析
考查方式
三角函數(shù)及解三角形在高考中通常以簡單題和中檔題為主，高考對此部分的考查難度略有提高，更注重綜合應(yīng)用. 高考中有時(shí)直接考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、圖象的伸縮變換、兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等，有時(shí)會將其作為數(shù)學(xué)工具，隱含在平面向量、立體幾何、解析幾何、函數(shù)等問題中考查. 復(fù)習(xí)過程中，要貫通三角函數(shù)與基本初等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)方法之間的聯(lián)系，在函數(shù)主題的整體視角下審視三角函數(shù)問題，提高思維的靈活性和分析問題、解決問題的能力.
高考真題
1．[2023年 新課標(biāo)Ⅰ卷]已知，，則( )
A.B.C.D.
2．[2023年 新課標(biāo)Ⅱ卷]已知為銳角，，則( )
A.B.C.D.
3．[2024年 新課標(biāo)Ⅰ卷]已知，，則( )
A.B.C.D.3m
4．[2024年 新課標(biāo)Ⅰ卷]當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.3B.4C.6D.8
5．[2024年 新課標(biāo)Ⅱ卷]（多選）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有( )
A.與有相同的零點(diǎn)
B.與有相同的最大值
C.與有相同的最小正周期
D.與的圖象有相同的對稱軸
6．[2024年 新課標(biāo)Ⅱ卷]已知為第一象限角，為第三象限角，，，則__________.
7．[2024年 新課標(biāo)Ⅰ卷]記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，.
（1）求B；
（2）若的面積為，求c.
8．[2024年 新課標(biāo)Ⅱ卷]記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若，，求的周長.
參考答案
1．答案：B
解析：依題意，得，所以，所以
，所以，故選B.
2．答案：D
解析：法一：由題意，，得，又為銳角，所以，所以，故選D.
法二：由題意，，得，將選項(xiàng)逐個(gè)代入驗(yàn)證可知D選項(xiàng)滿足，故選D.
3．答案：A
解析：由得①.由得②，由①②得，所以，故選A.
4．答案：C
解析：因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期，所以函數(shù)在上的圖象恰好是三個(gè)周期的圖象，所以作出函數(shù)與在上的圖象如圖所示，
由圖可知，這兩個(gè)圖象共有6個(gè)交點(diǎn)，故選C.
5．答案：BC
解析：對于A，令，則，，又，故A錯(cuò)誤；
對于B，與的最大值都為1，故B正確；
對于C，與的最小正周期都為，故C正確；
對于D，圖象的對稱軸方程為，，即，，圖象的對稱軸方程為，，即，，故與的圖象的對稱軸不相同，故D錯(cuò)誤.故選BC.
6．答案：
解析：由題知，即，又，可得.由，，，，得，.又，所以是第四象限角，故.
7．答案：（1）
（2）
解析：（1）由余弦定理得，
又，.
，，
又，.
（2）由（1）得，
由正弦定理，得，.
的面積，得.
8．答案：（1）
（2）
解析：（1）法一：由，得，
所以.
因?yàn)椋裕?br>所以，故.
法二：由，得，
兩邊同時(shí)平方，得，
則，
整理，得，
所以，則.
因?yàn)椋曰?
當(dāng)時(shí)，成立，符合條件；
當(dāng)時(shí)，不成立，不符合條件.
故.
法三：由，得，
兩邊同時(shí)平方，得，
則，
整理，得，
所以，則.
因?yàn)?，所?
（2）由，得，
由正弦定理，得，所以，
因?yàn)椋?
，
所以
.
法一：由正弦定理，得，
.
所以的周長為.
法二：由正弦定理，
得，
所以，
所以的周長為.
重難突破
1.已知扇形面積為，半徑是1，則扇形的圓心角是( )
A.B.C.D.
2.若角為第二象限角，，則( )
A.B.C.D.
3.在中，，，，則( )
A.B.C.D.
4.已知，，則( )
A.B.2C.D.
5.已知函數(shù)，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.C.D.
6.將函數(shù)(其中)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于對稱，則的最小值是( )
A.6B.C.D.
7.已知角，滿足，，則( )
A.B.C.D.2
8.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則面積的最大值為( )
A.B.C.D.
9.已知函數(shù)（）在上單調(diào)，在上存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A.B.C.D.
10.已知函數(shù)的最小正周期為T.若，且曲線關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則( )
A.B.C.D.
11.古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國最早的一部測量學(xué)著作，也為地圖學(xué)提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，根據(jù)劉徽的《重差》測量一個(gè)球體建筑的高度，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)，若在B，C處分別測量球體建筑物的最大仰角為和，且，則該球體建筑物的高度約為( )()
A.B.C.D.
12.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)不正確的是( )
A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱
B.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
C.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到
D.函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為
13.（多選）已知，則下列說法正確的是( )
A.B.
C.若，則D.若，則
14.（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是( )
A.當(dāng)時(shí)，的最小正周期為
B.函數(shù)過定點(diǎn)
C.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為
D.函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
15.（多選）若的內(nèi)角A，B，C對邊分別是a，b，c，，且，則( )
A.外接圓的半徑為B.的周長的最小值為
C.的面積的最大值為D.邊的中線的最小值為
16.已知，則_____________.
17.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為________.
18.已知，，，，則___________.
19.已知a，b，c分別為三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，，且，則面積的最大值為___________.
20.如圖，已知函數(shù)（其中，，）的圖象與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，，，，.則函數(shù)在上的值域?yàn)開__________.
21.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，.
（1）求c；
（2）設(shè)D為邊上一點(diǎn)，且，求的面積.
22.已知函數(shù).
（1）求不等式的解集；
（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，求曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.
23.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求在上的值域.
