值域倍增或倍減是高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一個新的考查導(dǎo)數(shù)的方向。在2019年全國卷2的選擇題12題已經(jīng)出現(xiàn)了，是以壓軸題的形式出現(xiàn)的?？疾閷W(xué)生對分段函數(shù)以及函數(shù)的周期性，結(jié)合圖像去處理。數(shù)形結(jié)合思想是我們?nèi)ヌ幚磉@只能怪題型的一個必備手段。處理步驟分為：①審題，找出分段函數(shù)的部分圖像，找到偽周期，值域倍增或倍減得范圍；②結(jié)合函數(shù)，畫出圖像；③整理，分析，得出結(jié)論。
二、經(jīng)驗(yàn)分享
1.函數(shù)的周期
對于函數(shù)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就把這個最小的正數(shù)叫做最小正周期。
【常用結(jié)論】
A、 ，函數(shù)的周期.
B、，函數(shù)的周期.
C、或，函數(shù)的周期.
2.函數(shù)的值域
（1）.函數(shù)的值域周期性倍增
若函數(shù)滿足或（），那么此函數(shù)的圖像會以，值域每次經(jīng)過一個T，都會周期性變大A倍；
（2）.函數(shù)的值域周期性倍減
若函數(shù)滿足或（），那么此函數(shù)的圖像會以，值域每次經(jīng)過一個T，都會周期性變大A倍；
（3）.函數(shù)的周期性
若函數(shù)滿足或，那么此函數(shù)的圖像會以，用周期函數(shù)的性質(zhì)求解即可。
三、題型分析
(一) 函數(shù)周期性的應(yīng)用
例1．（1）、（2020·河南開封·二模）已知定義在R上的奇函數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)x，恒有，且當(dāng)時，，則
A．6B．3C．0D．
【答案】B
【解析】根據(jù)函數(shù)恒有，得到函數(shù)的周期是6，再由定義在R上的奇函數(shù)，得到，然后求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)對任意的實(shí)數(shù)x，恒有，
所以，
所以函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，
又定義在R上的奇函數(shù)，
所以，
又當(dāng)時，，
所以，
，
所以，
，
，
故選：B
（2）、（2020·安慶市第七中學(xué)高三其他模擬（文））已知定義在上的偶函數(shù)，滿足，當(dāng)時，，則__________．
【答案】
【解析】
分析：由可知，函數(shù)的周期為2，利用周期性與奇偶性把所給的兩個自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間上，代入求值即可.
詳解：由可知，函數(shù)的周期為2，又為偶函數(shù)
∴
故答案為
點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查了奇偶性與周期性的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題.
【變式訓(xùn)練1-1】、（2019·江蘇南京市·南京師大附中高二開學(xué)考試）已知函數(shù)對任意的，都有，函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，則方程在區(qū)間內(nèi)的所有零點(diǎn)之和為_____________．
【答案】4
【解析】
∵函數(shù)是奇函數(shù)
∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
∴把函數(shù)的圖象向右平移1個單位可得函數(shù)的圖象，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則.
又∵
∴，從而
∴，即
∴函數(shù)的周期為2，且圖象關(guān)于直線對稱.
畫出函數(shù)的圖象如圖所示：

∴結(jié)合圖象可得區(qū)間內(nèi)有8個零點(diǎn)，且所有零點(diǎn)之和為.
故答案為4.
點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷：
(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點(diǎn)；
(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)；
(3)利用圖象交點(diǎn)的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個不同的值，就有幾個不同的零點(diǎn)．
【變式訓(xùn)練1-2】、（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測）已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則方程在區(qū)間上所有解的和為（ ）
A．8B．7C．6D．5
【答案】A
【分析】令，由已知可得函數(shù)與的圖象在區(qū)間上關(guān)于直線對稱，利用對稱性即可求解.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，
又函數(shù)為偶函數(shù)，所以，
所以函數(shù)是周期為2的函數(shù)，
又的圖象也關(guān)于直線對稱，
作出函數(shù)與在區(qū)間上的圖象，如圖所示：
由圖可知，函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有8個交點(diǎn)，且關(guān)于直線對稱，
所以方程在區(qū)間上所有解的和為，
故選：A.
