1.下列函數(shù)是二次函數(shù)的是( )
A. B.
C. D.
2.下列?；罩黧w圖案中，是中心對稱圖形的是( )
A. B. C. D.
3.用配方法解一元二次方程時，下列變形正確的是( )
A. B. C. D.
4.把拋物線先向左平移3個單位，再向下平移1個單位得到的圖象解析式是( )
A. B.
C. D.
5.如圖，將其中，繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，使得點C、A、在同一條直線上，那么旋轉(zhuǎn)角等于( )
A.
B.
C.
D.
6.等腰三角形一邊長為2，它的另外兩條邊的長度是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，則k的值是( )
A. 8B. 9C. 8或9D. 12
7.若，，為二次函數(shù)的圖象上的三點，則，，的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
8.已知函數(shù)的圖象上有兩點和，則的值等于( )
A. 22B. 20C. 17D. 0
9.如圖，O是正內(nèi)一點，，，，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，下列結(jié)論：①可以由繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到；②；③四邊形的面積是；④，其中正確結(jié)論有個.
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。
10.點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是______.
11.二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)是______.
12.有一座拱橋的截面圖是拋物線形狀，在正常水位時，橋下水面AB寬20米，拱橋的最高點O距離水面AB為3米，如圖建立直角坐標(biāo)平面xOy，那么此拋物線的表達(dá)式為______.
13.若關(guān)于x的函數(shù)與坐標(biāo)軸有兩個交點，則k的值是______.
14.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①，，；②；③對于任意的x均有有；④若方程，有4個根，則這四個根之和為4，其中正確的結(jié)論是______.
15.點O是正方形ABCD內(nèi)的一點，P是邊AB上的一點，，的最小值為______.
三、解答題：本題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
16.本小題8分
解一元二次方程：
；
17.本小題8分
二次函數(shù)的圖象如圖，根據(jù)圖象解答下列問題：
方程的兩個根為______；
若，則自變量x的取值范圍為______；
若方程有兩個不相等的實數(shù)根，k的取值范圍是______.
18.本小題8分
已知關(guān)于x的一元二次方程
求證：無論m為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
若方程的兩個實數(shù)根，滿足，求m的值.
19.本小題8分
某扶貧單位為了提高貧困戶的經(jīng)濟收入，購買了39m的鐵柵欄，準(zhǔn)備用這些鐵柵欄為貧困戶靠墻墻長圍建一個中間帶有鐵柵欄的矩形養(yǎng)雞場如圖所示
若要建的矩形養(yǎng)雞場面積為，求雞場的長AB和寬BC；
該扶貧單位想要建一個的矩形養(yǎng)雞場，這一想法能實現(xiàn)嗎？請說明理由.
20.本小題8分
如圖，的三個頂點都是格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，結(jié)果用實線表示，
在圖1中，畫線段于點E，使；
在圖2中，點K為AB與網(wǎng)格線的交點，先將線段BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得線段BH，在線段BH上畫出點K的對應(yīng)點I：
在圖2中，畫出點H關(guān)于CB的對稱點
21.本小題10分
如圖，排球運動員站在點O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度與運行的水平距離滿足關(guān)系式已知球網(wǎng)與O點的水平距離為9m，高度為，球場的邊界距O點的水平距離為
當(dāng)時，求y與x的關(guān)系式不要求寫出自變量x的取值范圍；
當(dāng)時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由；
若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍．
22.本小題10分
如圖，中，，
如圖1，D在BC邊上，，求的值；
如圖2，E點在的外部，，求證：；
是平面內(nèi)一點，，，請直接寫出______.
