數(shù)學(xué)試題
（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）
注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)填寫(xiě)在答題卡上相應(yīng)的位置.
2.作答時(shí)，全部答案在答題卡上完成，答在本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后，只交答題卡，試卷由考生帶走.
一、單項(xiàng)選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.
1. 若集合,集合,,則
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)補(bǔ)集和并集的定義直接求出即可.
【詳解】，.
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集和并集的求法，屬于基礎(chǔ)題.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．
【詳解】時(shí)，一定有，滿足充分性，
但時(shí)，如，不滿足，即不滿足必要性，
“”是“”的為充分不必要條件．
故選：A．
3. 已知，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取，可判斷A選項(xiàng)；利用特殊值法可判斷BD選項(xiàng)；利用不等式的基本性質(zhì)可判斷C選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，取，，，，則，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，由不等式的性質(zhì)可得，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，取，，，，則，D錯(cuò).
故選：C.
4. 已知函數(shù)，（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】直接代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.
【詳解】，.
故選：
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.
5. 函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得函數(shù)的定義域.
【詳解】由題意對(duì)于，得，解得且，故C正確.
故選：C.
6. 為提高生產(chǎn)效率，某公司引進(jìn)新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn)，投入生產(chǎn)后，除去成本，每條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與生產(chǎn)線運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間（單位：年）滿足二次函數(shù)關(guān)系：，現(xiàn)在要使年平均利潤(rùn)最大，則每條生產(chǎn)線運(yùn)行的時(shí)間t為（ ）年．
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】表示出平均利潤(rùn)，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立條件.
【詳解】平均利潤(rùn)為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值.
故選：A.
7. 已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知奇函數(shù)，且在內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解不等式即可.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋遥?br>可知函數(shù)為奇函數(shù)，
當(dāng)，則，
且的開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
由奇函數(shù)性質(zhì)可知在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，
若，則，
可得，即，解得，
所以實(shí)數(shù)取值范圍是.
故選：B.
8. 德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)被稱(chēng)為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的四個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是個(gè).
①函數(shù)偶函數(shù)；
②函數(shù)的值域是；
③若且為有理數(shù)，則對(duì)任意的恒成立；
④在圖象上存在不同的三個(gè)點(diǎn)，，，使得為等邊角形.
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為偶函數(shù)，①正確，函數(shù)的值域是，②正確，為有理數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，③正確，，，構(gòu)成等邊三角形，故④正確，得到答案.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，函數(shù)為偶函數(shù)，①正確；
函數(shù)的值域是，②正確；
為有理數(shù)，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，③正確；
，，，故，，構(gòu)成等邊三角形，故④正確；
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的新定義問(wèn)題，意在考查學(xué)生的理解能力和對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.
二、多項(xiàng)選擇題：本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)得 6 分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 命題“，”的否定是“，”
B. 若，則
C. 命題“，”是假命題
D. 函數(shù)是偶函數(shù)，且在0,+∞上單調(diào)遞減.
【答案】CD
【解析】
【分析】根據(jù)命題的否定，命題的充分必要性直接判斷各選項(xiàng)，由函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義判斷選項(xiàng)D.
【詳解】A選項(xiàng)：命題“，”的否定是“，”，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，不滿足，
所以命題“，”是假命題，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)：數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
因?yàn)?，所以是偶函?shù)，
當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，設(shè)，則，
所以fx1?fx2=1x12?1x22=x22?x12x12x22>0，
所以在0,+∞上單調(diào)遞減，故D正確；
故選：CD.
10. 下列選項(xiàng)中正確的有（ ）
A. 已知函數(shù)是一次函數(shù)，滿足，則的解析式可能為
B. 與表示同一函數(shù)
C. 函數(shù)的值域?yàn)?br>D. 定義在上的函數(shù)滿足，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A：利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；對(duì)于B：根據(jù)函數(shù)定義域分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)題意結(jié)合二次函數(shù)求值域；對(duì)于D：用替換可得，解方程即可.
【詳解】對(duì)A，設(shè)，則，
即，解得或，
所以的解析式可能為，故A正確；
對(duì)B，定義域?yàn)?，定義域?yàn)椋?br>兩者定義域不同。所以不是同一函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)椋?br>則函數(shù)，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以函數(shù)的值域?yàn)?，故C正確.
對(duì)于D，因?yàn)槎x在上的函數(shù)滿足①，
用替換可得②，
由①+②，得，所以，故D正確.
故選：ACD.
11. 下列命題中正確的是（ ）
A. 若，，，則的最大值為
B. 已知，，，則的最小值是
C. 若，則的最小值為4
D. 若，，，則的最小值為
【答案】CD
【解析】
【分析】由和為定值，求積的最大值，判斷選項(xiàng)A；先根據(jù)條件換元，再由基本不等式求解選項(xiàng)B；多次利用基本不等式求解選項(xiàng)C；利用基本不等式“1”的妙用求解選項(xiàng)D.
【詳解】對(duì)于A，，解得，平方得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由，可得，得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，故等號(hào)不成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為4，故C正確；
對(duì)于D，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所認(rèn)的最小值為，故D正確.
故選：CD
三、填空題：本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知集合，若，則實(shí)數(shù)______
【答案】
【解析】
【分析】利用元素與集合的關(guān)系，得到關(guān)于的方程，解之即可得解.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不滿足互異性，舍去；
當(dāng)時(shí)，或（舍去），此時(shí)，滿足題意；
綜上，.
故答案為：.