(二) 函數(shù)值域倍減
例2.（1）、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則m的取值范圍是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時，，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，由解得或，
若對任意，都有，則．
故選B．
（2）、（2022·遼寧沈陽·高三階段練習(xí)）定義在上函數(shù)滿足，且當(dāng)時，．若對任意，都有，則的取值范圍是___________．
【答案】
【分析】由，根據(jù)，即，依此類推，作出函數(shù)的圖象求解．
【詳解】因?yàn)楫?dāng)，時，，
所以，
因?yàn)椋?br>當(dāng)，時，即時，
所以，即，
當(dāng)，，即，時，，
當(dāng)，，即，時，，
所以，
依此類推，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：
由圖象知：，,當(dāng)時，，
當(dāng)時,
因?yàn)閷θ我?，，都有?br>則，解得：，
故答案為：
【變式訓(xùn)練2-1】．（2020·石嘴山市第三中學(xué)高三其他模擬（理））對于函數(shù)．現(xiàn)有下列結(jié)論：①任取，，都有；②函數(shù)有3個零點(diǎn)；③函數(shù)在上單調(diào)遞增；④若關(guān)于的方程有且只有兩個不同的實(shí)根，，則．其中正確結(jié)論的序號為______．（寫出所有正確命題的序號）
【答案】①②④
【分析】
作出函數(shù)的圖象，求出時的最大值和最小值，可判斷①；由圖可直接判斷②③④，進(jìn)而可得答案.
【詳解】
的圖象如圖所示：
①當(dāng)時，的最大值為，最小值為，
∴任取，，都有恒成立，故①正確；
②如圖所示，函數(shù)和的圖象有3個交點(diǎn)，即有3個零點(diǎn)，故②正確；
③函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性和上的單調(diào)性相同，則函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故③錯誤；
④當(dāng)時，函數(shù)關(guān)于對稱，若關(guān)于的方程有且只有兩個不同實(shí)根，，則，則成立，故④正確；
故答案為：①②④.
【點(diǎn)睛】
本題考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的性質(zhì)，利用分段函數(shù)的表達(dá)式，作出函數(shù)的圖象是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.
【變式訓(xùn)練2-2】．（2020·江蘇泰州市·泰州中學(xué)高三月考）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則的取值范圍是______.
【答案】
【分析】
可結(jié)合圖像大致特點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)區(qū)間由右移，函數(shù)值逐漸減小，當(dāng)函數(shù)區(qū)間由左移，函數(shù)值逐漸增大，則確定應(yīng)是比2大的一個值，再由可推出通式，令可解得，再由圖像可確定的臨界值應(yīng)為，即可求解
【詳解】
由題可知
，
則可得一般規(guī)律：，可畫出大致函數(shù)圖像，如圖：
由圖可知，當(dāng)時，，則，，
此時，由圖像可知，要對任意，都有，則的最大值只能取，故
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查由函數(shù)的遞推式找出一般函數(shù)圖像規(guī)律，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題
(三) 函數(shù)值域倍增
例3.（1）、設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，當(dāng)時，，若時，的最大值為1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________
【答案】
【解析】
【方法技巧梳理】倍域問題
定義在上的滿足，即自變量增加一，函數(shù)值變?yōu)?倍.
根據(jù)時解析式畫出函數(shù)草圖.
由于時，函數(shù)
令，則.
由于時，1，故必滿足.
①首先時，1
②其次時，無最大值.
③而當(dāng)時，最大值為2.
綜上知：.
（2）、（2021·全國高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足，且當(dāng)時，．若對任意，都有，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根據(jù)題設(shè)條件可得當(dāng)時，，其中，結(jié)合函數(shù)在上的解析式和函數(shù)在的圖象可求的取值范圍.
