1. 一元二次方程化成一般形式后，常數(shù)項(xiàng)是，一次項(xiàng)系數(shù)是（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】D
【解析】解：一元二次方程化成一般形式為，
故一次項(xiàng)系數(shù)為，
故選：D．
2. 2024年7月27日，第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)在法國(guó)巴黎舉行，如圖所示巴黎奧運(yùn)會(huì)項(xiàng)目圖標(biāo)中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：A、圖形既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、圖形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、圖形既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、圖形既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
3. 在下列拋物線中，其頂點(diǎn)是的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：、∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)為，該選項(xiàng)不合題意；
、∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)為，該選項(xiàng)不合題意；
、∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)為，該選項(xiàng)符合題意；
、∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)為，該選項(xiàng)不合題意；
故選：．
4. 若，是一元二次方程的兩個(gè)根，則的值是（ ）
A. 3B. C. 15D.
【答案】D
【解析】解：∵，是一元二次方程的兩個(gè)根，
∴，
故選：D．
5. 如圖，都是上的點(diǎn)，若，則（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：．
6. 為紀(jì)念抗美援朝戰(zhàn)爭(zhēng)勝利周年拍攝了《志愿軍》三部曲．《志愿軍：存亡之戰(zhàn)》第一天全國(guó)票房為億元，三天后票房收入累計(jì)達(dá)億元，若把每天票房的平均增長(zhǎng)率記作，則方程可以列為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：若把每天票房的平均增長(zhǎng)率記作，
由題意得，，
故選：．
7. 如圖，在中，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，若點(diǎn)恰好落在邊上，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，若點(diǎn)恰好落在邊上，
，，
，
.
，
，
．
在中，，
．
故選：C．
8. 已知為方程的兩根，則代數(shù)式的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵為方程的兩根，
∴，，，
∴，
∴，
故選：．
9. 二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，且，則的大小關(guān)系是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】B
【解析】解：∵，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∵，
∴點(diǎn)到對(duì)稱軸的水平距離小于點(diǎn)到對(duì)稱軸的水平距離，點(diǎn)離對(duì)稱軸是水平距離最遠(yuǎn)，
若，拋物線開(kāi)口向上，拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸的水平距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，
∴，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)正確；
若，拋物線開(kāi)口向下，拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸的水平距離越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，
∴，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：．
10. 如圖，在中，，邊與軸平行且，現(xiàn)將以為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則經(jīng)過(guò)次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：在中，，，
∴，
∴，
由題意可知，以為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則每6次旋轉(zhuǎn)1周．…2，
如圖，以為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過(guò)次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)D的位置，則過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，
∴，
∴，
∴，
∵
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是，
故選：A
二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）
11. 點(diǎn)P（﹣2，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是______．
【答案】（2，﹣1）
【解析】點(diǎn)P（﹣2，1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，﹣1），
故答案為（2，﹣1）．
12. 關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】解：∵有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：．
故答案為：．
13. 將拋物線先向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得拋物線的解析式為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】解：將拋物線先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得：，
故答案為：．
14. 如圖，為的直徑，且，弦于點(diǎn)，將沿翻折后交于點(diǎn)，若為中點(diǎn)，則______．
【答案】
【解析】解：連接，
為的直徑，且，
，
為中點(diǎn)，
，
將沿翻折后交于點(diǎn)，
,
,
,
,
弦于點(diǎn)，
,
．
故答案為：．
15. 如圖是拋物線是常數(shù)，且的一部分，其對(duì)稱軸是直線，且與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，有下列結(jié)論：①：②；③若，則；④若，且，則．其中正確的結(jié)論有______．
【答案】①②
【解析】解：由圖象知，
∵對(duì)稱軸是直線x=1,
,
,
，①正確；
∵,
∴，
由圖象可知，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
則，
∴，
∴，
∵，
∴，
則，
故②正確；
，
,
∴對(duì)于函數(shù)，
當(dāng)時(shí)的函數(shù)值應(yīng)小于當(dāng)時(shí)的函數(shù)值．
，拋物線的對(duì)稱軸是直線，
又此時(shí)拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越大，
,
∴或，
故③錯(cuò)誤．
∵且，，
∴且，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴，
故④錯(cuò)誤；
綜上，正確的有①②．
故答案為：①②
16. 如圖，在等腰Rt中，，點(diǎn)為內(nèi)部一點(diǎn)，連接、、，若，則的面積為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】解：等腰中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
把繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，連接，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
在Rt中，，
即，
解得：或（舍去）
∴，，
∴．
三、解答題（共8大題，共72分）
17. 解方程：．
解：，即，
則，，，
∴，
∴，
∴，．
18. 如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，此時(shí)A、B、D三點(diǎn)共線．
（1）求的大??；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
解：（1）由旋轉(zhuǎn)可知，，，
∵A、B、D三點(diǎn)共線，
∴，
即：；
（2）由旋轉(zhuǎn)可知，，，，
則，
由勾股定理可得：，
∴．
19. 如圖，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)．
（1）求證：AC＝BD；
（2）連接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的長(zhǎng)．
解：（1）證明：過(guò)O作OH⊥CD于H，如圖1所示：