24.在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知______.
（1）求角A；
（2）若，，求邊上的中線的長.
注：若選擇多個(gè)條件分別進(jìn)行解答，則按第一個(gè)解答進(jìn)行計(jì)分.
25.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若的最大值為，求a的值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因?yàn)樯刃蚊娣e為，半徑是1，所以扇形的弧長為，所以扇形的圓心角為.故選：C.
2.答案：B
解析：因?yàn)?，，又角為第二象限角?br>解得.故選：B
3.答案：C
解析：設(shè)，，，
，
，，，故選：C
4.答案：C
解析：由，得，而，
因此，所以.故選：C
5.答案：C
解析：，
由函數(shù)在上單調(diào)遞減.且，，解得：，，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有滿足要求的取值，即.故選：C.
6.答案：D
解析：將的圖象向左平移個(gè)單位，可得
所得圖象關(guān)于，所以，
所以，即，
由于，故當(dāng)時(shí)取得最小值.故選：D.
7.答案：B
解析：因?yàn)椋?br>，
所以，
即，則，
因?yàn)?，所以?br>其中，
故，解得.故選：B.
8.答案：C
解析：在中，由及正弦定理得，
即，由余弦定理得，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此，
的面積，
所以當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值.故選：C
9.答案：B
解析：函數(shù)，令，
則其減區(qū)間為，增區(qū)間為，，
由函數(shù)在上單調(diào)，則，解得，
①當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞減時(shí)，則，解得，
由，則，；
②當(dāng)函數(shù)在上單調(diào)遞增時(shí)，則，解得，
由，則不符合題意；易知當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得極值，可得，解得，由，則，，綜上所述，.故選：B.
10.答案：B
解析：由，則，由，
則，解得，
由，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得對稱中心，
由題意可得，化簡可得，
當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)時(shí)，，
所以，則.
故選：B.
11.答案：B
解析：如圖，設(shè)球的半徑為R，
則，，
所以由題，又，
故
，
所以，即該球體建筑物的高度約為.
故選：B.
12.答案：C
解析：，
由圖可知，，可得，，
，，故A正確；
，解得，
所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故B正確；
函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得，
，故C錯(cuò)誤；
，，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，
即，可得，故D正確.
故選：C.
13.答案：ABD
解析：對于A：，故A正確；
對于B：
，故B正確；
對于C：，故C錯(cuò)誤；
對于D：因?yàn)?，所以，又，?br>所以，則，
所以，故D正確.
故選：ABD
14.答案：BC
解析：A選項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，最小正周期；
B選項(xiàng)正確，，與的取值無關(guān)；
C選項(xiàng)正確，向左平移個(gè)單位長度后的函數(shù)解析式，
令，，解得，當(dāng)時(shí)，的最小正值為；
D選項(xiàng)錯(cuò)誤，令，即，解得或，，即或者，要使得在區(qū)間上恰好有5個(gè)零點(diǎn)，令，滿足，解得.故選BC.
15.答案：ACD
解析：對于A：，由正弦定理得，
即，
即，
因?yàn)?，所以?br>所以，，
因?yàn)?，則，
令外接圓的半徑為R，
根據(jù)正弦定理可得，
即，故A正確；
對于C：由余弦定理知，，
因?yàn)?，，所以，?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
因?yàn)椋?br>所以的最大值為，故C正確；
對于B：由C知，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
所以的最大值為，故B錯(cuò)；
對于D：因?yàn)闉檫吷系闹芯€，
所以，，
得，因?yàn)椋?br>所以的最小值為，故D正確；
故選：ACD
16.答案：
解析：由誘導(dǎo)公式得，
故，
所以.
故答案為：.
17.答案：
解析：，
圖象向右平移個(gè)單位長度后得到是偶函數(shù)，
，，，，的最小值為.
18.答案：
解析：由，兩邊平方得，所以，
故，因?yàn)椋裕?br>解得，又因?yàn)椋?
故答案為：.
19.答案：
解析：，，.
由正弦定理，得，.由余弦定理，得，
且，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，
，面積的最大值為.
20.答案：
解析：由題意得，，，，，，，.，，把代入上式可得，，又，，，，又，，，又，，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，，故答案為.
21.答案：（1）；
（2）
解析：（1）因?yàn)?，所以，，所?在中，由余弦定理得，
即，解得（舍去），.
（2）
因?yàn)?，，，由余弦定理得?br>又，即是直角三角形，所以，
則，，又，則，
所以的面積為.
22.答案：（1）且
（2）
解析：（1）由題設(shè)，則，
所以且，可得且，
所以解集為且.
（2）由題意，則，
所以，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線為，
顯然切線過，，故其與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為.
23.答案：(1)；
(2).
解析：（1）觀察圖象知，，，即，
又，且0在的遞增區(qū)間內(nèi)，
則，，由，得，，
解得，，又且，解得，因此，，
所以函數(shù)的解析式是.
（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，
而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
于是，，
所以在上的值域?yàn)?
24.答案：（1）任選一個(gè)，答案均為；
（2）.
解析：（1）選①，
由正弦定理得，
，
，
，三角形中，所以，
又，所以；
選②
由正弦定理得，三角形中，
所以，又三角形中，所以，，
所以，即；
選③，
由余弦定理得，整理得，
所以，而，；
（2）由（1），，
由余弦定理得：
，又，，
所以，
所以，.
25.答案：（1）
（2）
解析：（1）由題設(shè)及正弦邊角關(guān)系，有，
所以，
整理得，即，
顯然不合題設(shè)，則，
所以，而，可得.
（2）由，可得，，
所以，
由（1）知：，則
，
由，則，又的最大值為，
所以，可得（負(fù)值舍），
綜上，.

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