一?單選題
1. 復數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)的除法法則，化簡可得，根據(jù)共軛復數(shù)的概念，即可得答案.
【詳解】由題意得，
所以其共軛復數(shù)為.
故選：B
2. 計算的結果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】結合誘導公式，逆用兩角和的正弦公式求值即可.
【詳解】.
故選：B
3. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)，代入即可求解.
【詳解】因為，
由.
故選：D.
4. 在空間中，，，為互不重合的三條直線，，為兩個不同的平面，則（ ）
A. 對任意直線，，總存在直線，使得，
B. 對任意直線，，總存在直線，使得，
C. 對任意平面，，總存在直線，使得，
D. 對任意平面，，總存在直線，使得，
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)空間直線、平面的位置關系一一判斷.
【詳解】當直線與不平行時，不存在直線，使得，，A錯誤．
當時，，則；
當直線與相交，直線垂直于直線，所確定的平面時，即可滿足，；
當，異面，直線垂直于與直線，均平行的平面時，
即可滿足，，B正確．
當與不平行時，不存在直線，使得，，C錯誤．
當時，不存在直線，使得，，D錯誤．
故選:B.
5. 已知向量，的夾角為120°，，則（ ）
A. B. C. 7D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】由計算可得結果.
【詳解】由可得
，
所以.
故選：A
6. 將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象對應的函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則m的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的單調性，求得的取值，進而求得的最小值.
【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，
得到的圖象對應的函數(shù)的圖象，
因為在區(qū)間上單調遞減，
所以且，
解得，即，
令，可得的最小值為.
故選：D.
7. 若一個圓柱的底面直徑和高相等，表面積記為，一個球的表面積記為，，則這個圓柱跟這個球的體積之比為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設圓柱的底面半徑為，球半徑為，由題可得，即可求出體積之比.
【詳解】設圓柱的底面半徑為，則高為，設球半徑為，
，，
，，
則這個圓柱跟這個球的體積之比為.
故選：C.
8. 如圖，在正三棱錐中，下列表述不正確的是（ ）
A.
B. 當時，正三棱錐的外接球的表面積為
C. 當時，二面角的大小為
D. 若，點M，N分別為上一點，則周長的最小值為3
【答案】C
【解析】
【分析】取的中點，連接，易證平面，從而得，即可判斷A；
正三棱錐為正四面體，可放到邊長為2的正方體內，所以正三棱錐的外接球的半徑為，即可求出外接球的表面積，即可判斷B；
根據(jù)A選項，則即為所求角，令，，則，利用余弦定理即可求出，從而判斷C選項；
畫出正三棱錐的側面展開圖，即可圖像即可求出周長的最小值，從而判斷D.
【詳解】如圖，取中點，連接，
在正三棱錐中，，
，所以平面，
又因平面，
所以，故A正確；
當時，正三棱錐為正四面體，可放到邊長為2的正方體內，所以正三棱錐的外接球的半徑為，外接球的表面積為，故B正確；
當時，根據(jù)A選項，則即為所求角，令，，則，所以，故C不正確；
將側面沿展開（如圖），則周長的最小值為3，故D正確．
故選：C．
二?多選題
9. 如圖，點，，，分別是正方體中棱，，，的中點，則（ ）
A. B.
C. 直線，是異面直線D. 直線，是相交直線
【答案】BD
【解析】
【分析】首先在圖中取棱的中點，的中點，連接，，，，，，,我們證明，，，，，六點共面，進一步可以求出，從而得到答案.
【詳解】如圖，取棱的中點，的中點，連接，，，，，，，
在正方體中，∵，
∴，，，四點共面，同理可得，，，四點共面，，，，四點共面，
∴，，，，，六點共面，均在平面內，
∵，，
，，平面，
∴與是相交直線．由正方體的結構特征及中位線定理可得，
∴，即．
故選：BD．
【點睛】本題考查點、線、面的位置關系，考查了空間思維能力，屬于基礎題型
10. 已知函數(shù)，則下列關于的性質的描述正確的有（ ）
A. 關于點對稱B. 的最小正周期為
C. 在上單調遞減D. 關于直線對稱
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性?周期性?單調性等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A項：對稱中心縱坐標應為1，故A錯誤；
B項：的最小正周期：，故B正確；
C項：當時，，
所以在上單調遞減，
而，應在上單調遞增，故C錯誤；
D項：對稱軸：，即，
當時，，故D正確.
故選：BD
11. 在中，角，，所對的邊依次為，，，已知，則下列結論中正確的是（ ）
A.
B. 為鈍角三角形
C. 若，則的面積是
D. 若的外接圓半徑是，內切圓半徑為，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】由正弦定理可得，設，，，即可判斷A，利用余弦定理求出，即可判斷B，結合A求出邊，再結合B求出，最后由面積公式判斷C，首先由正弦定理求出，利用等面積法求出，即可判斷D.
【詳解】因為，
由正弦定理，可得，
設，，，
則，故A錯誤；
由題意可知，為最大角，
因為，故為鈍角，故B正確；
若，則，，，
又，所以，
所以的面積，故C正確；
由正弦定理得，，即，
由面積公式可得，
即，
所以，
所以，故，故D正確．
故選：BCD．
三?填空題
