1．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
2．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知命題，命題，則（ ）
A．和均為真命題B．和均為真命題
C．和均為真命題D．和均為真命題
4．PM2.5是空氣質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，我國(guó)PM2.5標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即PM2.5日均值在以下空氣質(zhì)量為一級(jí)，在之間空氣質(zhì)量為二級(jí)，在以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).如圖是某地11月1日到10日PM2.5日均值（單位：）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，則下列敘述不正確的是（ ）
A．這10天中PM2.5日均值的極差是52
B．從5日到9日，PM2.5日均值逐漸降低
C．從這10天的日均PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽出一天的數(shù)據(jù)，空氣質(zhì)量為一級(jí)的概率是
D．這10天的PM2.5日均值的中位數(shù)是45
5．若，，，則ab的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．1D．2
7．生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），與死亡年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為（其中為常數(shù)），大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．若2021年某遺址文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的，則可推斷該文物屬于（ ）
參考數(shù)據(jù)：
參考時(shí)間軸：
A．戰(zhàn)國(guó)B．漢C．唐D．宋
8．已知直角的斜邊長(zhǎng)為2，若沿其直角邊所在直線為軸，在空間中旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓錐，則該圓錐體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
9．曉余每天9:00上班，17:30下班.若曉余從家到公司所需時(shí)間（單位:分鐘）服從正態(tài)分布，從公司到家所需時(shí)間（單位:分鐘）服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的是（ ）
（參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量，則）
A．若曉余8:36從家出發(fā)去公司，則曉余遲到的概率大于0.02
B．若曉余8:42從家出發(fā)去公司，則曉余不遲到的概率小于0.2
C．若曉余17:40從公司出發(fā)回家，則曉余18:00后到家的概率小于0.97
D．若曉余17:30從公司出發(fā)回家，則曉余18:00前到家的概率大于0.8
10．已知，則（ ）
A．B．，使
C．，使D．在上單調(diào)遞增
11．已知函數(shù)的定義域均為的圖象關(guān)于對(duì)稱，是奇函數(shù)，且，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A．B．
C．D．
12．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則 ．
13．過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線，都相切，則實(shí)數(shù) ．
14．已知函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，且函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
15．（13分）已知函數(shù)．
(1)若，求函數(shù)的對(duì)稱中心；
(2)若在定義域上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的最小值．
16．（15分）如圖，在三棱柱中，平面，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，上的動(dòng)點(diǎn)，且．
(1)求證：；
(2)若平面與平面的夾角的余弦值為，求．
17．（15分）為了檢測(cè)A、B兩種型號(hào)的抗甲流病毒疫苗的免疫效果，某醫(yī)療科研機(jī)構(gòu)對(duì)100名志愿者注射A型號(hào)疫苗，對(duì)另外100名志愿者注射B型號(hào)疫苗，一個(gè)月后，檢測(cè)這200名志愿者他們血液中是否產(chǎn)生抗體，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：
(1)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為A型號(hào)疫苗比B型號(hào)疫苗效果好?
(2)志愿者中已產(chǎn)生抗體的不用接種第二針，沒(méi)有產(chǎn)生抗體的志愿者需接種原型號(hào)抗甲流病毒疫苗第二針，且第二針接種型號(hào)疫苗后每人產(chǎn)生抗體的概率為，第二針接種B型號(hào)疫苗后每人產(chǎn)生抗體的概率為，用樣本頻率估計(jì)概率，每名志愿者最多注射兩針．現(xiàn)從注射A、B型號(hào)抗甲流病毒疫苗的志愿者中各隨機(jī)抽取1人，X表示這2人中產(chǎn)生抗體的人數(shù)，求X分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：（其中）
18．（17分）動(dòng)點(diǎn)到直線與直線的距離之積等于，且．記點(diǎn)M的軌跡方程為．
(1)求的方程；
(2)已知點(diǎn)，直線交于點(diǎn)A，B，上是否存在點(diǎn)C滿足為的重心？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
19．（17分）已知函數(shù)定義域?yàn)?，，若，，?dāng)時(shí)，都有．則稱為在上的“Ω點(diǎn)”．
(1)設(shè)函數(shù)．
（i）當(dāng)時(shí)，求在上的最大“Ω點(diǎn)”；
（ii）若在上不存在“Ω點(diǎn)”，求a的取值范圍；
(2)設(shè)，且，．證明：在D上的“Ω點(diǎn)”個(gè)數(shù)不小于．
二、選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,有選錯(cuò)的得0分,部分選對(duì)的得部分分.
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
疫苗
抗體情況
有抗體
沒(méi)有抗體
A型號(hào)疫苗
80
20
B型號(hào)疫苗
75
25
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
參考答案：
1．D
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解即得.
【詳解】依題意，，
所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.
故選：D.
2．C
【分析】用列舉法表示集合，結(jié)合交集的概念即可得解.
