命題人：游蕊艷 做題人：王章濤 游蕊艷 審題人：李魏 王章濤 游蕊艷
數(shù)學(xué)試題共 4 頁.滿分 150 分.考試時間 120 分鐘.
注意事項(xiàng)：
1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.
2.答選擇題時，必須使用 2B 鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦
擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.
3.答非選擇題時，必須使用 0.5 毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上.
4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效.
第Ⅰ卷(選擇題，共 58 分)
一、單選題（本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)
符合題目要求）．
1. 已知向量 ， .若 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)向量垂直的充要條件，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解即可.
【詳解】因?yàn)橄蛄?， ，且 ，
所以 ，解得 .
故選：C
2. 向量 ，化簡后等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量的加法與減法可化簡所得向量式.
第 1頁/共 18頁
【詳解】 .
故選：D.
3. 已知 為銳角，且 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)弦切互化可得 ，即可利用二倍角公式求解.
【詳解】由 可得 ，故 ，
所以 ，
故選：A
4. 如圖，在 中， 為 的中點(diǎn)，則 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】運(yùn)用平面向量線性運(yùn)算及共線向量關(guān)系即可求解.
【詳解】由題意知
.
故選：C.
5. 若 是方程 的兩個根，則 （ ）
第 2頁/共 18頁
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可得 ，結(jié)合兩角和與差的正、余弦公式以及切弦互化計(jì)算即可
求解.
【詳解】因?yàn)?是方程 的兩個實(shí)根，
所以 ，
則 .
故選：B
6. 如圖，摩天輪的半徑為 40m，摩天輪的中心點(diǎn) 距地面的高度為 50m，摩天輪做勻速轉(zhuǎn)動，每 36min 轉(zhuǎn)
一圈，摩天輪上點(diǎn) 的起始位置在最低點(diǎn)處.則在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，點(diǎn) 距離地面超過70m的時長為（
）
A. 10min B. 12min C. 14min D. 16min
【答案】B
【解析】
【分析】如圖，以點(diǎn) 在地面的投影 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為 軸，與 垂直的向右的方向?yàn)?br>第 3頁/共 18頁
軸建立坐標(biāo)系，設(shè) 時點(diǎn) 距離底面的高度為 ，由題意得 ，
，周期 ，求出函數(shù)解析式，令 ，解不等式繼而可求解
.
【詳解】
如圖，以點(diǎn) 在地面的投影 點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所在直線為 軸，
與 垂直的向右的方向?yàn)?軸建立坐標(biāo)系，
設(shè) 時點(diǎn) 距離底面的高度為 ，
由題意得 ， ，周期 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
可得 ，令 ，則 ，
所以 ，
令 ，即 ，
所以 ，解得 ，
令 ，則 ，
所以在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，點(diǎn) 距離地面超過 70m 的時長為 .
故選： .
第 4頁/共 18頁
7. 已知函數(shù) 滿足 ，將函數(shù) 圖象向左平移 個單
位后其圖象關(guān)于 y 軸對稱，則 的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù) ，求得 ，再根據(jù) ，確定函數(shù)的解析式，并求得平移后
的解析式 ，最后根據(jù)函數(shù)的對稱性，確定 的最小值.
【詳解】因?yàn)?，所以 ，即 ， ，
又因?yàn)?，所以當(dāng) 時， ，所以 ，將其圖象向左平移 個單位后，
所得函數(shù) ，
因?yàn)楹瘮?shù) 的圖象關(guān)于 y 軸對稱，
所以 ， ，即 ， ，
當(dāng) 時， ，所以 的最小值為 .
故選:A.
8. 在平行四邊形 中， 為 的中點(diǎn)， ， 與 交于點(diǎn) ，過點(diǎn) 的直線分別與
射線 ， 交于點(diǎn) ， ， ， ，則 的最小值為（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量基本定理，將 用 和 表示，再利用 ， ， 三點(diǎn)共線，求得
第 5頁/共 18頁
，再利用基本不等式求得最值.
【詳解】由 ， ， 共線，可設(shè) ，
由 , , 三點(diǎn)共線，故可設(shè) ，
則有 ，解得： ，
故 ，
由題意， ， ， 三點(diǎn)共線，
故可設(shè) ，
則 ，整理得 ，
故 ，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時等號成立，則 的最小值為 ；
故選：C
二、多選題（本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題
目要求，全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分）．
9. 下列式子化簡后等于 的是（ ）
A. B.
第 6頁/共 18頁
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】對于 A：根據(jù)兩家和差公式分析判斷；對于 BD：根據(jù)倍角公式分析判斷；對于 C：切化弦結(jié)合倍
角公式分析判斷.
