1. 在一元二次方程中，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是（ ）
A. 2，1，B. 2，，1C. 2，1，1D. 2，，
【答案】A
【解析】解：一元二次方程為，
二次項(xiàng)系數(shù)是2，一次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)是．
故選：A．
2. 下列圖標(biāo)中，是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；
、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；
、該圖形是中心對(duì)稱圖形，符合題意；
、該圖形不是中心對(duì)稱圖形，不合題意；
故選：．
3. 一元二次方程的根的情況為（ ）
A. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D. 沒有實(shí)數(shù)根
【答案】B
【解析】解： 一元二次方程 ，
∴判別式 ，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選B
4. 關(guān)于拋物線，下列說法正確的是( )
A. 開口向上
B. 對(duì)稱軸是直線
C. 函數(shù)有最小值
D. 可由拋物線向右平移個(gè)單位再向下平移個(gè)單位而得
【答案】B
【解析】解：，，
∴開口向下，故A選項(xiàng)不正確；
對(duì)稱軸為直線，故B選項(xiàng)正確；
頂點(diǎn)坐標(biāo)為，開口向下，則有最大值，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，
由拋物線向右平移個(gè)單位再向下平移個(gè)單位而得，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：B．
5. 如圖，內(nèi)接于，連，若，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：C
6. 如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，若恰好是線段與的交點(diǎn)，且，則的度數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由旋轉(zhuǎn)可知，，
∴．
∴．
故選：B．
7. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)坐標(biāo)，以為圓心，4個(gè)單位長度為半徑作圓，下列正確的是（ ）
A. 原點(diǎn)在內(nèi)B. 原點(diǎn)在上
C. 與軸相切，與軸相交D. 與軸相切，與軸相交
【答案】C
【解析】解：點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為：，
∵，
∴原點(diǎn)在外，
點(diǎn)到x軸的距離為4，到y(tǒng)軸的距離為3，
∵的半徑為4，
∴與軸相切，與軸相交．
故選：C．
8. 已知拋物線上有三個(gè)點(diǎn)，，，若，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：拋物線的解析式為，
拋物線的開口向上，拋物線的對(duì)稱軸為直線，
拋物線上的點(diǎn)離直線越遠(yuǎn)函數(shù)值越大，
拋物線上有三個(gè)點(diǎn)，，，且，，，
，
∴，
故選：D．
9. 如圖，四邊形內(nèi)接于，，，的直徑為10，四邊形的周長為，的長為，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：過點(diǎn)作交的延長線于，連接，如圖所示：
四邊形內(nèi)接于，，，
為的直徑，是等腰直角三角形，
，，
,
,
,
，，
，
等腰直角三角形，
，，
∴，
，，
，
，，
，，
，
在和中，
,
，
，
，
，
故選：B．
10. 在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖象記為，將繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到圖象，把和合起來的圖形記為圖形．則當(dāng)時(shí)，直線與圖形的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（ ）
A. 2B. 4C. 2或3D. 3或4
【答案】B
【解析】解：當(dāng)x=0時(shí)，，直線與軸的交點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，，
解得，x=-1，
∴直線與軸的交點(diǎn)為，
由題意知，：，
∴的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∵，
∴，
如圖，
由題意知，與直線有2個(gè)交點(diǎn)，
將繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到圖象，則的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴：；
∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，與軸交點(diǎn)為頂點(diǎn)，：；
聯(lián)立得，，
∵，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴與直線有2個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，的頂點(diǎn)在第二象限，與直線有2個(gè)交點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，與直線有2個(gè)交點(diǎn)，
綜上所述，直線與圖形的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是4個(gè)，
故選：B．
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11. 點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_________．
【答案】
【解析】解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是．
故答案為：．
12. 某航空公司有若干個(gè)飛機(jī)場，每兩個(gè)飛機(jī)場之間都開辟了一條航線，一共開辟了條航線，這個(gè)航空公司共有______個(gè)飛機(jī)場．
【答案】
【解析】解：設(shè)航空公司一共有個(gè)機(jī)場，
根據(jù)題意可得：，
整理得：，
分解因式可得：，
解得：，(舍去)，
答：這個(gè)航空公司共有個(gè)飛機(jī)場．
故答案為：．
13. 若關(guān)于方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則的值是______．
