一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.已知角α的終邊經(jīng)過點(3,4),把角α的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)π2得到角β的終邊,則sin β=( )

A.-45B.45C.-35D.35
答案D
解析因為角α的終邊經(jīng)過點(3,4),所以cs α=332+42=35.
因為把角α的終邊繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)π2得到角β的終邊,所以β=α+π2,所以sin β=sinα+π2=cs α=35.
故選D.
2.已知α為銳角,sin α=35,則csα2=( )
A.1010B.31010C.55D.255
答案B
解析由α為銳角,sin α=35,
得cs α=1-sin2α=45,
而cs α=2cs2α2-1,且α2為銳角,
所以csα2=1+csα2=31010.
故選B.
3.若△ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,B+C=60°,a=3,則sinA+sinB-sinCa+b-c=( )
A.23B.36C.16D.6
答案B
解析在△ABC中,B+C=60°,所以A=120°,所以sinAa=sin120°3=36,
由正弦定理以及比例的性質(zhì)可得sinA+sinB-sinCa+b-c=sinAa=36.
故選B.
4.(2024陜西西安二模)已知sin(α+β)sin(α-β)=2,cs αsin β=16,則sin(α+β)=( )
A.13B.23C.19D.-23
答案B
解析由sin(α+β)sin(α-β)=2,可得sin(α+β)=2sin(α-β),3cs αsin β=sin αcs β,
因為cs αsin β=16,
所以sin αcs β=12,
所以sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β=12+16=23.故選B.
5.函數(shù)f(x)=cs(πx+φ)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,在下列選項中,不是函數(shù)f(x)的零點的是( )
A.-1B.-12C.32D.52
答案A
解析由于f(x)的周期T=2ππ=2,又f(x)=cs(πx+φ)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,
所以f(x)的零點x滿足x-1=2k+14T,k∈Z,
即x=k+32,k∈Z,
所以-12,32,52均為f(x)的零點,-1不是f(x)的零點,故選A.
6.將函數(shù)y=sin2x-cs2x的圖象向右平移m(m>0)個單位長度后得到的圖象與y=sin 2x的圖象關(guān)于原點對稱,則m的最小值是( )
A.π4B.3π4
C.π2D.3π2
答案B
解析令f(x)=sin2x-cs2x,則有f(x)=-cs 2x,把函數(shù)f(x)的圖象向右平移m(m>0)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,
則有g(shù)(x)=-cs[2(x-m)]=-cs(2x-2m),
根據(jù)已知條件g(x)的圖象與y=sin 2x的圖象關(guān)于原點對稱,
則有g(shù)(x)=-sin(-2x)=sin 2x,
即-cs(2x-2m)=sin 2x,
所以-2m=π2+2kπ(k∈Z),
解得m=-π4-kπ(k∈Z),
又因為m>0,所以當(dāng)k=-1時,m取最小值為3π4.故選B.
7.已知函數(shù)f(x)=3sin 2x-cs 2x,則下列結(jié)論正確的是( )
A.函數(shù)f(x)的最大值是3
B.函數(shù)f(x)在-π6,π3上單調(diào)遞增
C.該函數(shù)的最小正周期是2π
D.該函數(shù)的圖象向左平移π6個單位長度后圖象關(guān)于原點對稱
答案B
解析由函數(shù)f(x)=3sin 2x-cs 2x=2sin2x-π6,可得最大值是2,最小正周期是π,所以選項A,C錯誤;
當(dāng)x∈-π6,π3時,可得2x-π6∈-π2,π2,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì),
可得函數(shù)f(x)=2sin2x-π6在-π6,π3上單調(diào)遞增,所以B正確;
將函數(shù)f(x)的圖象向左平移π6個單位長度后得到函數(shù)g(x)=2sin2x+π6的圖象,
此時函數(shù)g(x)的圖象不關(guān)于原點對稱,所以D錯誤.故選B.
8.如圖,在△ABC所在平面內(nèi),分別以AB,BC為邊向外作正方形ABEF和正方形BCHG.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,面積為S.已知S=34,且asin A+csin C=4asin Csin B,則FH的值是( )
A.22B.23C.32D.33答案C
解析在△ABC中,S=12acsin B=34,∵asin A+csin C=4asin Csin B,又asinA=bsinB=csinC,
∴a2+c2=4acsin B=6.
