重慶市渝高中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

（滿分150分．考試用時120分鐘．）
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．
1. 若集合，，則下面結(jié)論中正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)集合與集合的關(guān)系、元素與集合的關(guān)系可得B、C錯誤，再根據(jù)為無理數(shù)可得正確的選項.
【詳解】因為表示元素，表示集合，故B、C錯誤.
因為不是自然數(shù)，所以，且不成立，故A也錯誤，D正確，
故選：D.
【點睛】本題考查元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系的判斷，一般地，集合與集合之間用包含或不包含，
2. 已知集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.
【詳解】因為，所以，即，
所以，，所以，
故選：C.
3. 已知，則的最大值為（）
A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式的變形形式直接求解.
【詳解】由題意得，，即，
當且僅當，即或時等號成立，
所以的最大值為.
故選：B
4. 已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合已知條件，利用抽象函數(shù)的定義域求法且分式中分母不為0，即可得到的定義域.
【詳解】由函數(shù)的定義域是，結(jié)合函數(shù)的特征可知，
解得，
故函數(shù)的定義域為.
故選：C.
5. 已知函數(shù)，則函數(shù)解析式是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用配湊法求解析式即可.
【詳解】，且，所以，.
故選：B.
6. 已知二次函數(shù)f(x)的圖像開口向下，且對稱軸方程是x＝3，則下列結(jié)論中錯誤的一個是( )
A. f(6)＜f(4)B. f(2)＜f()C. f(3＋ )＝f(3－)D. f(0)＜f(7)
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，則有，且在上遞增，在上遞減，根據(jù)單調(diào)性和對稱性可得．
【詳解】解：依題意，函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為，則有，
且在上遞增，在上遞減，
，即正確；
且
即，故正確；
，故正確；
，故錯誤；
故選：
【點睛】本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的對稱性，屬于中檔題.
7. 已知函數(shù)的定義域為，且滿足，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的求值可利用特殊值法.
【詳解】解：函數(shù)的定義域為
令時，，可得
令，，，可得.
故選：C
8. 已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件分，和三種情況討論，由，求出取值范圍．
【詳解】解：顯然當時，，不滿足條件；
當時，易知，當時，，于是，
而由，可得，即，所以也不滿足條件，
當時，函數(shù)，
因為關(guān)于的不等式的解集為，若，則在上，函數(shù)的圖象應(yīng)在函數(shù)的圖象的下方，
如圖所示，要使在上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方，
只要即可，即，
化簡可得，解得，
所以的取值范圍為.
綜上，的取值范圍為.
故選：C.
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得2分或者3分，有選錯的得0分．
9. 下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是（）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)兩函數(shù)相等的三要素一一判斷即可.
【詳解】對于A, 的定義域為,
的定義域為,
且兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系相同,所以是同一函數(shù),故A正確;
對于B, 的定義域為,
的定義域為,
所以不是同一函數(shù),故B錯誤;
對于C，
與對應(yīng)關(guān)系不相同,故C錯誤;
且定義域為,
定義域為,所以兩個函數(shù)是同一函數(shù),故D正確.
故選:AD.
10. 已知：函數(shù)的定義域為，則的必要條件可以是（）
A. 或B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】的定義域為R，因此恒成立，求出的取值范圍.本題判斷哪個選項是的必要條件，所以能推出選項，對應(yīng)的取值范圍是選項范圍的子集.
【詳解】由題，恒成立，易知時不滿足，
時，有.
故選：AB
11. 若，，則下列結(jié)論中一定正確的是（）
A. B.
C. D. 若，則的最小值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用作差法判斷A，舉反例判斷B，利用基本不等式判斷CD.
【詳解】對于A，由，，，
所以，所以，成立；
對于B，當時，，所以B不正確；
對于C，由，，可得，
所以，所以，等號不成立，所以；
對于D,由，得，
所以
當且僅當，即時，取得最小值4，
故選：ACD.
【點睛】關(guān)鍵點點睛，本題D的判斷較為困難，利用展開后，利用基本不等式是解題的關(guān)鍵.
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 命題否定形式：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)全稱命題的否定是變量詞否結(jié)論即可求解.
【詳解】命題否定形式：，
故答案為：.
13. 已知，且，則的最小值是_________．
【答案】7
【解析】
【分析】先利用常數(shù)代換法求的最小值，繼而即可求解.
【詳解】因為，
，
當且僅當，且，即時等號成立，
所以的最小值為，所以的最小值為.
故答案為：.
14. 設(shè)函數(shù)存在最小值，則的取值范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意分，，和四種情況結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)討論即可》
【詳解】①當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此不存在最小值；
②當時，，
當時，，故函數(shù)存在最小值；
③當時，，故函數(shù)上單調(diào)遞減，
當時，；當時，.