【詳解】
當(dāng)時，，故，
因?yàn)椋?br>故當(dāng)時，，，
同理，當(dāng)時，，
依次類推，可得當(dāng)時，，其中.
所以當(dāng)時，必有.
如圖所示，因?yàn)楫?dāng)時，的取值范圍為，
故若對任意，都有，則，
令，或，
結(jié)合函數(shù)的圖象可得，
故選：D.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：此類問題考慮函數(shù)的“類周期性”，注意根據(jù)已知區(qū)間上函數(shù)的性質(zhì)推證函數(shù)在其他區(qū)間上的性質(zhì)，必要時應(yīng)根據(jù)性質(zhì)繪制函數(shù)的圖象，借助形來尋找臨界點(diǎn).
【變式訓(xùn)練3-1】、（2022·黑龍江·鐵人中學(xué)高三開學(xué)考試）定義在上的函數(shù)滿足，且時，，若方程恰有3個根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意可知，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個交點(diǎn)，作出函數(shù)和的圖象,數(shù)形結(jié)合即可求出．
【詳解】依題可知，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個交點(diǎn),根據(jù)題意,可畫出和的圖象,

由圖可知:解得．
故答案為：．
【變式訓(xùn)練3-2】、（2021·全國高三專題練習(xí)）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
當(dāng)時，可得恒成立，再利用遞推關(guān)系式探討時適合，當(dāng)時，并不恒滿足題意，畫出函數(shù)草圖，令，解出，結(jié)合圖形即可得結(jié)果.
【詳解】
由已知，當(dāng)時，恒成立，
可得當(dāng)時，，
恒成立；
當(dāng)時，，
.
畫出函數(shù)草圖，令，
化簡得，解得，，
由圖可知，當(dāng)時，不等式恒成立.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)恒成立問題，考查等價轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于難題.
四、遷移應(yīng)用
A組 基礎(chǔ)鞏固
1．（2022·陜西陜西·二模）設(shè)為上的偶函數(shù)且，當(dāng)時，，若方程在內(nèi)只有3個解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖像在區(qū)間內(nèi)有3個交點(diǎn)求解.
【詳解】解：由得，
又為偶函數(shù)，
∴，
∴為周期為2的函數(shù).
因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間內(nèi)有3個解，
所以函數(shù)與函數(shù)的圖像在區(qū)間內(nèi)有3個交點(diǎn)，
當(dāng)時顯然不合題意；
當(dāng)時，作出函數(shù)與函數(shù)的圖像，如圖所示：
由圖得，
解得.
故選：D.
2．（2021·江西贛州·二模（文））已知定義在上的函數(shù)，對任意x都滿足，且當(dāng)時，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（ ）
A．12B．14C．15D．16
【答案】B
【分析】先求函數(shù)的周期性，再根據(jù)周期性畫出函數(shù)的圖象以及的圖象，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的辦法可求解.
【詳解】∵，
∴函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)．
令，則，
由題意得函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個數(shù)．
當(dāng)時，，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象（如圖所示），
結(jié)合圖象可得兩函數(shù)的圖象有14個交點(diǎn)，
∴函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為14.
故選：B．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．
3．（2020·河南·羅山縣教學(xué)研究室模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)的定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時， ，且， ，則
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域及函數(shù)對稱軸，求出函數(shù)的周期，進(jìn)而化簡求得函數(shù)值即可．
【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)圖像關(guān)于 對稱
因?yàn)榈亩x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以函數(shù)的周期為T=4
所以
因?yàn)楹瘮?shù)圖像關(guān)于 對稱
所以
所以選B
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的對稱性及周期性，掌握函數(shù)的基本性質(zhì)是解決這類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．
4．（2020·吉林吉林·三模（理））已知為定義在上的奇函數(shù)，且滿足當(dāng)時，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題設(shè)條件，可得函數(shù)的周期是，再結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為函數(shù)值，即可得到結(jié)論.
