四川省內(nèi)江市資中縣球溪高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試（火箭班）數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考生注意：
1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答
題紙上．
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用 2B 鉛筆把答題紙上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如
需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．寫在本試卷上無效．回答非選擇題時，將
答案寫在答題紙上．寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷與答題卡一并由監(jiān)考人員收回．
一、單項選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有
一項是符合題目要求．
1. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合，解不等式求出集合，再根據(jù)集合交集的定義求解即可.
【詳解】因為，所以，所以，
又，所以 .
故選：B.
2. 已知函數(shù) 有且僅有 3 個零點，則的最大值為（）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由題可得函數(shù)為奇函數(shù)，在上有且只有 1 個零點，然后利用零點存在定理可得
不合題意，當(dāng) 時利用數(shù)形結(jié)合可得適合題意，進(jìn)而即得答案.
【詳解】因為
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所以，
故為奇函數(shù)，且為的零點，所以在上有且只有 1 個零點，
又，，，
故零點均位于區(qū)間內(nèi)，
當(dāng) 時，，，故存在使得，
又，故存在使得，
所以在上至少存在兩個零點，故不符合題意；
當(dāng) 時，由，可得，
作出函數(shù) 與函數(shù) 的大致圖象，
由圖形可知函數(shù) 與函數(shù) 的有 3 個交點，即函數(shù) 有且僅有 3
個零點，適合題意，
所以的最大值為 4.
故選：C．
3. 已知，且，則“ ”是“函數(shù) 在上單調(diào)遞增”
的（）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
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【分析】先由在 R 上單調(diào)遞增求得的取值范圍，再利用充分條件，必要條件的定義即得.
【詳解】由在上單調(diào)遞增，得，解得，
故“ ”是“函數(shù) 在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.
故選：A.
4. 數(shù)學(xué)上用“ ”表示連乘運算，例如： .設(shè)函數(shù) ，
記，，則使成立的 m 的最小值為（）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件求得的表達(dá)式，然后根據(jù)
，利用對數(shù)運算等知識求得正確答案.
【詳解】，
，
，
，即，
解得或，
又，所以使成立的 m 的最小值為 9.
故選：B.
5. 函數(shù) 的大致圖象是（）
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A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出函數(shù)的定義域，即可判斷 B、D，再根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性排除 C.
【詳解】函數(shù) ，令，解得，
所以函數(shù) 定義域為，故排除 B、D；
當(dāng) 時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故排除 C.
故選：A
6. 設(shè) 的外心為，重心為，并且滿足，則當(dāng) 最大時，
的外接圓半徑為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)外接圓半徑為，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律結(jié)合重心的性質(zhì)與二倍角的余弦公式得
，再利用導(dǎo)數(shù)求出極大值點即可.
【詳解】設(shè)外接圓半徑為，
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則根據(jù)重心向量公式有，
則
，
令，此時，
當(dāng) 時，，此時單調(diào)遞增；
當(dāng) 時，，此時單調(diào)遞減；
故當(dāng) 最大時，的外接圓半徑為 .
故選；D
7. 已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng) 時，，則方程
實數(shù)根的個數(shù)為（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求出的解析式，進(jìn)而解方程即可.
【詳解】因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，
當(dāng) 時，，，
當(dāng) 時，，，
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綜上，
當(dāng) 時，令無解；當(dāng) 時，令解得；
當(dāng) 時，令無解；當(dāng) 時，令解得；
當(dāng) 時，令，解得，
綜上實數(shù)根的個數(shù)為個，
故選：C
8. 函數(shù) 的部分圖象大致為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，再證明當(dāng) 時，，由此確定正確選項.
【詳解】函數(shù) 定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，
因為，
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，
所以函數(shù) 為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，
當(dāng) 時，，，故，
選項 ABD 都不同時符合以上所有特征，選項 C 符合以上特征，
故函數(shù) 的部分圖象大致為選項 C 的圖象.
故選：C.
二、多項選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分，在每小題給出的四個選項中，有多
項符合題目要求，全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分．
9. 下列說法正確的是（）
A. 函數(shù) （且）的圖象恒過定點
B. 函數(shù) 與表示同一個函數(shù)
C. 函數(shù) 的最小值為 3
D. 若關(guān)于 x 的不等式的解集為或，則
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得定點判斷 A，根據(jù)同一函數(shù)的概念判斷 B，根據(jù)基本不等式的應(yīng)用條件判
斷 C，根據(jù)二次不等式的解集及韋達(dá)定理求解即可判斷 D.