【詳解】對于選項(xiàng) A：因?yàn)?，故 A 正確；
對于選項(xiàng) B：因 ，故 B 正確；
對于選項(xiàng) C：因?yàn)?，故 C 正確；
對于選項(xiàng) D：因?yàn)?，故 D 錯誤；
故選：ABC.
10. 是邊長為 3 的等邊三角形， ，則下列說法正確的是（ ）
A. B.
C. D. 在 上的投影向量是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算、向量的模的計(jì)算、向量數(shù)量積、向量投影等知識對選項(xiàng)分別進(jìn)行分析，由此
確定正確選項(xiàng).
【詳解】如圖：
第 7頁/共 18頁
對于 A， ．故 A 不正確；
對于 B，
所以 ，故 B 正確；
對于 C，
，故 C 正確；
對于 D， 在 上的投影向量是 ．故 D 正確．
故選：BCD.
11. 如圖是某地一天從 6 點(diǎn)到 14 點(diǎn)的氣溫變化曲線，該曲線近似滿足函數(shù)： ，
其中： .則下列說法正確的有（ ）
A. 函數(shù)的最小正周期為
B. 函數(shù)解析式為
C. 函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增
D.
第 8頁/共 18頁
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)圖象計(jì)算最小正周期可得選項(xiàng) A 錯誤；根據(jù)函數(shù)圖象逐步計(jì)算 的值可得選項(xiàng) B 正
確；利用函數(shù)的周期性可知函數(shù)在區(qū)間 上的單調(diào)性與函數(shù)在區(qū)間 上的單調(diào)性相同，結(jié)合
圖象可得選項(xiàng) C 正確；利用函數(shù)中心對稱的性質(zhì)可得選項(xiàng) D 錯誤.
【詳解】A.由函數(shù)圖象得，函數(shù)的最小正周期為 ，A 錯誤.
B. 由題意得， ，解得 .
設(shè)函數(shù) 最小正周期為 ，則 ，故 ，
由 得， ，
∴ ，
由 得， ，故 ，選項(xiàng) B 正確
C.∵ ，
∴函數(shù)在區(qū)間 上的單調(diào)性與函數(shù)在區(qū)間 上的單調(diào)性相同，
由圖象可得，函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞增，C 正確.
D. 等價于 ，
由圖可知，函數(shù) 的圖象不關(guān)于點(diǎn) 中心對稱，D 錯誤.
故選：BC.
第Ⅱ卷（非選擇題，共 92 分）
三、填空題（本大共 3 小題 ，每小題 5 分，滿分 15 分）．
12 __________.
【答案】
【解析】
第 9頁/共 18頁
【分析】由誘導(dǎo)公式計(jì)算即可．
【詳解】 ．
故答案為： ．
13. 已知向量 ， ，且 與 的夾角為銳角，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是_____.
【答案】
【解析】
【分析】利用 且 與 不共線求解.
【詳解】 ， ，則 ，
因 與 的夾角為銳角，則 ，得 ，
當(dāng) 時， ，得 ，此時 與 同向，
則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 .
故答案為：
14. 將余弦函數(shù) 的圖象向左平移 個單位，再將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?br>得到函數(shù) 的圖象，若 在區(qū)間 上恰有 1 個最小值和 3 個零點(diǎn)，則 的取值范圍
為___.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)圖像變換可得 ，再以 為整體，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)列式求解即可
.
【詳解】余弦函數(shù) 的圖象向左平移 個單位，可得 ，
第 10頁/共 18頁
再將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，可得 ，
因?yàn)?，且 ，則 ，
由題意可得： ，解得 ，
所以 的取值范圍為 .
故答案為： .
四、解答題（本題共計(jì) 5 小題，共 77 分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）.
15. 已知 ， ， 與 的夾角 .
（1）求 ；
（2）若 與 共線，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用等式 及向量的運(yùn)算律求解即可；
（2）根據(jù)共線向量定理列等式求解即可.
【小問 1 詳解】
，
【小問 2 詳解】
與 共線，
∴存在唯一實(shí)數(shù) ，使得
即 ，
第 11頁/共 18頁
又 與 不共線，∴ ，
解得
16. 已知銳角 ，且滿足 .
