一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．
1.已知集合，集合，則（ ）
A.B.C.D.
2.已知為單位圓的內(nèi)接正三角形，則（ ）
A.B.C.1D.
3.已知角的終邊上一點(diǎn)，則（ ）
A.B.C.D.
4.巴黎奧運(yùn)會(huì)期間，旅客人數(shù)（萬(wàn)人）為隨機(jī)變量，且.記一天中旅客人數(shù)不少于26萬(wàn)人的概率為，則的值約為（ ）
（參考數(shù)據(jù)：若，有，，）
5．已知非零向量，滿足，且向量在向量上的投影向量是，則與的夾角是（ ）
A．B．C．D．
6.關(guān)于的方程在上有（ ）個(gè)實(shí)數(shù)根．
A.1B.2C.3D.4
7.已知，是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿足
，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
8.已知，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的最小值是（ ）
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
B.在上單調(diào)遞增
C.是奇函數(shù)
D.將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象
10.已知為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則（ ）
A.的圖象關(guān)于對(duì)稱B.的解集為
C.時(shí)，D.時(shí)，，則的最大值為4
11.已知函數(shù)與及其導(dǎo)函數(shù)f'x與的定義域均為.若為奇函數(shù)，，，則（ ）
A.B.
C.曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分．
12.若復(fù)數(shù)滿足，則__________.
13.已知某次數(shù)學(xué)期末試卷中有8道四選一的單選題，學(xué)生小萬(wàn)能完整做對(duì)其中4道題，在剩下的4道題中，有3道題有思路，還有1道完全沒(méi)有思路，有思路的題做對(duì)的概率為，沒(méi)有思路的題只能從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選一個(gè)答案．若小萬(wàn)從這8個(gè)題中任選1題，則他做對(duì)的概率為_(kāi)_____．
14.已知數(shù)列an滿足，，其中為函數(shù)的極值點(diǎn)，則______．
四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．
15．（本小題13分）為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)造力，石室中學(xué)打算開(kāi)設(shè)“數(shù)學(xué)建?！边x修課，為了解學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)建?！钡呐d趣度是否與性別有關(guān)，學(xué)校隨機(jī)抽取該校30名高中學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，其中認(rèn)為感興趣的人數(shù)占70%.
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷，依據(jù)小概率值α=0.15的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)建模”選修課的興趣度與性別是否有關(guān)?
(2)若感興趣的女生中恰有4名是高三學(xué)生，現(xiàn)從感興趣的女生中隨機(jī)選出3名進(jìn)行二次訪談，記選出高三女生的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望
附：，其中.
16．（本小題15分）如圖所示，在四棱錐中，，，．
(1)若平面，，證明：
(2)若底面，，，二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)．
17．（本小題15分）設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，且.
(1)求
(2)若,求的周長(zhǎng);
(3)如圖，點(diǎn)是外一點(diǎn)，設(shè)
且，記的面積，求關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍.
18．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)交于，兩點(diǎn)，在，兩點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，且交于點(diǎn)．當(dāng)垂直于軸時(shí)，長(zhǎng)度為4；
(1)求的方程；
(2)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，求；
(3)設(shè)在點(diǎn)處的切線與，分別交于點(diǎn)，，求四邊形面積的最小值．
19．（本小題17分）已知函數(shù)，.
(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；
(2)當(dāng)時(shí)，若，且，求證：；
(3)求證：對(duì)任意，都有.
成都石室中學(xué)2024-2025學(xué)年度上期高2025屆11月半期考試
數(shù)學(xué)參考答案
雙向細(xì)目表
答案及解析
1.【參考答案】C
【解題思路】由題意可知，，，所以.故選C.
2.【參考答案】B
【解題思路】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn).因?yàn)閱挝粓A半徑為，為單位圓的內(nèi)接正三角形，所以.又因?yàn)槭钦闹行模?，，所?設(shè)的邊長(zhǎng)為.由勾股定理，得，即，解得（負(fù)值已舍去），所以，.易得,的夾角為，所以.故選B.
3.【參考答案】C
【解題思路】由三角函數(shù)定義知，，，所以.故選C.
4.【參考答案】A
【解題思路】因?yàn)?，所以，，所?根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得，.故選A.
5.【參考答案】B
【解題思路】因?yàn)椋?，所?因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄渴?，所以，即，所?又因?yàn)?，所以與的夾角是.故選B.