【詳解】對于 A，因（且）恒過定點，故函數(shù) 的圖象恒過定點
，故 A 正確；
對于 B，函數(shù) 與的定義域為，
且，，故它們?yōu)橥粋€函數(shù)，故 B 正確；
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對于 C，，
當(dāng)且僅當(dāng) 時取等號，但方程無解，等號不成立，故 C 錯誤；
對于 D，依題意關(guān)于 x 的方程有兩根為和 2，故必有
解得所以，故 D 錯誤．
故選：AB
10. 下列選項正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于 A，利用作差法即可判斷；對于 B，利用指數(shù)運算即可判斷；對于 C，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，
并借助中間量 1，即可判斷；對于 D，利用指數(shù)、對數(shù)的運算及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷.
【詳解】對于 A，因為，
所以，故 A 錯誤；
對于 B，因為，所以，即，故 B 正確；
對于 C，因為，，
所以，故 C 正確；
對于 D，因為，
又，所以，即，
所以，即，故 D 正確.
故選：BCD.
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11. 在天文觀測中，某恒星的亮度隨時間，單位：百年）的變化曲線可以用函數(shù)
來描述．觀測發(fā)現(xiàn)在和時，該恒星的亮度均為，而
在時，恒星處于最亮狀態(tài)，則下列說法正確的有（）
A. 在區(qū)間內(nèi)，恒星亮度變化曲線的對稱軸一定是奇數(shù)條
B. 在區(qū)間內(nèi)，恒星的亮度為的次數(shù)一定是偶數(shù)次
C. 在區(qū)間內(nèi)，恒星達(dá)到最暗的次數(shù)一定是奇數(shù)次
D. 在區(qū)間內(nèi)，恒星達(dá)到最暗的次數(shù)一定是偶數(shù)次
【答案】BC
【解析】
【分析】對取特殊即可排除 A 選項和 D 選項；由三角函數(shù)的對稱性及最值判斷 B 選項和 C 選項；
【詳解】當(dāng) 時，在區(qū)間內(nèi)恒星亮度變化曲線有 2 條對稱軸，故 A 錯誤；
由于時，恒星處于最亮狀態(tài)，即函數(shù) 取最大值，
可解得，故，則是函數(shù) 的對稱軸，
區(qū)間關(guān)于對稱，故恒星的亮度為的次數(shù)一定是偶數(shù)次，B 正確；
因為當(dāng) 和時，該恒星的亮度均為，且時恒星處于最亮狀態(tài)，，
故，則，即時取最小值，
在內(nèi)，恒星達(dá)到最暗的次數(shù)一定是偶數(shù)次，
在內(nèi)，由于區(qū)間關(guān)于對稱，且時取最小值，故恒星達(dá)到最暗的次數(shù)一定是奇數(shù)次，
故在區(qū)間內(nèi)，恒星達(dá)到最暗的次數(shù)一定是奇數(shù)次，故 C 正確；
當(dāng) 時，，在區(qū)間內(nèi)恒星達(dá)到最暗的次數(shù)只有 1 次，故 D 錯誤．
故選：BC．
【點睛】方法點睛，本題重點考查的內(nèi)容是三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)，通過三角函數(shù)的最值及對稱性來解決
本題.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
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12. 已知某個扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的半徑為__________.
【答案】2
【解析】
【分析】將圓心角轉(zhuǎn)化為弧度制后借助弧長公式計算即可得.
【詳解】 rad，故 .
故答案為：2.
13. 若函數(shù) 有且僅有兩個零點，則實數(shù) b 的一個取值為______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根據(jù)零點概念對兩段進(jìn)行計算，分析，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得解.
【詳解】令，當(dāng) 時，由 0，得，即為函數(shù) 的一個零點，
故當(dāng) 時，有一解，即有一解，得 .則 .
故答案為：（答案不唯一, 都可以）.
14. 設(shè) 函數(shù) 的定義域為為的導(dǎo) 函數(shù) ，，則
_______．
【答案】89
【解析】
【分析】由題設(shè)可得，進(jìn)而有且，即可求目標(biāo)
函數(shù)的值.
【詳解】由，則，
所以，則，即，且，
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則
．
故答案為：89
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. （1）如圖，陰影部分表示角的終邊所在的位置，試寫出角的集合.