（1）求 ；
（2）求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及兩角和的正弦公式即可求解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，利用兩角和的余弦公式及三角函數(shù)的特殊值對應(yīng)的特
殊角即可求解.
【小問 1 詳解】
因?yàn)?為銳角， ，
所以 .
因?yàn)?， 是銳角，即 ， ，
所以 ， ，
又因?yàn)?，
所以 .
.
【小問 2 詳解】
第 12頁/共 18頁
由（1）知， ，
因?yàn)?是銳角， ，
所以 ，
由 ， ，
所以 ，
，
因?yàn)?，
所以 .
17. 已知函數(shù) 的部分圖像如圖所示.
（1）求 的解析式及對稱中心；
（2）若 ， 求 的值；
（3）若方程 在 上恰有 個不相等的實(shí)數(shù)根，求 的取值范圍.
【答案】（1） ，對稱中心：
（2） 或
（3） .
第 13頁/共 18頁
【解析】
【分析】（1）由函數(shù) 的圖像得到 和周期 ，然后求得 ，通過點(diǎn)坐標(biāo)，得到 ，即求得函數(shù)解析
式，由余弦函數(shù)的對稱中心得到函數(shù)的對稱中心；
（2）由（1）得到方程，結(jié)合題目給到的區(qū)間求得對應(yīng)的 的值；
（3）整體題中方程得 ，由 取值范圍求得 的范圍，由題意得到 最大值的
不等式，解得 的取值范圍.
【小問 1 詳解】
由函數(shù) 的圖像，可得 ，周期 ，
則 ，∴ ．
將點(diǎn) 代入函數(shù)解析式可得 ，
解得 ，∵ ，∴ ，
∴ ；
令 ，解得 ，
的對稱中心為
【小問 2 詳解】
由（1）知： ，又 ，
∴ ， ，
∴ 或
解得： 或
又∵ ，
∴ 或 .
【小問 3 詳解】
第 14頁/共 18頁
由（1）知 ，則 ，
由函數(shù) 在 上恰有 5 個零點(diǎn)，
即 在 上恰有 5 個解，
即 在 上恰有 5 個解，
∵ ，∴ ，
即函數(shù) 與 在區(qū)間 有 5 個交點(diǎn)，
由圖像知，只需 即可，解得 ，
故 .
18. 如圖，在梯形 中， ， ， ，E、F 分別為 、 的中點(diǎn)，
且 ，P 是線段 上的一個動點(diǎn)．
（1）若 ，求 的值；
（2）求 的長；
（3）求 的取值范圍．
第 15頁/共 18頁
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)，可得答案；
（2）利用同一組基底表示向量，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案；
（3）利用同一組基底表示向量，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.
【小問 1 詳解】
由 分別為 的中點(diǎn)，則 ， ，
由圖可得 ，則 ，
所以 .
【小問 2 詳解】
由（1）可知 ， ，
由 ，則 ，
，
可得 ，解得 .
【小問 3 詳解】
由圖可得 ，
，
，
第 16頁/共 18頁
由 ，則 .
19. 已知向量 ， ，其中 ，函數(shù) ，且
的圖象上兩條相鄰對稱軸的距離為 ．
（1）求函數(shù) 的解析式；
（2）求函數(shù) 在 上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若對 ，關(guān)于 的不等式 成立，求實(shí)數(shù) 的取值
范圍．
【答案】（1）
（2） ，
（3）
【解析】
【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式和三角恒等變換將其化成正弦型函數(shù)，依題求出 即得；
（2）先求出函數(shù) 在 R 上的單調(diào)遞增區(qū)間，再與給定區(qū)間求交即得；
（3）將所給不等式等價轉(zhuǎn)化，將其化成 在 恒成立問題，通過設(shè)元
，將函數(shù)化成 ， ，判斷其單調(diào)性即得 ，從而求得參數(shù) 范圍
.
【小問 1 詳解】
依題，
由題知 ， ， .
【小問 2 詳解】
由 可得 ， ，
第 17頁/共 18頁
時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ， ．
【小問 3 詳解】
因 在 恒成立，
則
化簡得 ，
即 在 恒成立
記 ，
， ， ，
又
設(shè) ，則根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)知 在 上單調(diào)遞增，
，
，即 .
故 的取值范圍為 .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于難題.解決此類題的關(guān)鍵是，根據(jù)解析式
特點(diǎn)進(jìn)行三角恒等變換，將其化成正弦型函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象解決問題；對于恒成立問題，常常尋
求參變分離法，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)的值域.
第 18頁/共 18頁

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