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH，AH＝BH，
∴AH﹣CH＝BH﹣DH，
∴AC＝BD；
（2）解：過(guò)O作OH⊥CD于H，連接OD，如圖2所示：
則CH＝DH＝CD，
∵OC＝OD，∠OCD＝60°，
∴△OCD是等邊三角形，
∴CD＝OC＝4，
∴CH＝2，
∴OH＝＝＝2，
∴AH＝＝＝2，
∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．
20. 如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)，．
（1）求拋物線解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于D，E兩點(diǎn)，求的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______．
解：（1）把，代入得：，
解得：，
拋物線的解析式為；
（2）把點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入得：，
解得：，，
則長(zhǎng)；
（3）由（2）和圖象知：當(dāng)時(shí)，的取值范圍是或，
故答案為：或．
21. 如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫(huà)圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的輔助線不得超過(guò)三條（畫(huà)圖過(guò)程用虛線表示，畫(huà)圖結(jié)果用實(shí)線表示）．
（1）在圖1中，過(guò)點(diǎn)作于；
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，在射線上取點(diǎn)，使；
（3）在圖2中，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，畫(huà)出線段；
（4）在（3）的基礎(chǔ)上，連接交于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，畫(huà)對(duì)應(yīng)線段（點(diǎn)A與點(diǎn)對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)應(yīng)）．
解：（1）如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，則是的中位線．
理由如下：延長(zhǎng)使得，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
則，
又∵，即，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，則，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，
∴是的中位線．
如圖，取格點(diǎn)，連接，交于，
取格點(diǎn)，可知，，，
∴，
∴，
∵，則，
∴，
故，點(diǎn)即為所求；
（2）如圖，取格點(diǎn)，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，
由網(wǎng)格的特點(diǎn)可知，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
則由引理可知，為的中位線，
∴，，
∴點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，
∴，
故，點(diǎn)即為所求；
（3）如圖，取格點(diǎn)，連接，即為所求；
（4）如圖，連接交于，取格點(diǎn)，，連接，，交于，
由網(wǎng)格的特點(diǎn)可知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
則由引理可知，為的中位線，
∴，
取格點(diǎn)，，連接交于，連接，
同理可知，，由，可知，
∴，
故，即所求．
22. 小武同學(xué)經(jīng)常運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)羽毛球比賽進(jìn)行技術(shù)分析，下面是他對(duì)擊球線路的分析．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C在軸上，球網(wǎng)與軸的水平距離，擊球點(diǎn)在軸上．若選擇吊球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足二次函數(shù)關(guān)系；若選擇扣球，羽毛球的飛行高度與水平距離近似滿足一次函數(shù)關(guān)系，且扣球時(shí)當(dāng)羽毛球的水平距離為時(shí)，飛行高度為．
（1）求a，b的值；
（2）小武經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，若選擇扣球的方式，剛好能使球過(guò)網(wǎng)，求球網(wǎng)的高度．并通過(guò)計(jì)算判斷如果選擇吊球的方式能否使球過(guò)網(wǎng)（羽毛球過(guò)點(diǎn)B算過(guò)網(wǎng)）；
（3）通過(guò)對(duì)本次訓(xùn)練進(jìn)行分析，若擊球高度下降，球飛行軌跡的拋物線也向下平移，在吊球路線的形狀保持不變的情況下，直接寫(xiě)出他應(yīng)該再向正前方移動(dòng)______米接球，才能讓羽毛球剛好落在點(diǎn)C正上方處．
解：（1）∵扣球時(shí)，當(dāng)羽毛球的水平距離為時(shí)，飛行高度為，
∴，解得，
∴一次函數(shù)解析式為；
當(dāng)時(shí)，，
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
∴，
解得或（舍去）；
（2）令中，則，
∴球網(wǎng)的高度為，
選擇吊球，二次函數(shù)，
∴選擇吊球的方式也剛好能使球過(guò)網(wǎng)；
（3）∵吊球路線的形狀保持不變，擊球高度下降，
設(shè)向前移動(dòng)m米，則二次函數(shù)解析式為，此時(shí)的擊球點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將點(diǎn)及擊球點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
得，
解得（舍去），
∴他應(yīng)該向正前方移動(dòng)1.5米吊球，才能讓羽毛球剛好落在點(diǎn)C正上方處．
23. 在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得．
（1）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得，求的大小；
（2）如圖，CD交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)是中點(diǎn)；
（3）在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，線段長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_____．
解：（1）解：∵，，
∴，
由旋轉(zhuǎn)得，，，，
∴，
∴；
（2）證明：過(guò)點(diǎn)作交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)是中點(diǎn)；
（3）解：在中，，，
∴，
∴，
取的中點(diǎn)，連接，
在中，，
∴，
∵為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
∴，
∵（僅當(dāng)點(diǎn)三點(diǎn)共線時(shí)相等），
∴，
∴線段長(zhǎng)度的最大值為，
故答案為：．
24. 拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，與軸交于點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接、，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A，B），過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)，連接．求面積的最大值．
（3）如圖2，是定直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，直線交拋物線于點(diǎn)．直線交拋物線于點(diǎn)，連接，直線是否會(huì)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出這個(gè)定點(diǎn)．若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解：（1）由題意可得：對(duì)稱軸為直線，
∴，
∵拋物線過(guò)點(diǎn)，
∴，可得，
∴拋物線的解析式為：；
（2）當(dāng)時(shí)，，解得：，，
即：，，
當(dāng)時(shí)，，即：，
設(shè)直線的解析式為：，可得，解得：，
∴直線的解析式為：，
同理可得直線的解析式為：，
設(shè)點(diǎn)，
∵，
∴設(shè)直線的解析式為：，
代入，得，解得：，
∴直線的解析式為：，
聯(lián)立得，解得：，
∴，
則
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值；
（3）過(guò)定點(diǎn)，理由如下：
設(shè)點(diǎn)，，
設(shè)直線的解析式為：，代入，，
有，解得：，
即直線的解析式為：，
同理：直線的解析式為：，
直線的解析式為：，
∵直線，交點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，
∴，
解①得：，解②得，
即：，整理得：，
即：直線的解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
即：直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

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