四川省內(nèi)江市威遠中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（命題人：第三小組）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，全卷滿分 150 分，考試時間 120
分鐘.
第Ⅰ卷（選擇題共 58 分）
選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符
合題目要求的.
1. 已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進行
處理，或者特殊值法處理.
【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量
由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，
又 .
故選：D
方法二：利用等差數(shù)列性質(zhì)
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，
，故 .
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數(shù)列公差，則，則 .
故選：D
2. 在等比數(shù)列中，，，則（）
第 1頁/共 15頁
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)運算即可.
【詳解】由題意，且，所以 .
故選：B.
3. 函數(shù) 單調(diào)遞增區(qū)間是（）
A. B. 和
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】由題設(shè)，且，
可得，所以遞增區(qū)間為 .
故選：C
4. 在等比數(shù)列{an}中，an>0，且 a1+a2=1，a3+a4=9，則 a4+a5 的值為（）
A. 16 B. 27
C. 36 D. 81
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列的基本量的運算，由，根據(jù) an>0 可得 q=3，再根據(jù)
，即可得解.
【詳解】∵a1+a2=1，a3+a4=9，
∴q2=9.
∴q=3（q=-3 舍去），
∴a4+a5=（a3+a4）q=27.
故選：B
第 2頁/共 15頁
5. 已知等差數(shù)列的公差，，，記該數(shù)列的前 n 項和為，則的最大值
為（）
A. 20 B. 24 C. 36 D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求出及通項公式，再確定所有非負數(shù)項即可得解.
【詳解】等差數(shù)列中，公差，即數(shù)列是遞減等差數(shù)列，
顯然，而，且，解得，則，
，由，得，因此數(shù)列前 9 項均非負數(shù)，從第 10 項起均為負
數(shù)，
所以的最大值為 .
故選：C.
6. 已知函數(shù) 的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用的圖象分析的正負情況，從而分類討論即可得解.
【詳解】由圖象可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng) 或時，；當(dāng) 時，；
第 3頁/共 15頁
而等價于 ①，或 ②，
由①得或，則，
由②得，則，
綜上， .
故選：B.
7. 已知數(shù)列的前項和為，且，，則的值為（）
A. 360 B. 480 C. 960 D. 1280
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定的遞推公式可得，再求出數(shù)列的前 40 項中的奇數(shù)項的和及偶數(shù)項的和
即可.
【詳解】當(dāng) n 為奇數(shù)，，，
當(dāng) n 為偶數(shù)，，，
因此，的奇數(shù)項是以 3 為首項，3 為公差的等差數(shù)列；
的偶數(shù)項是以為首項，3 為公差的等差數(shù)列，
所以
.
故選：D
8. 的導(dǎo)函數(shù)，則（）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
【答案】A
第 4頁/共 15頁
【解析】
【分析】對兩邊取對數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即可.
【詳解】對兩邊取對數(shù)，，
兩端同時求導(dǎo)可得：
所以，
所以，
故選：A
二.多選題（本題共 3 個小題，每題 6 分，有多個選項，共 18 分）
9 已知數(shù)列滿足，則（）
A. B. 的前 n 項和為
C. 的前 100 項和為 100 D. 的前 30 項和為 357
【答案】AD
【解析】
【分析】當(dāng) 時，，兩式相減可求出，檢驗滿足，可判
斷 A；由等差數(shù)列的前項和公式可判斷 B；由分組求和法可判斷 C，D.
【詳解】當(dāng) 時，，
當(dāng) 時，，
兩式相減可得：，
所以，
顯然當(dāng) 時，滿足，故，故 A 正確；
由等差數(shù)列求和公式知的前項和為，故 B 錯誤；
令，的前 100 項和為：
，故 C 錯誤；
第 5頁/共 15頁
令，
所以的前 30 項和為：
，故 D 正確.
故選：AD.
10. 已知，下列說法正確的是（）
A. 在處的切線方程為 B. 的單調(diào)遞減區(qū)間為
C. 的極大值為 D. 方程有兩個不同的解
【答案】BC
【解析】
【分析】對于 A，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解，對于 B，求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)小于零求解，對于 C，求導(dǎo)后求極值，
對于 D，函數(shù) 與的交點個數(shù)判斷
【詳解】對于 A，由（），得，，則，所以在
處的切線方程為，所以 A 錯誤，
對于 B，由，得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以 B 正確，
對于 C，由，得，當(dāng) 時，，當(dāng) 時，，所以當(dāng) 時，
取得極大值，所以 C 正確，
對于 D，由 C 選項可知的最大值為，且當(dāng) 時，，當(dāng) 時，
，所以函數(shù) 與的交點個數(shù)為 1，所以有 1 個解，所以 D 錯誤，
故選：BC
11. 已知數(shù)列滿足，則下列結(jié)論正確的有（）
A. 為等比數(shù)列
B. 的通項公式為
第 6頁/共 15頁
C. 為遞增數(shù)列
D. 的前 n 項和
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)已知證明為定值即可判斷 A；由 A 選項結(jié)合等比數(shù)列的通項即可判斷 B；作差判斷
的符號即可判斷 C；利用分組求和法即可判斷 D.
【詳解】因為，
所以 +3，所以，
又因為，
所以數(shù)列是以 4 為首項，2 為公比的等比數(shù)列，故 A 正確；
，即，故 B 正確；
因為，
因為，所以，
所以，所以為遞減數(shù)列，故 C 錯誤；
，
則，故 D 正確.
