1. 我國民間建筑裝飾圖案中，蘊含著豐富數(shù)學(xué)之美．下列圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A．該圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；
B．該圖形不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
C．該圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
D．該圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．
故選：A．
2. 已知m和n分別為一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，則的值為（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】C
【解析】解：和分別為一元二次方程的兩個不相等的實數(shù)根，
．
故選：C．
3. 如圖，點，，，，都在方格紙的格點上，若可以由旋轉(zhuǎn)得到，則正確的旋轉(zhuǎn)方式是（ ）

A. 繞點逆時針旋轉(zhuǎn)B. 繞點順時針旋轉(zhuǎn)
C. 繞點逆時針旋轉(zhuǎn)D. 繞點逆時針旋轉(zhuǎn)
【答案】C
【解析】解：根據(jù)圖形可知：，
∴圖形是以為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)90°后和重合，和重合，和重合，
∵可以由旋轉(zhuǎn)得到，
∴正確的旋轉(zhuǎn)方式是繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，
故選C．
4. 將拋物線平移后得到拋物線，正確的平移方式是（ ）
A. 向右移動3個單位長度，向上移動1個單位長度
B. 向左移動3個單位長度，向上移動1個單位長度
C. 向右移動3個單位長度，向下移動1個單位長度
D. 向左移動3個單位長度，向下移動1個單位長度
【答案】D
【解析】將拋物線平移后得到拋物線，
正確的平移方式是向左移動3個單位長度，向下移動1個單位長度．
故選：D．
5. 關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
解得：，
∴的取值范圍是．
故選：A．
6. 如圖，經(jīng)過點，交y軸于點B，若，則點B的縱坐標(biāo)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：如圖，作軸交y軸于點C，
，軸，
，，
，
由圖可知，點B在y軸的負半軸上，則點B的縱坐標(biāo)是．
故選：C．
7. 《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，其中記載：今有戶不知高、廣，竿不知長、短．橫之不出四尺，從之不出二尺，那之適出．問戶高、廣、邪各幾何？譯文是：今有門，不知其高、寬，有竿，不知其長、短．橫放，竿比門寬長出4尺；豎放，竿比門高長出2尺；斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬、對角線長分別是多少？若設(shè)門對角線長為x尺，則下列正確的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：∵設(shè)門對角線長為x尺，
∴竿的長度為x尺，門高為尺，門寬為尺，
根據(jù)題意得：，
故選：A．
8. 如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為處達到最高，且最高高度為，水柱落地處離池中心，則水管的長是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由題意可知點是拋物線的頂點，
∴設(shè)這段拋物線的解析式為．
∵該拋物線過點，
∴，
解得：．
∴．
∵當(dāng)x=0時，，
∴水管應(yīng)長．
故選：C．
9. 如圖，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．若，，則的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】設(shè)，
將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到，
，，
，
為等邊三角形，
，
，
，
，
故選：C．
10. 已知，兩點在拋物線上（常數(shù)），若對于，，都有，則a的值不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由題得，，
，
，
，
①當(dāng)時，，
或，
解得或，
，
或，
或，
，
；
②當(dāng)時，，
或，
解得，
，
，解得，
綜上，或．
故選：B．
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11. 已知點與點關(guān)于原點O中心對稱，則m的值是________．
【答案】
【解析】解：∵點與點關(guān)于原點O中心對稱，
∴，
解得，，
故答案為：．
12. 將一元二次方程化為一般形式后，常數(shù)項是1，則一次項系數(shù)是________．
【答案】
【解析】解：∵，
∴，
∴一次項系數(shù)是．
故答案為：．
13. 點繞點順時針旋轉(zhuǎn)后，得到對應(yīng)點的坐標(biāo)是________．
【答案】
【解析】解：如圖，作點繞點順時針旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，連接，作軸于，軸于，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
14. 某商場購進一種單價為40元的商品，如果以單價60元售出，那么每天可賣出300個，根據(jù)銷售經(jīng)驗，每降價1元，每天可多賣出20個，設(shè)每個商品降價x（元），每天獲得利潤y（元），則y與x的函數(shù)關(guān)系式是________．
【答案】
【解析】解：設(shè)每個商品降價x（元），每天獲得利潤y（元），
則y與x的函數(shù)關(guān)系式是：，即，
故答案為：．
15. 如圖，正方形的邊長為，，平分交的延長線于，交CD于．當(dāng)為CD的中點時，的長是______．
【答案】
【解析】解：過點作于點，交AD于點，連接CE交BM于點，連接，
∵正方形的邊長為，，為CD的中點，
∴，，，
∴，，
∵平分，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
故答案為：．
16. 拋物線（a，b，c為常數(shù)）經(jīng)過點，且．
下列四個結(jié)論：
①；
②當(dāng)時，；
③若點，均在拋物線上，則；
④不等式對任意的實數(shù)t都成立，則．
其中正確的結(jié)論是________（填寫序號）．
【答案】①③④
【解析】解：∵拋物線經(jīng)過，
∴，
故①正確，符合題意；
當(dāng)時，如圖1，此時當(dāng)時，，
當(dāng)時，如圖2，此時兩個交點均在y軸左側(cè)，都有可能是，
但是不論哪個交點是，均不滿足當(dāng)時，，
故②錯誤，不符合題意；
根據(jù)題意可得，
，
消去a和b整理可得，
∵，
，
解得：，
故③正確，符合題意；
∵，
∴，
∴，
∴當(dāng)時函數(shù)有最小值，即拋物線開口向上，對稱軸為直線，
，，
，
由，可得，
，
故④正確，符合題意；
故答案為：①③④；
三、解答題（共8小題，共72分）
17. 解方程：．
解：，
∵ ，，，
∴
∴，
∴,．
18. 如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點C的對應(yīng)點E落在上．
（1）若，，求的長；
（2）連接，在中，添加與角相關(guān)的一個條件，使是等邊三角形．（不需要說明理由）
解：（1）在中，，，
∴．
∵由旋轉(zhuǎn)得到
∴，
∴，
∴．
（2）添加：（或），理由如下：
由旋轉(zhuǎn)可得：，
∵，
∴為等邊三角形．
19. 如圖，在等腰中，，交于，兩點，半徑于．
（1）求證：；
（2）若，，求的半徑．
解：（1）證明：在中，，于，
，
是的弦，是半徑，且于，
，
，
；
（2）解：如下圖所示，連接AD，
由（1）知，，
設(shè)半徑為，則，
在中，，
解得：，
的半徑為．
20. 如圖，某植物園有一塊足夠大的空地，用一段長為米的籬笆圍成一個一邊利用一堵墻的矩形花圃，墻長為6米，其中邊AD大于或等于墻長，中間用籬笆隔開．設(shè)的長為x米，AB的長為y米，矩形花圃的面積為s米．

