重慶市南開中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.
第Ⅰ卷（選擇題）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 下列說法正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷A、B；根據(jù)集合的性質(zhì)判斷C；根據(jù)集合之間的關(guān)系判斷D；
【詳解】A選項(xiàng)，不是整數(shù)，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，是無理數(shù)，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，集合元素的無序性，所以C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，是點(diǎn)集，是數(shù)集，兩者沒有包含關(guān)系，故D錯(cuò)誤.
故選：C
2. 命題“，”的否定為（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】由全稱命題的否定為特稱命題即可求解.
【詳解】命題“，”的否定為“，”，
故選：B.
3. 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)特征得到不等式，求出定義域.
【詳解】由題意得，解得且.
故選：C.
4. 函數(shù)的大致圖象是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函數(shù)奇偶性及具體點(diǎn)函數(shù)值即可判斷.
【詳解】，定義域?yàn)椋?br>故函數(shù)是偶函數(shù)，
排除選項(xiàng)A；又，排除C,D,
故選：B.
5. 設(shè)，，若，則的最小值為（）
A. 8B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意利用乘“1”法結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)椋?，?br>則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等，
所以的最小值為8.
故選：A.
6. 函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由解析式直接確定函數(shù)單調(diào)性，即可求解.
【詳解】由得定義域?yàn)椋?br>因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增；
當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>故選：C.
7. 已知函數(shù)滿足，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，，解方程即可.
【詳解】因①，
用代替①中的得：②，
則得：，解得.
故選：D.
8. 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分段函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，則函數(shù)各段均單調(diào)遞減，且左邊函數(shù)的右端點(diǎn)值大于左邊函數(shù)左端點(diǎn)值，建立不等式組，解得范圍.
【詳解】由題可知，解得，
故選：C.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.
9. 下列命題正確的有（）
A. 與是同一個(gè)函數(shù)
B. 是偶函數(shù)
C. 是單調(diào)遞減函數(shù)
D. 的單調(diào)遞增區(qū)間為
【答案】ABD
【解析】
【分析】對(duì)于A：根據(jù)函數(shù)相等分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)偶函數(shù)的定義分析判斷；對(duì)于C：舉反例說明即可；對(duì)于D：根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析判斷.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：定義域均為，且化簡(jiǎn)后解析式均為，
所以是同一個(gè)函數(shù)，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，由，解得，
可知函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且，所以是偶函數(shù)，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椋圆皇菃握{(diào)遞減函數(shù)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，由，解得，
可知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)殚_口向下且對(duì)稱軸為，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
10. 已知實(shí)數(shù)，，且滿足，則（）
A. 的最小值為9B. 的最小值為7
C. 的最大值為18D. 的最小值為1
【答案】AD
【解析】
【分析】由基本不等式可判斷A、B是否正確；由可判斷C；由可得，再由基本不等式化簡(jiǎn)計(jì)算，可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋?，令，則，解得（舍），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9，故A正確；
對(duì)于B：，令，則，解得（舍），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為6，故B不正確；
對(duì)于C：因?yàn)椋蛇x項(xiàng)A可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以有最小值18，C不正確；
對(duì)于D：由可得，，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以D正確.
故選：AD.
11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?且滿足，當(dāng)時(shí)，，，則下列結(jié)論正確的有（）
A. 是奇函數(shù)B. 在上單調(diào)遞增
C. D. 不等式的解集為
【答案】BCD
【解析】
【分析】令，求得的值，再令得到；由函數(shù)單調(diào)性的定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性；令，得到，由此遞推出；由題中等量關(guān)系化簡(jiǎn)不等式得，由函數(shù)單調(diào)性列出不等式，解的解集.
【詳解】選項(xiàng)A，令，則，則；令，則，
所以，所以不是奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B，，，且，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以fx1?x2+1>0，所以，
故在R上的單調(diào)遞增，B選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)C，令，則有，所以，，，…，，
將以上式子相加可得：，C選項(xiàng)正確；
選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以原不等式可化為?br>由選項(xiàng)C可知，所以原不等式可化為；
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以，解得，D選項(xiàng)正確.
故選：BCD.
第Ⅱ卷（非選擇題）
三、填空題：本大題3個(gè)小題，每小題5分，共15分.各題答案必須填寫在答題卡上相應(yīng)位置（只填結(jié)果，不寫過程）.
12. 已知數(shù)集，，若，則________.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論即可.
【詳解】易知，所以或，
若，即，此時(shí)，，符合題意；
若，此時(shí)，，，舍；
綜上，.
故答案為：1
13. 已知“函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)”，根據(jù)這個(gè)結(jié)論，若函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)充要條件可得是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意可知，是奇函數(shù)，
即是奇函數(shù)；
，
由，解得.
故答案為：
14. 已知關(guān)于不等式在區(qū)間有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.
【答案】
【解析】
【分析】分離參數(shù)，然后將不等式有解轉(zhuǎn)化為最值問題即可.
【詳解】法一：原不等式可化為，因?yàn)椴坏仁皆谟薪?，所以?br>令，則；
令，易知在1,2單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，所以.
法二：令，則即可；
由二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值可知，，
所以或，解得或，所以.
故答案為：
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知集合，集合，其中.
（1）當(dāng)時(shí)，求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解不等式得集合，根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可；
（2）根據(jù)交集的定義即可列不等式求解.