【詳解】由題意，，則函數(shù)的周期是，
所以，，
又函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，
所以，.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性，由題設(shè)得函數(shù)的周期是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
5．（2022·陜西·寶雞中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知定義在上的函數(shù)，滿足，，且，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知函數(shù)是奇函數(shù)，進(jìn)而推導(dǎo)的周期，然后求出函數(shù)值即可.
【詳解】,,是奇函數(shù)，,.
,,
由,，的周期為.
..
故選：C
6．（2022·江西·上饒市第一中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知，若，則n的最大值為（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式依次求，，，即可.
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時，，
所以
，
又，所以，
所以，，，
所以若，則n的最大值為10，
故選：B.
7．（2021·陜西·長安一中高二期中（文））設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時，.若對任意，都有，則m的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由題先求出的分段函數(shù)表達(dá)式，分析圖象變化規(guī)律，確定范圍，代入給定區(qū)間表達(dá)式即可求出.
【詳解】當(dāng)時，，又，故當(dāng)時，，，即，令，
則，同理，當(dāng)時，，
令，則，整理得，
當(dāng)時，，畫出大致圖象，函數(shù)類似于周期函數(shù)，每向右移一個單位，函數(shù)最小值變?yōu)樯弦粋€最小值2倍，由圖可知，要使對任意，都有，
，令，解得或（舍去），故m的最大值是.
故選：D
8．（2019·新疆·烏市八中高二階段練習(xí)（理））已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則在區(qū)間上滿足的實(shí)數(shù)x的值為（ ）
A．6B．5C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義求出在上的表達(dá)式，然后解方程可得．
【詳解】∵，∴，
∴當(dāng)時，，∴，
∴，
∴當(dāng)時，，∴，
由得，，
故選：B.
9．（2019·湖北武漢·模擬預(yù)測（文））設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)得到，討論的范圍解得答案.
【詳解】函數(shù)，得到
當(dāng)時：解得，即
當(dāng)時：解得，即
綜上所述：
故答案選D
【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的計算，分類討論是一個常用的方法.
10．（2019·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高二期末（理））已知函數(shù)，若方程有4個不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】作函數(shù)的圖像，方程有4個不同的實(shí)數(shù)根，從而得到，，，的范圍，代入化簡，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到取值范圍．
【詳解】作函數(shù)的圖像如下：
由圖可知：，，，
故 ；
由在單調(diào)遞減，所以的范圍是 ，即的取值范圍是；
故答案選B
【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用，主要考查函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．
11．（2020·全國高三專題練習(xí)（理））定義在R上的函數(shù)滿足：，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則
A．336B．337C．338D．339
【答案】C
【分析】
根據(jù)函數(shù)的周期性，將函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．
【詳解】
解：∵f（x+6）＝f（x），
當(dāng)﹣3≤x＜﹣1時，f（x）＝﹣（x+2）2
當(dāng)﹣1≤x＜3時，f（x）＝x，
∴f（1）＝1，f（2）＝2，f（3）＝f（﹣3）＝﹣1，
f（4）＝f（﹣2）＝0，f（5）＝f（﹣1）＝﹣1，f（6）＝f（0）＝0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝1，
∵f（x+6）＝f（x），∴f（x）的周期為6，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2019）
＝336+f（1）+f（2）+f（3）
＝338．
故選C．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)函數(shù)的周期性，進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．
12．（2020·全國高三專題練習(xí)（理））已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】B
【分析】
根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數(shù)，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．
【詳解】
∵是定義在R上的奇函數(shù)，且；
∴；
∴；
∴的周期為4；
∵時，；
∴由奇函數(shù)性質(zhì)可得；
∴；
∴時，；
∴.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據(jù)條件先推導(dǎo)出周期，利用函數(shù)的周期變換來求解，考查理解能力和計算能力，屬于中等題.
