ＋eq \f(π,3))＝－cs θ，
可得cs θcs eq \f(π,3)－sin θsin eq \f(π,3)＝－cs θ，
則eq \f(3,2)cs θ＝eq \f(\r(3),2)sin θ，所以tan θ＝eq \r(3)；
由sin(θ＋eq \f(π,3))＝sin θ，可得
sin θcs eq \f(π,3)＋cs θsin eq \f(π,3)＝sin θ，
則eq \f(\r(3),2)cs θ＝eq \f(1,2)sin θ，所以tan θ＝eq \r(3)，
因此θ＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，取θ＝eq \f(π,3).(答案不唯一)]
14.eq \f(4π,3) eq \f(5,8) [由題設(shè)f(0)＝sin φ＝eq \f(\r(3),2)，
又0＜φ＜eq \f(π,2)，則φ＝eq \f(π,3).
由ω＞0且－eq \f(π,3)是y軸左側(cè)第一個(gè)零點(diǎn)，
得f(－eq \f(π,3))＝sin(eq \f(π,3)－eq \f(ωπ,3))＝0，
則eq \f(π,3)－eq \f(ωπ,3)＝0，即ω＝1，
則f(x)＝sin(x＋eq \f(π,3)).
由圖知，x1，x2關(guān)于函數(shù)圖象中y軸右側(cè)第一個(gè)零點(diǎn)對稱，即關(guān)于x＝eq \f(2π,3)對稱，
所以x1＋x2＝eq \f(4π,3)，
由f(x1)＝sin(x1＋eq \f(π,3))＝eq \f(\r(3),4)，
且x1＋eq \f(π,3)∈(eq \f(π,2)，π)，
所以sin(x1－eq \f(π,6))＝sin[(x1＋eq \f(π,3))－eq \f(π,2)]＝－cs(x1＋eq \f(π,3))＝eq \f(\r(13),4)，
而x2＝eq \f(4π,3)－x1，
則cs(x2－x1)＝cs(eq \f(4π,3)－2x1)
＝－cs (eq \f(π,3)－2x1)＝－cs(2x1－eq \f(π,3))
＝2sin 2(x1－eq \f(π,6))－1＝eq \f(5,8).]
15.解 (1)由題意得f(x)＝2cs2ωx＋sin 2ωx
＝1＋cs 2ωx＋sin 2ωx
＝eq \r(2)sin(2ωx＋eq \f(π,4))＋1.
由|x1－x2|＝π，
可得周期T＝2π，所以2ω＝eq \f(2π,T)＝1，
所以f(x)＝eq \r(2)sin(x＋eq \f(π,4))＋1.
令x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
得x＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)，
所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為
x＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z).
(2)由f(α)＝eq \f(1,3)得sin(α＋eq \f(π,4))＝－eq \f(\r(2),3)，
所以sin α＋cs α＝－eq \f(2,3).
所以(sin α＋cs α)2＝eq \f(4,9)，
即1＋sin 2α＝eq \f(4,9)，所以sin 2α＝－eq \f(5,9).
16.解 (1)f(x)＝cs4x－sin4x＋sin(2x－eq \f(π,6))
＝eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(\r(3),2)sin 2x＝sin (2x＋eq \f(π,6)).
因?yàn)閤∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，
所以當(dāng)2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))，
即x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6)))時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f(x)在[0，eq \f(π,2)]上的單調(diào)遞增區(qū)間為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,6))).
(2)由題意可知，g(x)＝sin(2x＋2φ＋eq \f(π,6))，
因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(eq \f(π,3)，0)成中心對稱，
所以2×eq \f(π,3)＋2φ＋eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，
解得φ＝－eq \f(5π,12)＋eq \f(k,2)π，k∈Z.
因?yàn)?＜φ＜eq \f(π,4)，所以k＝1，φ＝eq \f(π,12)，
所以g(x)＝sin(2x＋eq \f(π,3)).
當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，α))時(shí)，
2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，2α＋\f(π,3))).
因?yàn)間(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，α))上的值域?yàn)閑q \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，
所以eq \f(π,2)≤2α＋eq \f(π,3)≤eq \f(7π,6)，
解得eq \f(π,12)≤α≤eq \f(5π,12)，
所以α的取值范圍為eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)，\f(5π,12))).