12. 已知，則的值是__________.
【答案】1
【解析】
【分析】根據(jù)，由求解.
【詳解】因為，
所以，
，
，
故答案為：1
13. 如圖所示，為了測量A、B兩島嶼的距離，小明在D處觀測到A、B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛10海里至C處，觀測B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向，則A、B兩島嶼的距離為__海里．
【答案】．
【解析】
【分析】先利用正弦定理求解AD的長，再利用余弦定理求出AB．
【詳解】由題意知∠ADB＝60°，∠ACB＝60°，∠ADC＝105°，∠ACD＝30°，CD＝10，∠BDC=45°，
在三角形ACD中，，
∴AD＝，
在直角三角形BCD中，BD＝，
在三角形ABD中，AB＝．
故答案為：．
14. 如圖，等腰直角三角形中，，，是邊上一動點（不包括端點）.將沿折起，使得二面角為直二面角，則三棱錐的外接球體積的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩平面互相垂直判斷外接球球心的位置，再由已知條件計算出球半徑表達式，即可求出體積取值范圍.
【詳解】因為是直角三角形，所以其外接圓的圓心在的斜邊上，即是該圓的直徑，
又因為平面平面，所以平面必過球心，外接球半徑即為外接圓的半徑，
設球的半徑為，球的體積為，
在中，根據(jù)正弦定理得，，
又因為，所以，
所以.
故答案為：
【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是通過兩平面垂直關系以及三棱錐的底面為直角三角形判斷出球心的位置，判斷球心在平面上，得出球心為外接圓的圓心，再求出的取值范圍即可解決問題.
四?解答題
15. 已知向量.
（1）若單位向量與共線，求向量的坐標；
（2）若與垂直，求的值.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)單位向量的定義，結合共線向量的坐標運算公式求解即可；
（2）根據(jù)向量平方和數(shù)量積的坐標運算公式進行計算即可.
【小問1詳解】
因為兩向量共線，是單位向量，
所以設，
得到解得或
得或.
【小問2詳解】
因為與垂直，
所以，而，
即，
解得.
16. 某校為了了解學生每周參加課外興趣班的情況，隨機調查了該校1000名學生在2023年最后一周參加課外興趣班的時長（單位：分鐘），得到如圖所示的頻率分布直方圖．若直方圖中，時長落在區(qū)間內的人數(shù)為200．
（1）求出直方圖中的值；
（2）估計樣本時長的中位數(shù)（精確到0.1）和平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）；
（3）從參加課外興趣班的時長在和的學生按照分層抽樣的方法隨機抽取6人進行問卷調查，求各層中被抽到的人數(shù).
【答案】（1）
（2）中位數(shù)為，平均數(shù)為
（3）時長在的抽取人，時長在的抽取人，
【解析】
【分析】（1）先求出c,再利用面積和為1求出，再結合等差數(shù)列求解；
（2）利用左右面積相等求中位數(shù)，由頻率乘組距求和得平均數(shù)；
（3）由分層抽樣確定和的人數(shù)，再利用分層抽樣確定各組的人數(shù).
【小問1詳解】
由已知可得，
則，即，
又，解得．
【小問2詳解】
因為，，
設中位數(shù)為，且，
所以，解得，即中位數(shù)為；
平均數(shù)為;
【小問3詳解】
由（1）知，按照分層抽樣隨機抽取6人中，
參加課外興趣班的時長在內的有人，
參加課外興趣班的時長在的學生有人.
17. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由降冪公式和輔助角公式化簡，結合整體法可求的單調遞增區(qū)間；
（2）化簡得，由求出范圍，再結合余弦差角公式即可求解.
【小問1詳解】
，令，
解得，
故的單調遞增區(qū)間為；
小問2詳解】
因為，所以，
，即，
所以，，
所以
.
18. 為提升城市景觀面貌，改善市民生活環(huán)境，某市計劃對一公園的一塊四邊形區(qū)域進行改造．如圖，（百米），（百米），，，，，，分別為邊，，的中點，所在區(qū)域為運動健身區(qū)域，其余改造為綠化區(qū)域，并規(guī)劃4條觀景棧道，，，以及兩條主干道，．（單位：百米）
（1）若，求主干道的長；
（2）當變化時，
①證明運動健身區(qū)域的面積為定值，并求出該值；
②求4條觀景棧道總長度的取值范圍．
【答案】（1）
（2）①證明見解析，定值；②
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理得到，根據(jù)兩角和的余弦公式和余弦定理即可求解；
（2）①設，由為中點，易知，利用余弦定理和三角形的面積公式即可求解；②設，，，利用正弦定理、余弦定理和換元法即可求解．
【小問1詳解】
因為，
所以在直角中，，
所以，
又因為，
所以在等腰直角中，，
所以
，
所以在中，
，
所以，即主干道的長為百米；
【小問2詳解】
①設，由為中點，得，
故，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
因為，，所以，
所以，
所以
，為定值；
②設，，，
因為，，分別為邊，，的中點，
所以，
所以，
在中，由余弦定理得，
由正弦定理，
得，
因為，，為邊的中點，所以，
在中，，
由余弦定理得
，
在中，，
由余弦定理得
，
令，
因為，，，
所以，
令，在上單調遞增，，
，
所以的取值范圍為．
【點睛】方法點睛：對于幾何圖形中的多條線段的和的取值范圍問題，我們可以利用正弦定理和余弦定理，將邊的問題轉化為角的問題，利用三角公式來變形求范圍.
19. 如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，D，E分別是線段的中點，在平面內的射影為D.