連接BF,BH,如圖所示,在△BFH中,由余弦定理得FH2=FB2+HB2-2FB·HB·cs∠FBH,又∠FBH=3π2-B,
∴FH2=FB2+HB2-2FB·HB·cs3π2-B=2(c2+a2)+4acsin B=18,
∴FH=32.
故選C.
二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.
9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角θ以坐標(biāo)原點O為頂點,以x軸的非負(fù)半軸為始邊,其終邊經(jīng)過點M(a,b),|OM|=m(m≠0),定義f(θ)=b+am,g(θ)=b-am,則下列說法正確的是( )
A.fπ6+gπ6=1
B.f(θ)+f2(θ)≥0
C.若f(θ)g(θ)=2,則sin 2θ=35
D.f(θ)g(θ)是周期函數(shù)
答案ACD
解析由題意得M(a,b)在角θ的終邊上,且|OM|=m,所以cs θ=am,sin θ=bm,
則f(θ)=b+am=sin θ+cs θ=2sinθ+π4,g(θ)=b-am=sin θ-cs θ=2sinθ-π4,
對于A,fπ6+gπ6=sinπ6+csπ6+sinπ6-csπ6=1,故A正確;
對于B,f(θ)+f2(θ)=sin θ+cs θ+(sin θ+cs θ)2,令t=sin θ+cs θ=2sinθ+π4∈[-2,2],
所以有h(t)=t+t2=(t+12)2?14≥-14,故B錯誤;
對于C,f(θ)g(θ)=sinθ+csθsinθ-csθ=tanθ+1tanθ-1=2,解得tan θ=3,經(jīng)檢驗,θ的值符合題意.
又由sin 2θ=2sin θcs θ=2sinθcsθsin2θ+cs2θ=2tanθtan2θ+1=2×332+1=35,故C正確;
對于D,f(θ)g(θ)=(sin θ+cs θ)(sin θ-cs θ)=sin2θ-cs2θ=-cs 2θ,因為y=cs 2θ為周期函數(shù),故D正確.故選ACD.
10.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,恒成立條件a=3cs C,b=1.附加條件①△ABC的面積取到最大值34;附加條件②c=102.下列結(jié)論正確的是( )
A.sinAsinB=3cs C
B.tan C=2tan B
C.若恒成立條件和附加條件①成立,則cs 2B=35
D.若恒成立條件和附加條件②成立,則cs 2B=45
答案ABC
解析對于A,B,因為a=3cs C,b=1,所以a=3bcs C,由正弦定理得sin A=3sin Bcs C,又B∈(0,π),所以sin B>0,則sinAsinB=3cs C,故A正確;
又A+B+C=π,所以3sin Bcs C=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sin B·cs C+cs Bsin C,
所以2sin Bcs C=cs Bsin C,顯然cs B≠0,cs C≠0,所以tan C=2tan B,故B正確;
對于C,若△ABC的面積取到最大值34,
即S△ABC=12absin C=32cs C·sin C=34sin 2C,
所以當(dāng)C=π4時,S△ABC取得最大值34,此時tan C=1,
由B可知tan B=12tan C=12,所以cs 2B=cs2B-sin2B=cs2B-sin2Bsin2B+cs2B=1-tan2Btan2B+1=1-1414+1=35,故C正確;
對于D,若c=102,由正弦定理bsinB=csinC,
得sin C=102sin B,
所以sin2C=52sin2B.
由B知tan C=2tan B,
即sin2Ccs2C=4sin2Bcs2B,
所以52sin2Bcs2C=4sin2Bcs2B,cs2C=58cs2B,
所以sin2C+cs2C=52sin2B+58cs2B,
即1=158sin2B+58,
所以sin2B=15,
所以cs 2B=1-2sin2B=1-2×15=35,故D錯誤.故選ABC.
11.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊依次為a,b,c,已知sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,則下列結(jié)論正確的是( )
A.(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=5∶6∶7
B.△ABC為鈍角三角形
C.若a+b+c=18,則△ABC的面積是615
D.若△ABC的外接圓半徑是R,內(nèi)切圓半徑為r,則5R=16r
答案BD
解析因為sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,
由正弦定理可得a∶b∶c=2∶3∶4.
設(shè)a=2x,b=3x,c=4x,
其中x>0,
則(a+b)∶(b+c)∶(c+a)=5x∶7x∶6x=5∶7∶6,故A錯誤;
由題意可知,C為最大角,
因為cs C=a2+b2-c22ab=4x2+9x2-16x212x2=-140,2πω>4π7,解得0

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