17.解 因?yàn)閑q \f(\r(3),2)b＋acs B＝c，
故由正弦定理得
eq \f(\r(3),2)sin B＋sin Acs B＝sin C，又sin C＝
sin(π－A－B)＝sin Acs B＋cs Asin B，
所以eq \f(\r(3),2)sin B＝cs Asin B，
又sin B≠0，
所以cs A＝eq \f(\r(3),2)，又A∈(0，π)，
所以A＝eq \f(π,6)，則sin A＝eq \f(1,2).
選①，因?yàn)閟in C＝eq \f(\r(2),2)，
所以C＝eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)，則有兩個(gè)解，不符合題意；
選②，因?yàn)閑q \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
所以sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(\r(21),14)＜eq \f(1,2)＝sin A，
又B∈(0，π)，故△ABC是唯一的，
cs B＝eq \f(5\r(7),14)，
所以sin C＝sin(π－A－B)
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋B))＝eq \f(2\r(7),7)，
所以h＝bsin C＝eq \f(2\r(21),7).
18.(1)證明 在△ABD中，由正弦定理可得
eq \f(AD,AB)＝eq \f(sin ∠ABD,sin ∠ADB)，
在△CBD中，由正弦定理可得
eq \f(BC,CD)＝eq \f(sin ∠BDC,sin ∠DBC)，
又∠ABD＋∠DBC＝π，
所以sin ∠ABD＝sin ∠DBC，
所以eq \f(AD,AB)·eq \f(BC,CD)＝eq \f(sin ∠BDC,sin ∠DBC)·eq \f(sin ∠ABD,sin ∠ADB)＝eq \f(sin ∠BDC,sin ∠ADB)，
又BC＝2AB，
所以2ADsin ∠ADB＝CDsin ∠BDC.
(2)解 因?yàn)锳D＝2eq \r(7)，CD＝2，∠BDC＝eq \f(π,2)，
且2ADsin ∠ADB＝CDsin ∠BDC，
所以sin ∠ADB＝eq \f(CDsin ∠BDC,2AD)＝eq \f(\r(7),14)，
所以cs ∠ADC＝cs (∠ADB＋eq \f(π,2))
＝－sin ∠ADB＝－eq \f(\r(7),14)，
在△ACD中，由余弦定理可得
AC＝eq \r(AD2＋DC2－2AD·DCcs ∠ADC)＝6，
又AC＝AB＋BC，BC＝2AB，所以BC＝4，
所以周期T＝BC＝4＝eq \f(2π,ω)，解得ω＝eq \f(π,2).
在Rt△BCD中，BD＝eq \r(BC2－CD2)＝2eq \r(3)，
又sin ∠CBD＝eq \f(1,2)，則∠CBD＝eq \f(π,6)，
所以yD＝BDsin eq \f(π,6)＝eq \r(3)，則M＝eq \r(3).
由圖象及函數(shù)f(x)為偶函數(shù)且|φ|≤eq \f(π,2)，
所以φ＝－eq \f(π,2)，
所以f(x)＝eq \r(3)sin(eq \f(π,2)x－eq \f(π,2))
＝－eq \r(3)cs eq \f(π,2)x.
19.解 (1)∵b2＋2c2－2a2＝0，
即b2＝2(b2＋c2－a2)，
∴cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b,4c)＝eq \f(sin B,4sin C)，
∴4sin Ccs A＝sin B，
∴4sin Ccs A＝sin(A＋C)，
∴4sin Ccs A＝sin Acs C＋cs Asin C，
即tan A＝3tan C.
當(dāng)tan C＝eq \f(1,3)時(shí)，tan A＝3tan C＝1，
又A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,4).
(2)由(1)知，tan A＝3tan C，
故0＜C＜A＜eq \f(π,2)，tan C＞0，
tan(A－C)＝eq \f(tan A－tan C,1＋tan A·tan C)＝eq \f(2tan C,1＋3tan2 C)
＝eq \f(2,\f(1,tan C)＋3tan C)≤eq \f(2,2\r(3))＝eq \f(\r(3),3)，
當(dāng)且僅當(dāng)eq \f(1,tan C)＝3tan C，
即tan C＝eq \f(\r(3),3)，C＝eq \f(π,6)時(shí)等號(hào)成立，
故tan(A－C)的最大值為eq \f(\r(3),3).
又0＜A－C＜eq \f(π,2)，
∴A－C的最大值為eq \f(π,6)，此時(shí)A＝eq \f(π,3)，
所以B＝eq \f(π,2)，
所以△ABC為直角三角形.
題號(hào)
1
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答案

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