（1）求證：平面；
（2）若點F為棱的中點，求三棱錐的體積；
（3）在線段上是否存在點G，使二面角的大小為，若存在，請求出的長度，若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）通過幾何圖形的性質證明，即可；
（2）利用平面，并結合三棱錐的體積公式計算即可；
（3）根據(jù)二面角的定義結合（1）作出其平面角，解三角形即可.
【小問1詳解】
如圖所示，連接，

由題意可知平面ABC，四邊形是菱形.
平面ABC，，
又D是AC中點，是正三角形，，
又平面，平面，
平面，，
在菱形中，有，
而D，E分別是線段中點，則，所以，
平面，平面；
【小問2詳解】
如圖所示，

由（1）可知，，平面，
為三棱錐的高，
，，
又在平面內的射影為，
，則，，
，則，
為直角三角形，
，
【小問3詳解】
如圖，假設存在G點滿足題意，取的中點S，連接，

過G作交于M，連接MD，
易得，平面，平面，故平面，
又結合（1）的結論有，故二面角為，
所以，
如圖，在菱形中，作，

易得，
則，
易知為直角三角形，故.
【點睛】思路點睛：本題立體幾何的求解可從以下方面入手：
（1）證明線面垂直，要在該平面內找兩條相交直線與已知直線垂直即可；
（2）第二問關鍵在于求三棱錐的高，通過構造線面垂直來轉化；
（3）另一個關鍵在于求二面角的平面角，結合（1）的結論找出垂直關系解三角形即可.

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