13．（2019·吉林長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末（文））奇函數(shù)的定義域?yàn)?若為偶函數(shù)，且，則_____．
【答案】
【分析】
由題設(shè)條件，推得，得到，即函數(shù)是周期為12的周期函數(shù)，利用周期性、奇偶性和，即可求解．
【詳解】
由題意， 函數(shù)的定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，則且，
又由為偶函數(shù)，,
代換
則有，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，可得，，
綜上可得，則有，
即函數(shù)是周期為12的周期函數(shù)，則，
所以．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，周期性的性質(zhì)及其應(yīng)用，其中解答中根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)，求得函數(shù)是周期為12的周期函數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．
14．（2020·江蘇）已知定義在上的函數(shù)滿足：，且當(dāng)時，.若對任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為___________.
【答案】
【分析】
直接利用關(guān)系式可得出當(dāng)時，，結(jié)合題意可得且解出不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】
當(dāng)時，，由可得，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，…，
當(dāng)時，，
因?yàn)椋覍θ我獾?，恒成立?br>所以且，解得，
故實(shí)數(shù)的最大值為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
本題考查的知識要點(diǎn)：直接利用關(guān)系式的應(yīng)用，定義域的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于難題.
15．（2019·浙江高二期末）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時，.若對任意的，都有，則的取值范圍是________.
【答案】
【分析】
由，得，分段求解析式，結(jié)合圖象可得m的取值范圍．
【詳解】
解：，，
時，，
時，；
時，；
時，；
當(dāng)時，由，解得或，
若對任意，都有，則．
故答案為．
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，訓(xùn)練了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬中檔題．
B組 能力提升
16．【2018屆河南天一大聯(lián)考】
17．（2021·全國高一專題練習(xí)）設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，若在區(qū)間內(nèi)關(guān)于的方程（且）有且只有5個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求得函數(shù)是周期函數(shù)，且周期，依題意，只需使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在上有5個交點(diǎn)即可.在同一坐標(biāo)系中分別作出與的圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.
【詳解】
因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以，對，，
所以函數(shù)是周期函數(shù)，且周期.
，
依題意，只需使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在上有5個交點(diǎn)即可.
在同一坐標(biāo)系中分別作出與的圖象，
由圖可知，實(shí)數(shù)滿足，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是：在同一坐標(biāo)系中分別作出與的圖象，數(shù)形結(jié)合得到滿足.
18．（2019·陜西漢中市·高三月考（文））定義在 上的函數(shù) 滿足 ，且當(dāng) 時，，則函數(shù) 在 上的零點(diǎn)個數(shù)為
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】
由f（x+2）＝3f（x），得到函數(shù)在其他區(qū)間的解析式，作出函數(shù)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在上的圖象的交點(diǎn)的個數(shù)，即可求出零點(diǎn)個數(shù)．
【詳解】
設(shè)，則.因?yàn)闀r， ，所以.因?yàn)?，所以?dāng)時，
同理可得當(dāng)時，；
當(dāng)時，，此時最大值為x=-3時，f(x)=,
因?yàn)楹瘮?shù) 在 上的零點(diǎn)個數(shù)等價于直線與函數(shù) 在上的圖象的交點(diǎn)的個數(shù)，
結(jié)合的圖象（如圖），
直線與函數(shù)在上的圖象有7個交點(diǎn)，即函數(shù)在上有7個零點(diǎn).
故選C.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)及函數(shù)解析式的求解方法，考查了數(shù)形結(jié)合思想，利用f（x+2）＝3f（x）求解解析式是解決本題的關(guān)鍵．
19．（2020·全國高三專題練習(xí)（理））定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，當(dāng)時，，若時，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【分析】
由分段函數(shù)根據(jù)單調(diào)性求得在的最小值，根據(jù)求出，的最小值，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式即可得出結(jié)果.
【詳解】
根據(jù)已知，當(dāng)時，，
則當(dāng)時，在處取到最小值，
當(dāng)時，在處取到最小值，
所以在時在處取到最小值,
又因?yàn)椋?br>可知當(dāng)時，在時取到最小值，且，則.
為使當(dāng)時，恒成立，需，
當(dāng)時，可整理為，解得；
當(dāng)時，可整理為，解得.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是
故答案為：
【點(diǎn)睛】
本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題是解題的關(guān)鍵，屬于難題.
