1.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)內單調遞減的是( )
A.f(x)=-lg12xB.f(x)=-|x-1|
C.f(x)=2-xD.f(x)=-x2+x
答案C
解析函數(shù)f(x)=-lg12x在區(qū)間(0,+∞)內單調遞增,A不符合題意;
函數(shù)f(x)=-|x-1|=-x+1,x≥1,x-1,x3,則f(lg29)=( )
A.83B.103C.809D.829
答案B
解析f(x)=2x+2-x,x≤3,f(x2),x>3,由于lg29>3,則f(lg29)=f(12lg29)=f(lg23)=2lg23+12lg23=3+13=103.
故選B.
4.已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能是( )
A.f(x)=xsin 2xB.f(x)=sinx2x+2-x
C.f(x)=2x-12x+1·cs xD.f(x)=2x-12x+1·sin x
答案C
解析由圖象關于原點對稱可知,f(x)是奇函數(shù),而選項A中f(x)=xsin 2x,定義域為R,且f(-x)=(-x)·sin(-2x)=xsin 2x=f(x),因此f(x)是偶函數(shù),故A選項錯誤;選項D中,f(x)=2x-12x+1·sin x,定義域為R,且f(-x)=2-x-12-x+1·sin(-x)=1?2x2x+1·(-sin x)=f(x),因此f(x)是偶函數(shù),故D選項錯誤;同理可判斷選項B,C中的函數(shù)都是奇函數(shù),又由圖象可知函數(shù)在y軸右側的第一個零點x0>1,且00,x1+x2=4a>0,x1x2=-2ba>0,
即ab>-2,a>0,b0,或f(x+1)0,f'(x)>0,可得-40,g(x)單調遞增;當x0,所以函數(shù)h(x)為單調遞增函數(shù),又因為h(0)=g'(0)-2g(0)=-2e0f(0)>0,所以f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增,所以D正確.故選ABD.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
12.已知f(x)=x+a4?x2·sin x是偶函數(shù),則a= .
答案0
解析由題意可得4-x2≠0,即x≠-2且x≠2,則函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱,f(-x)=-x+a4?(-x)2·sin(-x)=f(x)=x+a4?x2·sin x,即x-a4?x2·sin x=x+a4?x2·sin x恒成立,即x-a=x+a,即a=0.
13.(2024陜西安康模擬)已知函數(shù)f(x)=2x3-2mx+m(m∈R),g(x)=-3x2,若關于x的不等式f(x)≤g(x)在區(qū)間[1,+∞)上有解,則實數(shù)m的取值范圍是 .
答案[5,+∞)
解析由題意,知2x3-2mx+m≤-3x2,即2x3+3x2≤m(2x-1).
因為x∈[1,+∞),所以m≥2x3+3x22x-1在[1,+∞)上有解,只需m≥2x3+3x22x-1min.設h(x)=2x3+3x22x-1(x≥1),得h'(x)=8x3-6x(2x-1)2=2x(2x+3)(2x-3)(2x-1)2>0,
所以函數(shù)h(x)在[1,+∞)內單調遞增,所以h(x)min=h(1)=5,所以m≥5.
所以m的取值范圍是[5,+∞).
14.若對任意的x1,x2∈[1,π2],x1lnx-1a+x,求實數(shù)a的取值范圍.
解(1)函數(shù)定義域為R,且f'(x)=aex+1.
當a≥0時,f'(x)>0,所以f(x)在R上單調遞增.
當alnx-1a+x,所以eln aex+x+1>ln(x-1)-ln a+x,因此ex+ln a+ln a+x>ln(x-1)+x-1,即ex+ln a+x+ln a>eln(x-1)+ln(x-1).
令h(x)=ex+x,則有h(x+ln a)>h(ln(x-1))對于x∈(1,+∞)恒成立.
因為h'(x)=ex+1>0,
所以h(x)在R上單調遞增,
故只需x+ln a>ln(x-1),
即ln a>ln(x-1)-x在(1,+∞)上恒成立.
令F(x)=ln(x-1)-x,則F'(x)=1x-1-1=2?xx-1,令F'(x)=0,得x=2.
當x∈(1,2)時,F'(x)>0,當x∈(2,+∞)時,F'(x)-2,所以a>1e2,即實數(shù)a的取值范圍是1e2,+∞.
17.(15分)已知函數(shù)f(x)=12ax2-xln x.
(1)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調遞增,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=2e,證明:f(x)0),則h'(x)=-lnxx2,所以當00,g(x)單調遞增,當x∈(1,+∞)時,g'(x)

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