【詳解】若，則是4的正因數(shù)，而4的正因數(shù)有1，2，4，
所以，
因?yàn)椋?br>所以.
故選：C
3．B
【分析】根據(jù)全稱命題和特稱命題的定義，結(jié)合特例法、全稱命題和特稱命題的否定的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，，所以為假命題，則為真命題；
對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，，所以為真命題，則為假命題；
綜上，和均為真命題.
故選：B
4．D
對(duì)于D：這10天的數(shù)據(jù)從小到大依次為：30、32、33、34、45、49、57、58、73、82，
故中位數(shù)為，故D錯(cuò)誤；
故選：D.
5．D
【分析】根據(jù)題意利用基本不等式可得，以為整體，解一元二次不等式即可.
【詳解】因?yàn)?，，由基本不等式可得?br>即，解得或（舍去），即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故ab的取值范圍是．
故選：D．
6．A
【分析】構(gòu)造函數(shù)并探討奇偶性，由有唯一零點(diǎn)求出，再驗(yàn)證即可.
【詳解】令函數(shù)，其定義域?yàn)镽，
，函數(shù)為偶函數(shù)，
由函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，得有唯一零點(diǎn)，
因此，即，解得，，
當(dāng)時(shí)，，
令函數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，
所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)，.
故選：A
7．A
【分析】根據(jù)給定條件可得函數(shù)關(guān)系，取即可計(jì)算得解.
【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，而與死亡年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為，
則有，解得，于是得，
當(dāng)時(shí)，，于是得：，解得，
由得，對(duì)應(yīng)朝代為戰(zhàn)國(guó)，
所以可推斷該文物屬于戰(zhàn)國(guó).
故選：A
8．C
【分析】利用勾股定理與錐體體積公式可得，構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得其最大值.
【詳解】由題意，設(shè)內(nèi)角所對(duì)的邊為，則有，
則該圓錐的體積，
設(shè)，則，
故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以.
故選：C.
9．ABD
【分析】利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性及參考區(qū)間概率值求解可得.
【詳解】A項(xiàng)，曉余8:36從家出發(fā)去公司遲到即上班時(shí)間超過(guò)24分鐘，
由服從正態(tài)分布，
所以，故A正確；
B項(xiàng)，曉余8:42從家出發(fā)去公司不遲到即上班時(shí)間不超過(guò)18分鐘，
所以，故B正確；
C項(xiàng)，曉余17:40從公司出發(fā)回家，18:00后到家即下班時(shí)間超過(guò)20分鐘，
由服從正態(tài)分布，
所以，故C錯(cuò)誤；
D項(xiàng)，曉余17:30從公司出發(fā)回家18:00前到家即下班時(shí)間小于30分鐘，
，
，故D正確.
故選：ABD.
10．AC
【分析】對(duì)于A，代入化簡(jiǎn)即可；對(duì)于B，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；對(duì)于C，D利用基本不等式求解即可，要注意等號(hào)是否能取到.
【詳解】對(duì)于A，，，故A正確.
對(duì)于的定義域?yàn)椋?br>令，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以1即，
在單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在，使；
當(dāng)x>0時(shí)，，
由B知，，等號(hào)取不到，故不存在，使，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)x>0時(shí)，，此時(shí)不存在，使；
當(dāng)時(shí)，，
，則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?br>所以，使得即，
所以存在，使，故C正確.
故答案為：AC
11．ACD
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于軸對(duì)稱，故，A正確；B選項(xiàng)，由奇函數(shù)性質(zhì)得到，故，B錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)，由題目條件得到，結(jié)合得到，故，推出，得到周期，賦值法得到，，并利用周期求出.
【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)榈膱D象關(guān)于對(duì)稱，所以關(guān)于軸對(duì)稱，
故是偶函數(shù)，則，故A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，故B錯(cuò)誤；
CD選項(xiàng)，由得，
又，所以，又，
即，即，則，
所以，所以①，
即②，
②-①得，所以函數(shù)的周期為4，
令，由，得，
再令，則，所以，
又，由，
所以
，故C，D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】函數(shù)的對(duì)稱性：
若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，
若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，
函數(shù)的周期性：設(shè)函數(shù)，，，．
（1）若，則函數(shù)的周期為2a；
（2）若，則函數(shù)的周期為2a；
（3）若，則函數(shù)的周期為2a；
（4）若，則函數(shù)的周期為2a；
（5）若，則函數(shù)的周期為；
（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；
（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；
12．63
【分析】先由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合題意求出，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，
解得，所以.
故答案為：63.
13．
【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合兩點(diǎn)式斜率公式列式即可求解.
【詳解】設(shè)直線l與曲線相切于點(diǎn)，
由，得，
所以曲線在處的切線的斜率為，
所以，得，即，解得，
所以曲線在處的切線為，即直線的方程為，
設(shè)直線l與曲線相切于點(diǎn)，
由，得，
所以曲線在處的切線的斜率為，
所以，解得.
故答案為：.
