四川省通江中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題意的．
1. 設(shè)集合，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)交集的定義求，再由并集的定義求.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，又，
所以，
故選：C.
2. 已知A為奇數(shù)集，B為偶數(shù)集，命題，，則（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】
利用全稱(chēng)命題否定變換形式是特稱(chēng)命題，并且條件不變，結(jié)論否定即可求解.
詳解】命題，，
則，.
故選：D
3. “”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】解一元二次不等式，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.
【詳解】解：由，解得，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
4. 若函數(shù)的定義域，值域，則函數(shù)的圖像可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的概念，結(jié)合圖像逐一分析，即可得到結(jié)果.
【詳解】選項(xiàng)A，定義域?yàn)?，與條件不符，故A錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，定義域、值域均與條件相符，故B正確；
選項(xiàng)C，不符合函數(shù)的定義，在內(nèi)的任一的值，在內(nèi)并非只有唯一的值與之對(duì)應(yīng)，故C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，值域與條件不符，故D錯(cuò)誤．
故選：B．
5. 關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a的值為（）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法即可求解.
【詳解】由且不等于1，
由題意得，，解得.
故選：D.
6. 已知，則（）
A. 27B. 18C. 15D. 25
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)，利用平方公式、立方公式，集合指數(shù)冪運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以，
故選：B
7. 設(shè)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，若，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知等式判斷函數(shù)的周期，利用周期進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
所以由，
函數(shù)該函數(shù)的周期為，
，
故選：B
8. 若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意得，解不等式組即可
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則有，即
解得，
故選：C
二?多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 下列各組函數(shù)不是同一組函數(shù)的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用相等函數(shù)定義對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷得解.
【詳解】A. 定義域?yàn)?，定義域?yàn)? , 不是同一組函數(shù)
B. 定義域?yàn)?定義域?yàn)椴皇峭唤M函數(shù)
C. 定義域?yàn)?對(duì)應(yīng)關(guān)系一致 , 是同一組函數(shù)
D. 定義域?yàn)槎x域?yàn)?不是同一組函數(shù)
故選：ABD
【點(diǎn)睛】相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)．
10. 下列命題中正確的是（）
A. 函數(shù)的最小值為2
B. 函數(shù)（且）恒過(guò)定點(diǎn)
C. 已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?br>D. 若函數(shù)，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】由時(shí)可判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可判斷C，根據(jù)配湊法求函數(shù)解析式可判斷D.
【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)，，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，且，當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)（且）恒過(guò)定點(diǎn)，故B正確；
C選項(xiàng)，由得：，故函數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)椋蔆正確；
D選項(xiàng)，，且，
故，D正確.
故選：BCD.
11. 已知定義在上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則（）
A. 直線(xiàn)是的對(duì)稱(chēng)軸
B. 是的對(duì)稱(chēng)中心
C.
D. 不等式的解集為
【答案】AD
【解析】
【分析】由題意可得圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，即可判斷A，B；結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可得在上單調(diào)遞減，從而，即可判斷C；由不等式結(jié)合的對(duì)稱(chēng)性及單調(diào)性，可得，解不等式即可判斷D．
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，故A正確，B錯(cuò)誤；
又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，故C錯(cuò)誤；
由不等式結(jié)合的對(duì)稱(chēng)性及單調(diào)性，得，即，即，解得或，所以不等式的解集為，故D正確，
故選：AD．
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用待定系數(shù)法，求得函數(shù)解析式，根據(jù)冪的運(yùn)算，可得答案.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)（α為常數(shù)），∴，∴，∴，．
故答案為：.
13. 函數(shù)為奇函數(shù)，則的值為_(kāi)____．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義，由恒成立求解即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以對(duì)任意x∈?∞,0∪0,+∞，
都有.
則，
所以.
故答案為：.
14. 已知函數(shù)，若方程有8個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取范圍是___________.
【答案】
【解析】
【分析】作出函數(shù)的圖像，由圖像可得要方程有8個(gè)相異實(shí)根，則必有2相異實(shí)根，且兩根均在內(nèi)，利用根的分布知識(shí)列不等式求解即可.
【詳解】作出函數(shù)的圖像如下：
令，則，
要方程有8個(gè)相異實(shí)根，
則必有2相異實(shí)根，且兩根均在內(nèi)
則，解得
故答案為：.