20．（2020·云南·一模（理））定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)滿足，當(dāng)時，，給出下列四個結(jié)論：
① ；
②若，則；
③函數(shù)在內(nèi)有且僅有3個零點(diǎn)；
④若，且，則的最小值為4.
其中，正確結(jié)論的序號是______.
【答案】①③
【分析】由得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，又為偶函數(shù)，所以可推得的周期為4，又得，且當(dāng)時，，故可作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象可判斷各選項(xiàng)的真假.
【詳解】由得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，
又，，
為上的偶函數(shù)，，
，，
的周期為4，
當(dāng)時，得，
又當(dāng)時，，所以函數(shù)圖象如圖：
由圖知，，，故①正確；
又，從而可知②不正確；
當(dāng)時，，故③正確.
④取x1＝-1，x2＝0，x3＝1，則f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝0，但x3-
x1＝2＜4，即④錯誤.
∴正確的是①③.
故答案為：①③.
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分析出函數(shù)的對稱性和作出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的作圖能力和分析能力，屬于中檔題.
21．（2020·四川省成都市新都一中模擬預(yù)測（理））設(shè)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且對任意的恒有，已知當(dāng)時，，有下列命題：①2是函數(shù)的周期；②函數(shù)在上是增函數(shù)；③函數(shù)的最大值是1，最小值是0；④直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸.其中所有正確命題的序號是__________.
【答案】①②④
【分析】對于任意的恒有，所以，即2是函數(shù)的周期；當(dāng)時，，作出函數(shù)的部分圖象即可判斷②③④.
【詳解】用換中的，得，所以是以2為周期的周期函數(shù)，故①正確；又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)且時，，
作出函數(shù)的部分圖象如圖所示
由圖知，函數(shù)在上是增函數(shù)，故②正確；函數(shù)的最大值是1，最小值是，
故③錯誤；直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故④正確.
故答案為：①②④
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性以及函數(shù)的最值，同時考查了分析問題的能力，是中檔題．
22．（2022·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，滿足，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，方程的解集為______．
【答案】
【分析】由可知，函數(shù)的圖像每向右平移2個單位長度，函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼?倍，畫出函數(shù)的大致圖像，由圖像可知，方程的根共有3個，1個是，另外2個在區(qū)間內(nèi)，當(dāng)時，可求得，令即可求出另外2個零點(diǎn)．
【詳解】由可知，函數(shù)的圖像每向右平移2個單位長度，函數(shù)值變?yōu)樵瓉淼?倍，
當(dāng)時，，
作出函數(shù)的大致圖像，如圖所示：
當(dāng)時，函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的根，
由圖像可知，方程的根共有3個，1個是，另外2個在區(qū)間內(nèi)，
當(dāng)時，則，
，
又，，即，
，即，
令得，解得，
當(dāng)時，函數(shù)的零點(diǎn)是3，，．
故答案為：．
23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義在上函數(shù)滿足，且當(dāng)時，．若當(dāng)時，，則的最小值等于________．
【答案】
【分析】轉(zhuǎn)化條件為在區(qū)間上，，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解．
【詳解】當(dāng)時，故，
當(dāng)時，故…，
可得在區(qū)間上，，
所以當(dāng)時，，作函數(shù)的圖象，如圖所示，
當(dāng)時，由得，
由圖象可知當(dāng)時，，所以的最小值為．
故答案為：．
24．（2021·全國·高一專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，若當(dāng)時，，則的最小值是___________.
【答案】
【分析】根據(jù)已知條件分別求出，，的解析式，再作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.
【詳解】由可得
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，
，
當(dāng)時，
，
作出函數(shù)的圖象如圖所示：
時，，令，
解得：或，
當(dāng)時，恒成立，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，
所以當(dāng)時，恒成立，
綜上所述：當(dāng)時，恒成立，
若當(dāng)時，，則的最小值是，
故答案為：.

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