14．【分析】利用函數(shù)是上的減函數(shù)求出的范圍，再在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)和函數(shù)的圖象，根據(jù)方程的根的個(gè)數(shù)數(shù)形結(jié)合，從而可得出答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù)，
則，解得，
函數(shù)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程恰好有兩個(gè)根，
如圖，在上方程恰好有一解，
所以在上，方程有且僅有一解，
當(dāng)即時(shí)，由，
即，，則，
解得或1（舍去），
當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；
當(dāng)即時(shí)，由圖象知符合題意.
綜上，的取值范圍是.
故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象得交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合解決.
15．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，得到，即可證明結(jié)果，由，即可求出對(duì)稱中心；
（2）由題有在上恒成立，利用基本不等式得到，即可求解.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，其中，------------------2分
，
所以，
故函數(shù)的對(duì)稱中心為． -----------------6分
（2）當(dāng)時(shí)，，其中，
因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，
又， -----------------8分
又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
得到，所以，即，
所以的最小值為． -----------------13分
16．(1)證明過(guò)程見解析
(2)
【分析】（1）證明線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出，得到垂直關(guān)系；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到，故，從而得到線面垂直，故為平面的一個(gè)法向量，結(jié)合平面的法向量，利用向量夾角余弦公式得到方程，求出，從而求出.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面?br>所以，，
又，故兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，，設(shè)，，
所以，
則，
則，
故； -----------------7分

（2），則，
則，
則，
又，平面，
所以平面，
故為平面的一個(gè)法向量，
又平面的法向量為，
則平面與平面的夾角的余弦值為
，
又平面與平面的夾角的余弦值為，
所以，解得，故. ----------------- 15分

17．(1)不能認(rèn)為型號(hào)抗甲流病毒疫苗比型號(hào)抗甲流病毒疫苗效果好
(2)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)公式求出，再對(duì)照臨界值表即可得出結(jié)論；
（2）先利用條件概率公式分別求出志愿者最多兩針接種A型號(hào)疫苗產(chǎn)生抗體和志愿者最多兩針接種B型號(hào)疫苗產(chǎn)生抗體的概率，寫出隨機(jī)變量的所有取值，求出對(duì)應(yīng)概率，即可得出分布列，再根據(jù)期望公式求出期望即可.
【詳解】（1）零假設(shè)為：兩種型號(hào)疫苗的效果沒(méi)有差異，
根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷成立，
故不能認(rèn)為型號(hào)抗甲流病毒疫苗比型號(hào)抗甲流病毒疫苗效果好； -----------------6分
（2）設(shè)事件“志愿者第一針接種A型號(hào)疫苗產(chǎn)生抗體”，
事件“志愿者第二針接種A型號(hào)疫苗產(chǎn)生抗體”，
事件“志愿者最多兩針接種A型號(hào)疫苗產(chǎn)生抗體”，
所以，
則， -----------------7分
設(shè)事件“志愿者第一針接種B型號(hào)疫苗產(chǎn)生抗體”，
事件“志愿者第二針接種B型號(hào)疫苗產(chǎn)生抗體”，
事件“志愿者最多兩針接種B型號(hào)疫苗產(chǎn)生抗體”，
所以，
則， -----------------8分
由題意可知，的可能取值為0，1，2，
， -----------------14分
所以分布列為
故． -----------------15分
18．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，即可代入化簡(jiǎn)求解，
（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得到韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)向量的坐標(biāo)關(guān)系可得，將其代入雙曲線方程即可求解.
【詳解】（1）根據(jù)到直線與直線的距離之積等于，可得，化簡(jiǎn)得，
由于，故，即. ----------------6分
（2）聯(lián)立與可得，
設(shè)，
則， ----------------8分
故
設(shè)存在點(diǎn)C滿足，則，
故， ----------------10分
由于在，故，
化簡(jiǎn)得，即，解得或（舍去），--14分
由于，解得且，
故符合題意，由于，故，
故,故，
故存在，使得 ----------------17分
19．(1)（i）；（ii）
(2)證明見解析
【分析】（1）（i）由題意可得對(duì)，，當(dāng)時(shí)，都有，即可結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性后取最大值點(diǎn)即可得；
（ii）由題意可得在時(shí)恒成立，借助導(dǎo)數(shù)分、、及討論函數(shù)單調(diào)性即可得；
（2）分“Ω點(diǎn)”個(gè)數(shù)為，及大于等于進(jìn)行討論，結(jié)合，從而得到相鄰兩個(gè)“Ω點(diǎn)”的函數(shù)值之差小于等于，即可得“Ω點(diǎn)”個(gè)數(shù)與的關(guān)系.
【詳解】（1）（i）當(dāng)時(shí)，，
則，
則當(dāng)時(shí)，f'x>0，當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，f'x

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四川省成都市石室中學(xué)北湖校區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期國(guó)慶作業(yè)（一）數(shù)學(xué)試題（Word版附答案）：

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