6.【參考答案】C
【解題思路】當(dāng)時(shí)，，原方程化為.令，，則原方程的解的個(gè)數(shù)即為函數(shù)與的圖象在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).作出函數(shù)和的大致圖象如圖，在上單調(diào)遞增，，，，由圖可知函數(shù)和在上有3個(gè)交點(diǎn)，即原方程在上有3個(gè)實(shí)數(shù)根.故選C.
7.【參考答案】D
【解題思路】由題意可得，.因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以.聯(lián)立解得.又因?yàn)閷?duì)于任意的，都有成立，所以，即成立.構(gòu)造，所以在上單調(diào)遞增.若，則對(duì)稱軸，解得；若，則在上單調(diào)遞增，滿足題意；若，則對(duì)稱軸恒成立.綜上所述，.故選D.
8.【參考答案】A
【解題思路】設(shè)，.因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，，所以方程有一正根一負(fù)根，即函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且為異號(hào)零點(diǎn).由題意可得，，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是方程的根，則，即，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選A.
9.【參考答案】ACD
【解題思路】由圖象可得，，，故，代入點(diǎn)，易得，所以.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值，即直線為函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故A正確；由對(duì)稱性可知，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；為奇函數(shù)，故C正確；將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象，故D正確.故選ACD.
10.【參考答案】AD
【解題思路】因?yàn)?，即，所以，所以，所以的圖象關(guān)于（0，-2）對(duì)稱，故A正確；當(dāng)時(shí)，且，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，而，所以在（0，1）上單調(diào)遞減，所以，故C錯(cuò)誤；，，所以在區(qū)間，上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間（-1，1）上，即單調(diào)遞減，，，，畫(huà)出的大致圖象如圖.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以由圖可知，的最大值為，故D正確.故選AD.
11.【參考答案】ACD
【解題思路】令，得；令，得.因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，則，故A正確；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以為偶函數(shù)，則求不出，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所?又，所以，則關(guān)于中心對(duì)稱.因?yàn)?，所以結(jié)合函數(shù)圖象平移可得，關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C正確；由為偶函數(shù)，點(diǎn)為對(duì)稱中心，得的周期為2，且，.又，所以，所以.因?yàn)椋?，所以，故D正確.故選ACD.
12.【參考答案】
【解題思路】由題意知，，所以.
13.【參考答案】
【解題思路】設(shè)小萬(wàn)從這8道題中任選1道題且作對(duì)為事件，選到能完整做對(duì)的4道題為事件，選到有思路的3道題為事件，選到完全沒(méi)有思路的題為事件，則，，.由全概率公式，得.
14.【參考答案】
【解題思路】因?yàn)?，所以?因?yàn)椋?，所?因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，，，所以.又因?yàn)?，所以，所?
15.解：（1）列聯(lián)表如下：
零假設(shè)為：學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)建?！边x修課的興趣度與性別無(wú)關(guān)，
……5分
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)建?！边x修課的興趣度與性別無(wú)關(guān).……6分
（2）由題意可知，的取值可能為0，1，2，3，……7分
則，，，，……11分
故的分布列如下：
.……13分
16.（1）證明：因?yàn)?，，，即?br>所以，即.
因?yàn)槠矫妫矫?，面面，所以，…?分
所以.因?yàn)?，?br>所以平面，所以.……6分
（2）解：因?yàn)榈酌妫?，底面?br>所以，.
又，
所以，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以，所在的直線為，軸，過(guò)點(diǎn)作的平行線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.令，則
，，，，，，，.
設(shè)平面的法向量為，
所以即
令，則，，所以.……9分
設(shè)平面的法向量為，
所以即
令，則，，所以.……11分
因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，二面角為銳角，
所以，解得，所以.……15分
17.解：（1）由正弦定理可知，，
所以，
所以，即.
由余弦定理，所以.……4分
（2）因?yàn)?，所以等?hào)兩邊同時(shí)平方可得，.
又由（1）知，所以，即，所以，
所以的周長(zhǎng)為.……7分
（3）由正弦定理可得，，即，
，即.
因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和為，且，所以，
所以.……11分
（可以有多種表達(dá)形式，化簡(jiǎn)正確都得分）
，記，
令，
則.
因?yàn)樵谥?，所以，所以?br>所以當(dāng)時(shí)，恒成立.