13. 已知函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間為_(kāi)___________
【答案】（開(kāi)閉都對(duì)）
【解析】
【分析】將函數(shù)改寫(xiě)成分段函數(shù)，再畫(huà)出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可判斷；
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，作出函數(shù)的圖象，
如圖所示：
由圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；
故答案為：（開(kāi)閉都對(duì)）
14. 若定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足；①為奇函數(shù)；②對(duì)任意的，，且，都有.則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì)P.已知函數(shù)具有性質(zhì)P，則不等式的解集為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】不妨設(shè)，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，得到函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，且為偶函數(shù)，再分和，兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，，且，都有，
不妨設(shè)，則，可得，則，
構(gòu)造函數(shù)，則，，
所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
所以函數(shù)為上的偶函數(shù)，
所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有，
由，可得，
所以，解得，此時(shí)無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由，可得，
所以，解得或，
綜上可得，不等式的解集為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于涉及到函數(shù)的綜合性質(zhì)問(wèn)題的求解問(wèn)題：
1、若涉及到函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來(lái)確定某一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題；
2、若涉及的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，解答時(shí)關(guān)鍵是將函數(shù)解析式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)的有關(guān)結(jié)論進(jìn)行判斷、求解；
3、若涉及到函數(shù)性質(zhì)的組合型問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是要熟練掌握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及一些常用結(jié)論，明確它們之間的邏輯關(guān)系，提升邏輯推理能力；
4、若涉及的函數(shù)的新定義問(wèn)題，關(guān)鍵是理解新定義函數(shù)的概念，根據(jù)新定義函數(shù)的概念丙挖掘其隱含條件，對(duì)比選項(xiàng)結(jié)論進(jìn)行判斷分析，得以解決.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知集合，．
（1）當(dāng)時(shí)，求，，；
（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)集合交集、并集和補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)集合交集的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合子集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，可得集合，，
所以，.
，.
【小問(wèn)2詳解】
由，可得，
①當(dāng)時(shí)，可得，解得；
②當(dāng)時(shí)，則滿足，解得，
綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是.
16. 已知關(guān)于x不等式的解集為．
（1）求m，n的值；
（2）正實(shí)數(shù)a，b滿足，求的最小值．
【答案】（1），.
（2）9
【解析】
【分析】（1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，是方程的兩個(gè)不同的根求解.
（2）根據(jù)基本（均值）不等式求和的最小值.
【小問(wèn)1詳解】
由題意：是方程的根，所以.
因?yàn)槭欠匠痰牧硗?根，所以
【小問(wèn)2詳解】
由題意：（，）
所以：（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”）.
17. 已知冪函數(shù)為偶函數(shù)．
（1）求的解析式；
（2）若在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)得，從而求出代入解析式檢驗(yàn)，進(jìn)而可求出的解析式；
（2）求出的對(duì)稱(chēng)軸，然后由在上是單調(diào)函數(shù)，得或，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
由題意，解得或3，
若是偶函數(shù)，代入檢驗(yàn)可得，故；
【小問(wèn)2詳解】
，對(duì)稱(chēng)軸是，
若在上是單調(diào)函數(shù)，則或，解得或．
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或．
18. 已知函數(shù).
（1）證明：函數(shù)是奇函數(shù)；
（2）用定義證明：函數(shù)在上是增函數(shù)；
（3）若關(guān)于不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）證明見(jiàn)解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，即可可證；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和判定方法，即可得證；
（3）根據(jù)題意，得到函數(shù)為定義域上的奇函數(shù)，且為單調(diào)遞增函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，分和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
證明：由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
又由，
所以函數(shù)為定義域上的奇函數(shù).
【小問(wèn)2詳解】
證明：當(dāng)時(shí)，，
任取，且，
可得
因?yàn)?，且，可得，?br>所以，即，
所以函數(shù)在0,+∞上是增函數(shù).
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)為定義域上的奇函數(shù)，且在0,+∞上是增函數(shù)，
所以函數(shù)在上也是增函數(shù)，
又因?yàn)?，所以函?shù)在上是增函數(shù)，
又由，可得，
因?yàn)椴坏仁綄?duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，
即不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，
可得不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，
即不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，
當(dāng)時(shí)，不等式即為恒成立，符合題意；
當(dāng)時(shí)，則滿足，解得，
綜上可得，，即實(shí)數(shù)的取值范圍0,1.
19. 已知函數(shù).
（1）證明：，并求函數(shù)的值域；
（2）已知為非零實(shí)數(shù)，記函數(shù)的最大值為.
①求；②求滿足的所有實(shí)數(shù).
【答案】（1）證明見(jiàn)解析，函數(shù)的值域?yàn)?
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）分別求出兩函數(shù)的定義域，計(jì)算即可得證，再求出函數(shù)的值域，從而可得出答案；
（2）①由（1）得，令，分，，和四種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的最值即可得出答案；
（2）求出，再分，，，，和六種情況討論，從而可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】
解：由函數(shù)，
得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由函數(shù)，
得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，
，
因?yàn)?，所以，所以?br>所以，
又，所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>【小問(wèn)2詳解】
解：①由（1）得，
則，
令，
則，
對(duì)稱(chēng)軸為，
當(dāng)時(shí)，則，
所以，
當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，，
綜上所述，；
②因?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），
當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），
當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），
當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），
綜上，或.
【點(diǎn)睛】本題考查了求含根號(hào)函數(shù)的值域問(wèn)題及二次函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了分類(lèi)討論思想及數(shù)據(jù)分析能力，解決第二問(wèn)的關(guān)鍵在于找到討論的臨界點(diǎn)，可以借助數(shù)軸的手段來(lái)進(jìn)行討論.

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