若，則不存在最小值，故，解得.
此時滿足題設(shè)；
④當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，；當時，.
因為，所以，
因此不存最小值.
綜上，的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查含參數(shù)的分段函數(shù)求最值，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最小值，考查分類討論思想，屬于較難題.
四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知集合．
（1）當時，求；
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）當時，，即可解決；（2）分，兩種情況解決即可.
【小問1詳解】
由題知，，
當時，，
所以.
【小問2詳解】
由題知，
因為，
所以
當時，解得，滿足題意；
當時，或，
解得，或，
綜上所述，的取值范圍為，
16. 已知函數(shù)，
（1）畫出函數(shù)的圖象；
（2）求的值；
（3）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【答案】（1）作圖見解析
（2）
（3）單調(diào)遞減區(qū)間：和；單調(diào)遞增區(qū)間為：和.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的解析式，直接畫出函數(shù)的圖象.
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，判斷直接代入計算即得.
（3）根據(jù)分段函數(shù)圖象，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【小問1詳解】
如圖所示：
【小問2詳解】
；
【小問3詳解】
由（1）得到的圖象可知，的單調(diào)遞減區(qū)間為和．
單調(diào)遞增區(qū)間為：和.
17. 已知函數(shù)，且．
（1）證明：在區(qū)間上單調(diào)遞減；
（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】(1)由條件列方程求，再根據(jù)減函數(shù)的定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞減；
(2)由條件可得，解不等式求的取值范圍．
【小問1詳解】
因為，，所以，解得，所以，
任取實數(shù)，且，則，
又，所以，，
所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；
【小問2詳解】
由（1）知，在上單調(diào)遞減，所以，
因為對恒成立，所以，
即，化簡得，解得，
即實數(shù)t的取值范圍是．
18. 某公司銷售甲、乙兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測，甲產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）成正比，其關(guān)系如圖所示；乙產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系式如圖所示．
（1）分別將甲、乙兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資額的函數(shù)；
（2）若該公司投資萬元資金，并全部用于甲、乙兩種產(chǎn)品的營銷，問：怎樣分配這萬元投資，才能使公司獲得最大利潤？其最大利潤為多少？
【答案】（1）甲產(chǎn)品的利潤函數(shù)為；乙產(chǎn)品的利潤函數(shù)為；（2）詳見解析．
【解析】
【分析】（1）由題意設(shè)、，分別代入點的坐標即可得解；
（2）設(shè)乙產(chǎn)品的投資金額為萬元，則甲產(chǎn)品的投資金額為萬元，由題意列出總利潤的函數(shù)，換元后利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)分類討論即可得解.
【詳解】（1）由題意設(shè)甲產(chǎn)品的利潤函數(shù)為，乙產(chǎn)品的利潤函數(shù)為．
由函數(shù)經(jīng)過點，則即，所以；
函數(shù)經(jīng)過點，則即，所以；
（2）設(shè)乙產(chǎn)品的投資金額為萬元，則甲產(chǎn)品的投資金額為萬元，
所獲得總利潤為萬元，
則，，
令，則，
，
該函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為，
所以當即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當即時，有最大值；
當即時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，
當即時，有最大值．
綜上可知，當時，乙產(chǎn)品投資萬元，甲產(chǎn)品不作投資，該公司可獲得最大利潤，最大利潤為萬元；
當時，乙產(chǎn)品投資萬元，甲產(chǎn)品投資萬元，該公司可獲得最大利潤，最大利潤為萬元．
【點睛】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，考查了二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用與分類討論思想，解題的關(guān)鍵是根據(jù)實際問題建立適當?shù)臄?shù)學(xué)模型，屬于中檔題.
19. 若實數(shù)滿足，則稱x比y遠離m．
（1）解不等式
（2）若比遠離，求實數(shù)x的取值范圍；
（3）若，，試問：與哪一個更遠離，并說明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）比x更遠離m，理由見解析
【解析】
【分析】（1）由絕對值的幾何意義即可求解；
（2）根據(jù)題意列出，求解不等式即可；
（3）利用基本不等式的變形得到，可將為題轉(zhuǎn)化為研究的正負問題，然后根據(jù)絕對值的意義分類討論，利用配方法可以得到結(jié)論
【小問1詳解】
令，即有，所以x比3遠離0，
從數(shù)軸上可得x的取值范圍是；
【小問2詳解】
由x比遠離1，則，即，
∴或，解得或，
∴的取值范圍是；
【小問3詳解】
因為，有，
因為，所以，
從而，
①當時，
，即；
②當時，
，
又，則，
∴，即，
綜上，，即比x更遠離m．
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查含有絕對值的不等式的求解與證明，作差法比較大小，涉及消元思想和配方法，基本不等式的靈活應(yīng)用，在第二問中還需分和兩種情況進行討論

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多