（2）已知，求的值;
（3）已知，且，求的值.
【答案】（ 1） ① ， ②
；
（2）；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根據(jù)任意角的概念和陰影部分表示的角，數(shù)形結(jié)合求出答案；
（2）利用齊次化求出，再利用齊次化化簡，代入求值即可；
（3）兩邊平方，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求出，平方求出
，并根據(jù) ，得到，，求出
.
【詳解】（1）①
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，
② ；
（2），故，
解得，
；
（3）兩邊平方得，
故，所以，
，
因，所以，
由于，故，
所以，故 .
16. 已知集合 .
（1）若 A 中有且僅有 1 個元素，求實數(shù) m 的值；
（2）若，求實數(shù) m 的取值范圍.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）分類討論當(dāng) 、時方程根的個數(shù)，即可求解；
（2）求得集合，分、結(jié)合的情況討論方程的解的情況，可求實數(shù) m 的
取值范圍.
【小問 1 詳解】
若，方程化為，此時方程有且僅有一個根；
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若，則當(dāng)且僅當(dāng)方程的判別式，即時，
方程有兩個相等的實根，此時集合中有且僅有一個元素，
所以實數(shù) m 的值為或；
【小問 2 詳解】
，
因為，所以，
由（1）知時，，不符合，
當(dāng) 時，若，解得，此時，符合，
若，解得，此時方程的根為，
集合，符合，
若，由，則可得，
此時有且，無解，
綜上所述：實數(shù) m 的取值范圍為 .
17. 已知函數(shù) ．
（1）求的最小值；
（2）若，求實數(shù) 的取值范圍．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式的性質(zhì)，利用取等條件，得到答案.
（2）利用函數(shù)單調(diào)性，得到不等式進(jìn)行計算，得到答案.
【小問 1 詳解】
，
當(dāng)且僅當(dāng) 即時取等號，故的最小值為 2，
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【小問 2 詳解】
易知在上單調(diào)遞增，
因為，故，
整理得，即，解得，
故所求．
18. 漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為，為了保證魚群的生長空間，實際養(yǎng)殖量小于，以便留出適當(dāng)?shù)?br>空閑量．已知魚群的年增長量和實際養(yǎng)殖量與空閑率（空閑率是空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值）
的乘積成正比，比例系數(shù)為．
（1）寫出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求魚群年增長量 y 的最大值；
（2）當(dāng)魚群年增長量 y 達(dá)到最大值時，求實數(shù) k 的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出空閑率，即可得到 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法可求得魚群年增量的最大
值；
（2）由題意得，即，結(jié)合，即可得到結(jié)果.
【小問 1 詳解】
由題意，空閑率為，
關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式是：，
，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng) 時，．
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【小問 2 詳解】
由（1）知,當(dāng)魚群年增長量 y 達(dá)到最大值時，，
由題意有，即，
，
又，的取值范圍為．
19. 已知函數(shù) .
（1）討論函數(shù) 的奇偶性；
（2）記，若與在有兩個互異的交點，交點橫坐標(biāo)分別為，且
，求證： .
【答案】（1）時，為偶函數(shù)；時，為非奇非偶函數(shù)；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇偶性的定義，結(jié)合函數(shù)解析式，討論時，的關(guān)系，即可判斷；
（2）求得在上解析式，并分析其單調(diào)性，結(jié)合題意，求得的范圍以及之間的
關(guān)系；
再對要證明的目標(biāo)式進(jìn)行消元和等價轉(zhuǎn)化，只需證明即可，最后根據(jù) 的范圍，即可
證明.
【小問 1 詳解】
易知定義域為，關(guān)于原點對稱；
又，故，
故當(dāng) 時，，為偶函數(shù)；
當(dāng) 時，，且，故此時為非奇非偶函數(shù).
小問 2 詳解】
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，
令，且，解得；令，且，解得，故
，
當(dāng) 時，均單調(diào)遞減，
故也單調(diào)遞減；
當(dāng) 時，單調(diào)遞增；
故與在有一個交點，在有一個交點；
故，，
則，，且；
故，；
又因為，且，則；
要證，即證：，
只需證，
即證，
也就是證，
就是證，
即證；
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又因為，，，故，故 .
故
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題第二問的關(guān)鍵，一是能夠找到的范圍，以及的關(guān)系；二是，
對要證明的不等式進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，核心是要通過消元進(jìn)行處理；屬綜合困難題.
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