23.本小題12分
如圖，拋物線交x軸于A，B兩點在B的左邊，與y軸交于點
如圖1，已知，且點A的坐標(biāo)為
①求拋物線的解析式；
②P為第四象限拋物線上一點，交y軸于點Q，求面積的最大值及此時點P的坐標(biāo)；
如圖2，F(xiàn)為y軸正半軸上一點，過點F作交拋物線于D，E兩點在E的左邊，直線AD，AE分別交y軸于N，M兩點，求的值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是整式，不是二次函數(shù)，故不符合題意；
B、是一次函數(shù)，故A不符合題意；
C、符合二次函數(shù)的定義，符合題意；
D、解析式化簡后不含二次項，不符合題意；
故選：
根據(jù)二次函數(shù)的定義判定即可．
本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如、b、c是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，熟練掌握二次函數(shù)定義是關(guān)鍵．
2.【答案】B
【解析】解：選項A、C、D的圖形都不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形；
選項B的圖形能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形．
故選：
根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷，把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．
3.【答案】C
【解析】解：，
，
，
，
故選：
移項，配方，即可得出選項．
本題考查了解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是關(guān)鍵．
4.【答案】A
【解析】解：由題意，由二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，拋物線向左平移3個單位，再向下平移1個單位，即可得到的圖象解析式是，即
故選：
直接根據(jù)圖形平移的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關(guān)鍵．
5.【答案】C
【解析】解：，
，
故選：
首先根據(jù)點C、A、在同一條直線上，得到，然后利用鄰補角互補求解即可．
此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本題考查了一元二次方程的解，根的判別式，三角形的三邊關(guān)系等.
分兩種情況①等腰三角形的底邊長為2，②等腰三角形的腰長為2，分別求解即可.
【解答】
解：當(dāng)?shù)妊切蔚走呴L為2時，
則關(guān)于x的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，
，
，
此時兩腰長為3，符合題意；
當(dāng)?shù)妊切窝L為2時，
此時2是方程的一個根，
，
，
此時方程的另一個根為，
，
不能組成三角形，
綜上所述，
故選
7.【答案】B
【解析】解：二次函數(shù)的對稱軸為直線，
，
拋物線開口向上，
點A、B、C到對稱軸的距離分別為2、1、3，
故選：
先求出拋物線對稱軸解析式，再根據(jù)點A、B、C到對稱軸的距離的大小與拋物線的增減性解答．
本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，主要利用了二次函數(shù)的增減性，求出對稱軸解析式是解題的關(guān)鍵．
8.【答案】A
【解析】解：函數(shù)的圖象上有兩點和，
，
把代入得，，
函數(shù)的圖象上有兩點和，
，n是方程的兩個根，
，，
，
故選：
由題意可得m，n是方程的兩個根，則有，，即，又由，將所求式子變形為，然后再求值即可．
本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與方程之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
9.【答案】D
【解析】解：由題意可知，
，
，
又，，
在和中，
，
≌，
又，
可以由繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
故結(jié)論①正確；
≌，
在中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，
是直角三角形，，
，
故結(jié)論②正確；
，
故結(jié)論③正確；
如圖②所示，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AC重合，點O旋轉(zhuǎn)至點．
則是邊長為3的等邊三角形，是邊長為3、4、5的直角三角形，
則，
故結(jié)論④正確．
綜上所述，正確的結(jié)論為：①②③④．
故選：
證明≌，又，所以可以由繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，故結(jié)論①正確；在中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故是直角三角形；進(jìn)而求得，故結(jié)論②正確；，故結(jié)論③正確；將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AC重合，點O旋轉(zhuǎn)至點．利用旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造等邊三角形與直角三角形，將轉(zhuǎn)化為，計算可得結(jié)論④正確．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練地掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．
10.【答案】
【解析】解：點關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)是
故答案為：
根據(jù)關(guān)于原點對稱的點，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)可得答案．