（1）直接寫出y關(guān)于x，s關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)?shù)拈L為多少時，矩形花圃的面積最大？最大面積為多少？
解：（1）由題意知，，，
整理得，，
∵，
∴，則，
由題意知，，
∴，，；
（2）由題意知，．
∵，
∴當(dāng)時，取得最大值，且最大值為，
答：當(dāng)?shù)拈L為9米時，矩形花圃的面積最大，且最大面積為平方米．
21. 如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．的三個頂點都是格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖．
（1）在圖1中，D在線段上，先畫，再在AB上畫點F，使；
（2）在圖2中，先畫的高，再在射線上畫點P，使．
解：（1）如圖1，點向右3個格點為，連接，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∴即為所作；
如圖1，連接，記的中點為，連接并延長到，連接，交于，則四邊形為矩形，
∴，
∴，
∴點即為所作；
（2）如圖2，點向左4個格點為，然后向上3個格點為，連接，交于，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即為所作；
如圖2，點向左3個格點為，點向左3個格點為，連接，的交點為，連接，
∴，且到的距離與的距離相等，即，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴點即為所作．
22. 圖1展示的發(fā)石車是古代一種攻城器械，據(jù)《三國志》記載：曹操創(chuàng)制發(fā)石車，攻破袁紹軍壁樓．如圖，發(fā)石車位于點處，其前方有一堵壁樓，其防御墻的豎直截面為矩形，墻寬為米，點與點的水平距離為米，垂直距離為米．以點為原點，水平方向為軸方向，建立平面直角坐標(biāo)系，將發(fā)射出去的石塊當(dāng)作一個點看，其飛行路線可以近似看作拋物線的一部分．
（1）若發(fā)射石塊在空中飛行的最大高度為米．
①求拋物線的解析式（不用寫出的取值范圍）；
②石塊能否飛越防御墻．
（2）若要使石塊恰好落在防御墻頂部上（不包括端點，，直接寫出的取值范圍．
解：（1）①設(shè)石塊運行的函數(shù)關(guān)系式為，
將代入，得，解得．
所以拋物線的解析式為．
②石塊不能飛躍防御墻．
理由如下：將代入，；
將代入，．所以石塊不能飛躍防御墻．
（2）∵過點，
∴，
∴，
∴，
依題意分別代入，
即或，
解得： 或，
∴．
23. 問題情境 是等邊的中線，點P在線段上運動（不包括端點C，D），將線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，點A的對應(yīng)點E落在射線上，探究的大小．記．
問題探究
（1）如圖1，將問題特殊化，當(dāng)時，直接寫出的大??；
（2）如圖2，將問題一般化，當(dāng)時，求證：是定值．
問題拓展
（3）當(dāng)時，若，直接寫出的值．
解：（1）解：∵是等邊三角形，
∴，
∵是等邊的中線，
∴平分，
∴，
∴．
（2）證明：連接，過點P作于H．
∵是等邊的高，
∴是的垂直平分線，
∴，；
∵線段繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∴．
∴垂直平分，即．
在中，，
∴，
∴，
∴．
∴．
（3）解：連接，過點P作于H．
同（2）可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，
∴．
24. 如圖1，拋物線交x軸于，B兩點，交y軸于點C．
（1）直接寫出直線和拋物線的解析式；
（2）設(shè)直線與拋物線交于D，E兩點（D在E左邊），與射線交于點F，若，求m的值；
（3）如圖2，點M在第四象限的拋物線上運動，點N與點M關(guān)于y軸對稱，直線分別交直線，x軸于P，Q，G三點，若，求t的值．
解：（1）∵拋物線交x軸于，
∴，
∴，
∴，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，或，
∴，B4,0，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，，
∴直線的解析式為．
（2）設(shè)直線與y軸交于點G，
則點F的坐標(biāo)為．
當(dāng)時，
∵，
∴，
∴由中點坐標(biāo)得點E的坐標(biāo)為．
∴，
整理得，
解得或（舍去）；
當(dāng)時，
∵，
∴，
∴點E的坐標(biāo)為．
∴，
整理得，
解得或（舍去）．
綜上所述，m的值為3或．
（3）設(shè)點M的坐標(biāo)為，
則點N的坐標(biāo)為，
而，
設(shè)直線的解析式為，
則，
解得，
∴．
與直線聯(lián)立，
得點P的坐標(biāo)為，
同理，可得直線解析式為：，
點Q的坐標(biāo)為．
當(dāng)時，，
由，
解得；
當(dāng)時，，
由，
解得．

綜上所述，t的值為3或5．

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