【答案】2
【解析】解：設(shè)，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，
∴，
∴．
故答案為：2．
14. 《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之、深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”用幾何語言表達(dá)為：如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，寸，寸，則直徑長為_______寸．
【答案】26
【解析】解：設(shè)寸，則寸，
，是直徑，
寸，
在中，由勾股定理得，
，
，
寸，
故答案為：26．
15. 已知拋物線（為常數(shù)，）經(jīng)過點(diǎn)，，且，則下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（且），則；④若，拋物線過點(diǎn)，且，則．其中正確的結(jié)論是______（填序號(hào)）．
【答案】①②④
【解析】解：∵，
∴過，
∵，過點(diǎn)，，
∴函數(shù)的大致圖象如下兩種情況：
由函數(shù)圖象可得，故①正確；
由函數(shù)圖象可得當(dāng)時(shí)，，
∵，
∴，
∴，
故②正確；
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（且），可以看成拋物線與交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
有函數(shù)圖象可得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故③錯(cuò)誤；
∵拋物線過點(diǎn)0,1，
∴，
∴，整理得，，
∴，
∵拋物線過點(diǎn)，，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
∵，
∴，即，
∵，
∴解得，
∴，
故④正確；
綜上所述，正確的有①②④，
故答案為：①②④．
16. 如圖，已知，均為等腰直角三角形，，為中點(diǎn)，的延長線交線段于點(diǎn)，連接．若，，則______．
【答案】
【解析】解：如圖，連接，，在上取一點(diǎn)O，使，連接，，
∵A為的中點(diǎn)，為等腰直角三角形，，
∴，
∴，
又∵為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得，
∴．
故答案為：．
三、解答題（共8小題，共72分）
17. 解方程：.
解：，，，
，
，
，．
18. 如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為．與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊運(yùn)動(dòng)，速度為．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，的面積為．
（1）用含的代數(shù)式表示：______cm，______cm；
（2）當(dāng)為何值時(shí)？
解：（1）根據(jù)題意，，，
∴，
故答案為：t，；
（2）∵，
，
，
，
或
，
，
．
19. 二次函數(shù)中的的部分取值如下表：根據(jù)表中數(shù)據(jù)填空：
（1）該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是______；
（2）該函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是______；
（3）當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______；
（4）不等式的解集是______．
解：（1）∵，在拋物線上，
∴該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線；
（2）∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：或；
（3）∵拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為：或；
∴設(shè)拋物線為，
把代入可得：，
解得：，
∴拋物線為：，
∴拋物線的開口向上，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)最小值為，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；
（3）如圖，拋物線與直線的圖象如下：

不等式的解集是或．
20. 如圖，已知直線交于兩點(diǎn)，為的直徑，為上一點(diǎn)，平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)．
（1）求證：為的切線；
（2）若已知的半徑為5，且，求的長．
解：（1）證明：如圖，連接，
平分，
，
，
，
，
，
又，
，
為的切線；
（2）解：過點(diǎn)作垂直于于點(diǎn)，
設(shè)，則
，
點(diǎn)為中點(diǎn)，
，
四邊形為矩形，
，
，，，
在中，
，
解得或，
或2，
或4，
或8．
21. 如圖是由小正方形組成的的網(wǎng)格，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，，，，，五個(gè)點(diǎn)均為格點(diǎn)，是線段與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，每個(gè)畫圖任務(wù)的畫線不得超過三條．
（1）在圖（1）中，若點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，畫點(diǎn)；
（2）在圖（1）中，若點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)，畫點(diǎn)；
（3）在圖（2）中，在線段上畫點(diǎn)，使；
（4）在圖（2）中，畫滿足條件的格點(diǎn)，使．
解：（1）如圖所示，連接，根據(jù)網(wǎng)格畫出的中點(diǎn)即為所求，
（2）如圖所示，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，再找到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（與網(wǎng)格線的交點(diǎn)），
（3）如圖所示，連接，交于點(diǎn)，則即為所求；
連接，
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
又∵
∴
∴是直角三角形，，
∴四點(diǎn)共圓，
∴，
設(shè)
∴，，
∴點(diǎn)即為所求；
（4）如圖所示，找到上格點(diǎn)（的中點(diǎn)）以及關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)即為所求.