當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，
則，所以.……15分
18.解：（1）由題意可知，直線的斜率必存在.當(dāng)垂直于軸時(shí)，點(diǎn)，，此時(shí)，即，所以拋物線的方程為.……5分
（2）設(shè)直線的方程為，，.
聯(lián)立得，所以，，則.
將代入直線，得，則的中點(diǎn).
因?yàn)椋?，則直線的方程為，即.
同理可得，直線的方程為，所以，
，所以.因?yàn)?，則，所以，此時(shí)，，所以直線的方程為，代入，得，所以，所以.……10分
（3）由（2）知，，，所以直線的方程為，代入，得，所以，所以為的中點(diǎn).
因?yàn)閽佄锞€在點(diǎn)處的切線斜率，所以拋物線在點(diǎn)處的切線平行于.
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.
因?yàn)橹本€的方程為，
所以.
又到直線的距離，所以.
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，
所以，
所以四邊形的面積的最小值為3.……17分
19.（1）解：當(dāng)時(shí)，恒成立，
即恒成立，只需即可.
令，，則.
令，，則，
當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞增，所以，
所以在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，即實(shí)數(shù)的最大值為2.……5分
（2）證明：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，
所以，即在上單調(diào)遞增.
又，，且，所以不妨設(shè).
要證，即證明.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即證.
因?yàn)?，即證.
設(shè)
，，
令，，則，.
因?yàn)椋?，即在?，1）上單調(diào)遞增，
所以，即，
所以成立，所以.……11分
（3）證明：由（2）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且.
由，得，即.
令，則，即，
所以，，，，，
相加得.……17分
感興趣
不感興趣
合計(jì)
男生
12
女生
5
合計(jì)
30
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
題號(hào)
題型
分值
難度預(yù)估
內(nèi)容
具體內(nèi)容
1
單項(xiàng)選擇題
5
0.95
集合
集合運(yùn)算
2
單項(xiàng)選擇題
5
0.9
向量
數(shù)量積
3
單項(xiàng)選擇題
5
0.8
三角函數(shù)
誘導(dǎo)公式、倍角公式
4
單項(xiàng)選擇題
5
0.75
正態(tài)分布
正態(tài)分布
5
單項(xiàng)選擇題
5
0.7
向量
投影向量
6
單項(xiàng)選擇題
5
0.7
三角函數(shù)
三角函數(shù)圖象分析
7
單項(xiàng)選擇題
5
0.5
函數(shù)性質(zhì)
函數(shù)奇偶性及單調(diào)性分析
8
單項(xiàng)選擇題
5
0.4
不等式
不等式
9
多項(xiàng)選擇題
6
0.8
三角函數(shù)
正弦函數(shù)圖象特點(diǎn)分析
10
多項(xiàng)選擇題
6
0.5
函數(shù)
三次函數(shù)圖象分析
11
多項(xiàng)選擇題
6
0.3
函數(shù)性質(zhì)
函數(shù)奇偶性、對(duì)稱、周期性分析
12
填空題
5
0.8
復(fù)數(shù)
復(fù)數(shù)計(jì)算
13
填空題
5
0.5
概率
概率計(jì)算
14
填空題
5
0.3
函數(shù)
數(shù)列及函數(shù)零點(diǎn)
15（1）
解答題
6
0.8
概率統(tǒng)計(jì)
檢驗(yàn)
15（2）
解答題
7
0.7
分布列
16（1）
解答題
3
0.8
立體幾何
線線垂直證明
16（2）
解答題
4
0.7
二面角
17（1）
解答題
4
0.7
解斜三角形
正余弦定理應(yīng)用
17（2）
解答題
5
0.6
解斜三角形求周長(zhǎng)
17（3）
解答題
6
0.4
解斜三角形求面積
18（1）
解答題
5
0.6
解析幾何
拋物線方程
18（2）
解答題
6
0.6
切線問(wèn)題
18（3）
解答題
6
0.4
四邊形面積
19（1）
解答題
5
0.7
導(dǎo)數(shù)
函數(shù)恒成立問(wèn)題
19（2）
解答題
6
0.5
利用函數(shù)單調(diào)性證明自變量大小
19（3）
解答題
6
0.3
數(shù)列不等式證明
感興趣
不感興趣
合計(jì)
男生
12
4
16
女生
9
5
14
合計(jì)
21
9
30
0
1
2
3

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