故選：ABD.
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第Ⅱ卷（非選擇題共 92 分）
三. 填空題：本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分，請把答案填在答題卡相應(yīng)位置上.
12. 已知數(shù)列的前項和為，，則 ________.
【答案】
【解析】
【分析】利用前項和與通項公式的關(guān)系求解通項公式即可.
【詳解】當(dāng) 時，，
當(dāng) 時，，
此時，不符，故 .
故答案為：
13. 曲線上的點到直線的最短距離是________．
【答案】
【解析】
【分析】求出和平行的直線和相切，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點坐標即
可得到結(jié)論.
【詳解】與平行的直線和相切，則斜率為，
因為，所以，
令，解方程得，代入直線方程得切點，
則點到直線的距離就是曲線的點到直線的最短距離，
由點到直線的距離公式知，
故答案為： .
第 8頁/共 15頁
14. 設(shè) 為數(shù)列的前項和，已知，，則 ________.
【答案】
【解析】
【分析】構(gòu)造數(shù)列，得其為常數(shù)列，進而求得，再由錯位相減法求解即可.
【詳解】由可得，
令，則，∴又，，∴
；
①，
②，
①減②得：，
∴ ，∴ .
故答案為： .
四、解答題（本大題共 5 小題，共 72 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15. 已知曲線 .
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）求過點且與曲線相切的直線方程.
【答案】（1）
（2）和 .
【解析】
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【分析】（1）“在”某點處的切線方程，求導(dǎo)，代入點斜式即可求得；
（2）“過”某點處的切線方程，設(shè)切點，結(jié)合切點在曲線上，切點在切線上，聯(lián)立方程組即可求得.
【小問 1 詳解】
，
當(dāng) 時，，
所以曲線在點處的切線方程為，即 .
【小問 2 詳解】
設(shè)切點坐標為，由（1）知切線的斜率為，
故切線方程為，
因為切線過點，所以，
即，所以或，
故過點且與曲線相切的直線有兩條，
其方程分別是和，
即和 .
16. 已知數(shù)列的前 n 項和，數(shù)列的前 n 項和．
（1）求，的通項公式；
（2）若，求的前 n 項和．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由通項公式與前 n 項和的關(guān)系，作差即可求解；
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（2）由錯位相減法即可求解；
【小問 1 詳解】
因為數(shù)列的前 n 項和，
所以當(dāng) 時，；
當(dāng) 時，，
此時滿足上式，故．
因為數(shù)列的前 n 項和，
所以當(dāng) 時，；
當(dāng) 時，
，此時滿足上式，
故．
【小問 2 詳解】
因為，
所以，
則，
兩式相減得，
化簡得．
17 已知數(shù)列，若，且．
（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項公式；
（2）若，且數(shù)列的前項和為，求．
【答案】（1）證明見解析，
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（2）
【解析】
【分析】（1）依題意可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義證明即可，求出的通項，即可
得到的通項公式；
（2）由（1）可得，則，利用裂項相消法求和即可.
【小問 1 詳解】
因為，
所以，又，所以，
所以是以為首項、為公比的等比數(shù)列，
所以，則 .
【小問 2 詳解】
由（1）可得，
所以，
所以 .
18. 已知函數(shù) ．
（1）當(dāng) 時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若，求 a 的取值范圍．
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；極大值為，無極小值；
（2）
【解析】
【分析】（1）將代入，利用導(dǎo)數(shù)的正負與原函數(shù)的增減關(guān)系，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得答案；
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（2）由題意可得即恒成立，設(shè) ，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可．
【小問 1 詳解】
當(dāng) 時，，
，
令，則，
故在上單調(diào)遞減，而，
因此 0 是在上的唯一零點，
即 0 是在上的唯一零點，
當(dāng) 變化時，，的變化情況如下表：
0
0
單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；
所以的極大值為，無極小值；
【小問 2 詳解】
由題意知，即，即，
設(shè) ，則，
令，解得，
當(dāng) ，，單調(diào)遞增，
當(dāng) ，，單調(diào)遞減，
所以，
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所以．
所以的取值范圍為．
19. 已知函數(shù) ，記，且，
（1）求，；
（2）設(shè) ，，
（?。┳C明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（ⅱ）數(shù)列的前 n 項和為，且對任意的，滿足，求的取值范圍.
【答案】（1），
（2）（?。┳C明見解析（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）利用求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)運算法則求出的導(dǎo)數(shù) ，再求的導(dǎo)數(shù)即得.
（2）（i）求得，且，由等差數(shù)列的定義可得證明；（ii）由等差數(shù)列的通項公
式和數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，可得所求和，不等式恒成立分離參數(shù)后求最大值
即可得解.
【小問 1 詳解】
函數(shù) ，，
.
【小問 2 詳解】
（i）由（1）知，，
又，可得，
而，
則，
第 14頁/共 15頁
所以數(shù)列是首項為 4，公比為 4 的等比數(shù)列，故，
則，，從而，
所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.
（ii）由（i）得，即有，
，
于是，
兩式相減得，
所以，
又對任意的，滿足，可得恒成立，
設(shè) ，
則，
當(dāng) 時，，即，
當(dāng) 時，，即，
所以可得的最大值為，所以，即即可,
故的取值范圍 .
【點睛】方法點睛：如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前 n 項和時，可采用
錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解．
第 15頁/共 15頁

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