本題考查了關(guān)于原點對稱的點，平面直角坐標(biāo)系中若兩個點關(guān)于原點對稱，那么這兩個點的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù)．
11.【答案】
【解析】解：，
二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)是
故答案為：
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟知對于二次函數(shù)，其頂點坐標(biāo)為是解題的關(guān)鍵．
12.【答案】
【解析】解：該拋物線的解析式是，
由圖象知，點在函數(shù)圖象上，代入得：
，
該拋物線的解析式是；
故答案為：
由函數(shù)圖象可設(shè)該拋物線的解析式是，再結(jié)合圖象，只需把代入求出a的值即可．
本題考查了二次函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，能夠熟練運用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式是此題的考查點．
13.【答案】或
【解析】解：①當(dāng)時，即時，函數(shù)是一次函數(shù)，與x軸有且有一個交點，與y軸有一個交點，故符合題意．
②當(dāng)時，即時，該函數(shù)是二次函數(shù)，與y軸有一個交點
則
解得
綜上可知：或
故答案為：或
若，原函數(shù)為一次函數(shù)，與坐標(biāo)軸有兩個交點，若，原函數(shù)為二次函數(shù)，由于拋物線與y軸一定有一個交點，根據(jù)“該函數(shù)與坐標(biāo)軸有兩個交點”，得到拋物線與x軸只有一個交點，即判別式，得到關(guān)于k的等式，解之即可．
本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，拋物線與x軸的交點，正確掌握判別式公式是解題的關(guān)鍵．
14.【答案】①②③④
【解析】解：拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則，
而，，
拋物線的對稱軸為，
，
，故①正確；
，
，
，
，故②正確；
當(dāng)時，函數(shù)最大值為，
對于任意的x均有
，
即，故③正確；
方程有四個根，
方程與方程各自有兩個根，設(shè)分別為，，，，
，，
，故④正確；
綜上，正確的結(jié)論是①②③④，
故答案為：①②③④．
由二次函數(shù)的圖象可得，，由對稱軸可得，即可判斷①；由對稱軸可得，進(jìn)而可判斷②；當(dāng)時，函數(shù)最大值為，即可判斷③；由方程有四個根，可得方程與方程各自有兩個根，設(shè)分別為，，，，由根和系數(shù)的關(guān)系可得，，得到，即可判斷④．
本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，熟悉函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15.【答案】
【解析】解：將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至，連接OE，過點于點G交CD于H，
則，，，，
，為等邊三角形，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)F，E，O，P四點共線時，取得最小值，此時點P與點G重合，最小值為FG，
四邊形ABCD是正方形，是等邊三角形，
，，，，
，
四邊形AGHD是矩形，
，
，，
，
，
，
，
即的最小值為，
故答案為：
將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至，連接OE，過點于點G交CD于H，則，為等邊三角形，故，當(dāng)且僅當(dāng)F，E，O，P四點共線時，取得最小值，此時點P與點G重合，最小值為FG，可求，，在中，由勾股定理得，則，即的最小值為
本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，兩點之間線段最短等知識點，熟練掌握知識點，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)全等，將線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移是解題的關(guān)鍵．
16.【答案】解：，
，
，
；
，
，
或，
，
公式法：，，，
，
，
，
【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本題考查解一元二次方程，掌握因式分解法、配方法是解題的關(guān)鍵．
17.【答案】，或
【解析】解：二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點分別為、，
方程的兩個根為，，
故答案為：，；
設(shè)拋物線解析式為，將點代入得：，解得，
拋物線解析式為，
令，
解得：，，
，
或
故答案為：或；
由函數(shù)圖象可知，二次函數(shù)開口向下的頂點坐標(biāo)為，
方程有兩個不相等的實數(shù)根，
直線與二次函數(shù)有兩個交點，
的取值范圍為，
故答案為：
根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點坐標(biāo)，即可作答；
根據(jù)二次函數(shù)圖象在x軸上方的部分對應(yīng)的x范圍，即可作答；
根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，結(jié)合直線與二次函數(shù)有兩個交點，即可作答．
本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵．
18.【答案】證明：整理原方程得，，
，
無論m為何實數(shù)，總有，從而，
即
無論m為何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；
解：由得方程整理得，
方程的兩個實數(shù)根、，
，，，
，
解得
【解析】先把方程，變形為，得出，即可得出答案；
先把方程，變形為，然后計算兩根之和以及兩根之積，代入求值的代數(shù)式計算即可．
本題考查了一元二次方程的根的判別式和一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根．
19.【答案】解：設(shè)，則，