【小問1詳解】
對(duì)于集合，由可得，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)椋?br>所以或，解得或，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為
16. 近日，重慶市第七屆運(yùn)動(dòng)會(huì)田徑比賽在合川體育中心落下帷幕，重慶南開中學(xué)田徑隊(duì)奮勇爭(zhēng)先、頑強(qiáng)拼搏，經(jīng)過個(gè)單元的激烈比拼，創(chuàng)造了金銀銅的佳績(jī)，累計(jì)打破項(xiàng)賽會(huì)紀(jì)錄.好成績(jī)離不開平時(shí)的刻苦訓(xùn)練.根據(jù)相關(guān)研究，某一體能訓(xùn)練項(xiàng)目有助于運(yùn)動(dòng)員的肌力改善，其肌力增長(zhǎng)速度值（值越大，表示肌力增長(zhǎng)速度越快、效果越好）與訓(xùn)練時(shí)間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系如下：vt=-240t+2+120,080，滿足要求；
當(dāng)時(shí)，，解得；
故分鐘分鐘，所以進(jìn)行該項(xiàng)體能訓(xùn)練能達(dá)標(biāo).
17. 已知函數(shù)為一次函數(shù)，且對(duì)均滿足.
（1）求函數(shù)解析式；
（2）已知，，且，求的最小值.
【答案】（1）
（2）最小值為9
【解析】
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列式求即可；
（2）根據(jù)題意可得，法一：利用基本不等式可得，化簡(jiǎn)整理即可得結(jié)果；法二：利用乘“1”法結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
設(shè)，則，
可得，解得，，
所以.
【小問2詳解】
因?yàn)?，所以，即?br>法一：所以，化簡(jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，
所以，
故的最小值為9；
法二：
，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，
故的最小值為9.
18. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）判斷并用定義證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（3）記函數(shù)的最大值為，最小值為，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）單調(diào)遞減，證明見解析
（3）1或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)求出的值，再代入檢驗(yàn)即可；
（2）由（1）可得，再根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；
（3）結(jié)合（2）得在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，顯然，再分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的最值，從而得到方程，解得即可.
【小問1詳解】
因是上的奇函數(shù)，故，
當(dāng)時(shí)，，，滿足題意.
綜上知，.
【小問2詳解】
由（1）知，則在上單調(diào)遞減，
下面用定義證明：
任取且，
則
，
因?yàn)?，故，，所以，即?br>所以在上單調(diào)遞減.
【小問3詳解】
由于是上的奇函數(shù)，結(jié)合（2）得在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
顯然，
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，，
于是有，解得，舍去；
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，
，于是有，整理得，
即，解得或或（舍去）.
綜上，實(shí)數(shù)的值為或.
19. 給定函數(shù)，若實(shí)數(shù)使得，則稱為函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)，若實(shí)數(shù)使得，則稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)一定是該函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).
（1）求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)：
（2）設(shè)，，且恰好有兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)和.
（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍，
（ii），，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）不動(dòng)點(diǎn)為－2和3
（2）（i）；（ii）
【解析】
【分析】（1）令，求出或，得到答案；
（2）（i），變形得到，此方程恰好有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，分和兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出的取值范圍；
（ii）法一：在（i）知，的兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)為和1，分和兩種情況，換元，再根據(jù)對(duì)稱軸分為，，和四種情況，求出每種情況下的值域，得到不等式，求出答案；
法二：由（i）知，的兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)為和1，取，得，
解得，所以，，結(jié)合（i）知，，故，有，換元，根據(jù)對(duì)稱軸得到函數(shù)單調(diào)性，求出值域，得到不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【小問1詳解】
令，得，整理得，解得或，
經(jīng)檢驗(yàn)知均滿足要求，故函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為－2和3.
【小問2詳解】
（i）令，得，
即，得，
所以有，此方程恰好有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.
①當(dāng)，即時(shí)，方程化為，
僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不滿足題意；
②當(dāng)時(shí)，要么方程無實(shí)數(shù)解，
要么方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解為1或者.
故或或，
解得或.
綜上，當(dāng)恰好有兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
（ii）法一：由（i）知，的兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)為和1，
當(dāng)時(shí)，，故，，
于是，.
此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱軸，令.
①當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
，，故，
而，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
注意到，故，
所以當(dāng)時(shí)的值域?yàn)椋?br>即的值域?yàn)?于是由題意得，無解.
②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，
即值域?yàn)椋粷M足題意，舍去.
當(dāng)時(shí)，，故，，
于是，，此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱軸，
令.
③當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，即的值域?yàn)椋?br>于是有，解得；
④當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
，，故，
而，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
注意到，故，
所以當(dāng)時(shí)的值域?yàn)椋?br>即的值域?yàn)?于是由題意得，解得.
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
法二：由（i）知，的兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)為和1，
因?yàn)?，，故取，得?br>解得，所以，，
因?yàn)?，解得?br>由（i）知，，故，
故有，.
當(dāng)時(shí)，，令，當(dāng)時(shí)，
因，，故.
而，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
注意到，故，
所以當(dāng)時(shí)的值域?yàn)椋?br>即的值域?yàn)?
于是由題意得，解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義問題的方法和技巧：
（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；
（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹；
（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；
（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.

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