四?解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．
15. 已知全集為R，集合，．
（1）求；
（2）若，且“”是“”的必要不充分條件，求a的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用交集的定義求解．
（2）利用必要不充分條件定義列出不等式組即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
∵，又，
∴．
【小問(wèn)2詳解】
∵是的必要不充分條件，
∴，
∴（等號(hào)不同時(shí)成立），解得，
∴a的取值范圍為．
16. 已知
（1）求ab的最大值；
（2）求最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式得到關(guān)于的不等式，整體換元解不等式得范圍，再分析等號(hào)取到條件即可；
（2）將條件等式轉(zhuǎn)化為積為定值的形式，再結(jié)合整體元，利用基本不等式求解最值可得.
【小問(wèn)1詳解】
由，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
令，則，即，
解得，又，則.
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
故的最大值為.
【小問(wèn)2詳解】
由，
得，且，
則
.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
故的最小值為.
17. 我縣提出了“科技強(qiáng)縣”的發(fā)展目標(biāo)，通江縣工業(yè)園區(qū)為響應(yīng)這一號(hào)召，計(jì)劃在年投資新技術(shù)，生產(chǎn)某種機(jī)器零件，通過(guò)市場(chǎng)分析，生產(chǎn)此種機(jī)器零件全年需投入固定成本萬(wàn)元，每生產(chǎn)萬(wàn)件機(jī)器零件，需另投入變動(dòng)成本萬(wàn)元，且R(x)=5x2+100x,010由市場(chǎng)調(diào)研知每件機(jī)器零件的批發(fā)價(jià)為元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的機(jī)器零件當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完．
（1）試寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn)．
（注：年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入固定成本變動(dòng)成本）
【答案】（1）L(x)=?5x2+300x?600,010
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為萬(wàn)元.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，分和兩種情況，求出的解析式，從而得解；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)與基本不等式分別求得兩段解析式的最大值，從而比較得解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槊考C(jī)器零件的批發(fā)價(jià)為元，所以萬(wàn)件機(jī)器零件的銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，
依題意得，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以L(fǎng)(x)=?5x2+300x?600,010.；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，所以；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)年產(chǎn)量為萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為萬(wàn)元.
18. 已知函數(shù).
（1）若，判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）若，且，求的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總有，使得，求的取值范圍.
【答案】（1）在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法即可得證；
（2）利用（1）中結(jié)論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，解之即可得解；
（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上的值域是在上值域的子集，再分別求出與的值域，建立不等式即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
在上單調(diào)遞增，證明如下：
任取且，
則，
因?yàn)椋瑒t，
所以，即，
故在上單調(diào)遞增.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，由（1）知在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，且，?br>所以，由于在上單調(diào)遞增，
故，即，解得或.
【小問(wèn)3詳解】
對(duì)任意，總有，使得，
則在上的值域是在上值域的子集，
因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，所以的值域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以的值域?yàn)椋?br>由，可得，解得，故；
當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意；
當(dāng)時(shí)，由在時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，
只需且，解得，故，
綜上，，即的取值范圍.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第3小問(wèn)的解決關(guān)鍵是，將問(wèn)題等價(jià)于在上的值域是在上值域的子集，從而得解.
19. 已知二次函數(shù)滿(mǎn)足，，若不等式有唯一實(shí)數(shù)解．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)在上的最小值為．
（i）求；
（ii）解不等式．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）或.
【解析】
【分析】（1）由已知得對(duì)稱(chēng)軸，從而設(shè)函數(shù)解析式為，由求得，再由不等式有唯一實(shí)數(shù)解，結(jié)合判別式求得，得解析式；
（2）（i）根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)分類(lèi)討論求得最小值；（ii）由的對(duì)稱(chēng)性，依照二次函數(shù)的知識(shí)方法分類(lèi)討論解不等式．
【小問(wèn)1詳解】
由可知對(duì)稱(chēng)軸為，
設(shè)二次函數(shù)，
又，所以，所以，
又有唯一實(shí)數(shù)解，
所以有唯一實(shí)數(shù)解，即有唯一實(shí)數(shù)解，
所以方程的判別式，所以
所以．
【小問(wèn)2詳解】
①的對(duì)稱(chēng)軸為，
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)增函數(shù)，所以；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)減函數(shù)，所以；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)減函數(shù)，在上為單調(diào)增函數(shù)，
所以；
綜上：
②由①知且關(guān)于對(duì)稱(chēng)．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，
只需，解得，
所以．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，
，，，
解得，所以或．
綜合（Ⅰ）（Ⅱ）得不等式的解集為或.

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