由題意得：，
整理得：，
解得：，，
當(dāng)時，，不符合題意；當(dāng)時，，符合題意；
答：雞場的長AB和寬BC分別為15m與
設(shè)，則，
由題意得：，
整理得：，
，
方程無實數(shù)解；
所以想法不能實現(xiàn)．
【解析】設(shè)，則可表示出長AB，由面積關(guān)系即可列出方程，解方程即可．
設(shè)，則可表示出長AB，由面積關(guān)系即可列出方程，根據(jù)方程是否有解或方程的解是否符合題意，即可作出判斷．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．
20.【答案】解：畫線段于點E，使，如圖1所示，線段AD即為所求；
如圖2所示，線段BH及點I即為所求；
畫出點H關(guān)于CB的對稱點M如圖所示，點M即為所求．

【解析】如圖1，取格點AD，連接AD，交CB與點E，易得≌，得，，即得，進(jìn)而由，得，得到，即得，故線段AD即為所求；
如圖2，取格點H，連接BH，與網(wǎng)格線相交于點I，易得≌，得到，即得，又因為，，所以≌，即得到，故線段BH及點I即為所求；
取格點P，連接PH，則，取格點G、N，連接GN、GH，則，即可得，得到，因為點C為GH的中點，所以由直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊的一半可得，即得，故點H、M關(guān)于CB對稱．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)作圖，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．
21.【答案】解：，球從O點正上方2m的A處發(fā)出，
拋物線過點，
，
解得：，
故y與x的關(guān)系式為：；
當(dāng)時，，
所以球能過球網(wǎng)；
當(dāng)時，，
解得：，舍去，
故會出界；
解法一：當(dāng)球正好過點時，拋物線還過點，代入解析式得：
解得：
此時二次函數(shù)解析式為：，
此時球若不出邊界，則，
當(dāng)球剛能過網(wǎng)，此時函數(shù)解析式過，拋物線還過點，代入解析式得：
解得：
此時球要過網(wǎng)，則，
故若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，h的取值范圍是：
解法二：過點點，代入解析式得：，
若球越過球網(wǎng)，則當(dāng)時，，即，解得，
若球不出邊界，則當(dāng)時，，解得
故若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，h的取值范圍是：
【解析】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用題，求范圍的問題，可以利用臨界點法求出自變量的值，再根據(jù)題意確定范圍．
利用將點代入解析式求出即可；
利用當(dāng)時，，當(dāng)時，，分別得出即可；
根據(jù)當(dāng)球正好過點時，拋物線還過點，以及當(dāng)球剛能過網(wǎng)，此時拋物線過，拋物線還過點時分別得出h的取值范圍，或根據(jù)不等式即可得出答案．
22.【答案】或
【解析】解：，，
，
，
，
，，
，
，，
，
；
如圖2，將AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到AF，連接CF，EF，過點A作于H，
，，
，
，
，，，
，
，
，
又，，
≌，
，，
設(shè)，
，
，
，
，
，
，
，
；
如圖3，當(dāng)點P在內(nèi)時，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接HP，
，，
，，
，
將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，
，，，，，
，，
，，
，，
，
；
如圖4，當(dāng)點P在外時，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接HP，
，，
，，
，
將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，
，，，，，
，，
，，
，
，
，
綜上所述：或，
故答案為或
由等腰三角形的性質(zhì)可得，由角的數(shù)量關(guān)系可求，，由直角三角形的性質(zhì)可得，即可求解；
將AE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到AF，過點A作于H，由等腰三角形的性質(zhì)可求，由“SAS”可證≌，可得，，由角的數(shù)量關(guān)系可證，可證；
分兩種情況討論，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，，，，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
23.【答案】解：①當(dāng)時，，
，
，
，
，
將點，代入，
，
解得，
拋物線的解析式為；
②連接BC，過點P作軸交BC于點G，
可得直線BC的解析式為，
設(shè)，則，
，
為第四象限拋物線上一點，
，
，
，
，
當(dāng)時，面積的最大值為，
此時；
設(shè)D、E兩點的橫坐標(biāo)分別為m、n，直線DE的解析式為，
聯(lián)立方程組，
整理得，，
，，
，，
直線DE的解析式為，
同理直線AD的解析式為，直線AE的解析式為，
直線BC的解析式為，
，
，
，
，，
，，
，
，

【解析】①求出B點坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
②連接BC，過點P作軸交BC于點G，設(shè)，則，由，可知，當(dāng)時，面積的最大值為，此時；
設(shè)D、E兩點的橫坐標(biāo)分別為m、n，直線DE的解析式為，聯(lián)立方程組，整理得，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系整理出，，再求出直線DE為，直線AD為，直線AE的解析式為，直線BC為，根據(jù)，得，則，分別求出，，則，再由，即可求
本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

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