如圖所示，連接，
由（3）可得四點(diǎn)共圓，，則為直徑，
又為的中點(diǎn)，即為圓心，
∴
根據(jù)對(duì)稱性可得
22. 在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)上，全紅嬋憑借總分425.60分的成績蟬聯(lián)奧運(yùn)會(huì)女子10米跳臺(tái)的冠軍，成為中國奧運(yùn)史上最年輕的三金王．在進(jìn)行跳水訓(xùn)練時(shí)，運(yùn)動(dòng)員身體（視作一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線可視作一條拋物線，如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系．已知為3米，為10米，跳水曲線在離起跳點(diǎn)水平距離為0.5米時(shí)達(dá)到距水面最大垂直高度米．

（1）當(dāng)時(shí)，
①求這條拋物線的解析式；
②求運(yùn)動(dòng)員落水點(diǎn)與點(diǎn)的距離；
（2）圖中米，米，若跳水運(yùn)動(dòng)員在區(qū)域內(nèi)（含點(diǎn)）入水時(shí)才能達(dá)到訓(xùn)練要求，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．
解：（1）①由題意，可知，，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)拋物線的解析式為：，
把代入，得：，
∴，
∴；
②當(dāng)時(shí)，，
解得：（舍去）；
∴落水點(diǎn)的坐標(biāo)為：，
∵，
∴運(yùn)動(dòng)員落水點(diǎn)與點(diǎn)的距離為米；
（2）設(shè)拋物線的解析式為：，把，代入，得：
，
∴，
∴，
當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，，解得：；
當(dāng)拋物線過點(diǎn)時(shí)，，解得：；
∴．
23. 如圖，在中，，，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)．
（1）如圖（1），，，連接，求證：；
（2）如圖（2），為的中點(diǎn)，若，，，求線段的長；
（3）如圖（3），在（2）的條件下，若點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，，連，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連，請(qǐng)直接寫出的最大值．
解：（1）證明：，
，
，
，
，
；
（2）解：如圖所示，作使得，連接，延長至點(diǎn)，使得，連接，
同（1）可得，
∴，
∵，則，
如圖所示過點(diǎn)作，則，
∴，
∴，
∵是的中點(diǎn)，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，則，
在中，，
如圖所示，作交直線于點(diǎn)，
∴，則，
∴，，
在中，，
∴，
∴；
（3）如圖所示，延長至，使得，連接，
由（2）可得，，則，
∴，
又∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴是等邊三角形，
∴，
依題意，如圖所示，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，，
∵將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，即點(diǎn)在為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∴，即點(diǎn)在為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∵，
∴，
∴的最大值為.
24. 已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（1），為拋物線上第一象限內(nèi)一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），為軸上方一動(dòng)點(diǎn)，直線與拋物線均只有唯一公共點(diǎn)，于點(diǎn)，且的面積是10，求線段長度的最大值．
解：（1）代入，得：，
解得：，
拋物線的解析式為：．
（2）如圖，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，則，
設(shè)，則，
軸，
軸，
，
，
，
，
又，
，
，
又，，
，
，
，
，
解得：（舍），，
點(diǎn)的坐標(biāo)為．
（3）設(shè)，，
設(shè)的解析式為，
代入得，，
，
，
聯(lián)立，
消去整理得：，
與拋物線只有唯一公共點(diǎn)，
，
整理得：，
解得：，
，
同理可得，，
聯(lián)立與可得交點(diǎn)；
，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
即經(jīng)過定點(diǎn)，
，
，
當(dāng)時(shí)，長度有最大值，
線段長度的最大值為．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
m
n
0
…

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