(考試時間:120分鐘 滿分:150分)
命題人：蓋尾中學(xué) 郭志龍 審題人：度尾中學(xué) 林俊喜
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求. 請把答案填在答題卷的相應(yīng)位置.
1. 經(jīng)過點（1，－1）且一個方向向量為（1，）的直線l的方程是（ ）
A. 3x+2y－1＝0B. 3x+2y+1＝0 C. 2x+3y+1＝0D. x－2y－3＝0
【答案】A
【分析】根據(jù)直線的方向向量求出直線的斜率k的值，代入點斜式方程，求出直線方程即可.
【詳解】直線l的一個方向向量為（1，），且經(jīng)過（1，－1），故直線l的斜率k＝，故直線方程為：y+1＝（x－1），即3x+2y－1＝0，故選：A.
2. 圓與圓的位置關(guān)系是（ ）
A. 內(nèi)切 B. 外切C. 相交 D. 相離
【答案】C
【分析】求出圓心距，與兩半徑的和差比較可得．
【詳解】圓心，圓心為，半徑為，
圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為．
，顯然，所以兩圓相交．故選：C．
3. 已知直線與平行，則實數(shù)a的值為
A. －1或2 B. 0或2 C. 2 D. －1
【答案】D
【分析】根據(jù)兩直線平行，列方程，求的a的值.
【詳解】已知兩直線平行，可得a?a -（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．經(jīng)過驗證可得：a=2時兩條直線重合，舍去．∴a=-1．故選D
【點睛】對于直線 若直
4 等差數(shù)列中，則公差（ ）
A. 4B. 3C. -4D. -3
【答案】B
【分析】利用等差數(shù)列的通項公式進行求解即可.
【詳解】在等差數(shù)列中，
所以有．故選：B．
5.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人第三天走的路程為（ ）
A．12里 B．24里 C．48里D．96里
【答案】C
【解析】由題意可得，此人天中每天走的路程是公比為的等比數(shù)列，設(shè)這個數(shù)列為，前項和為，
則，解得，
所以，即該人第三天走的路程為48里.
故選：C.
6. 已知數(shù)列an，，且，則（ ）
A. B. 2C. ?2D.
【答案】A
【分析】根據(jù)遞推公式，可得數(shù)列an是周期為的數(shù)列，從而可解.
【詳解】根據(jù)題意，，
則，
所以數(shù)列an是周期為的數(shù)列，
則.故選：A
7. 已知正項等比數(shù)列，若=9，則（ ）
A. 6B. 12C. 15D. 18
【答案】B
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由可得，由于，所以，
故選：B.
8. 已知點，點M是圓上的動點，則的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】易知點為圓外一點，利用點到圓心的距離加半徑，即為的最大值.
【詳解】將代入，得，
所以點為圓外一點，易知圓心坐標(biāo)，半徑，
所以，
則的最大值為：，
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分. 請把答案填在答題卷的相應(yīng)位置.
9. 設(shè)數(shù)列an的前n項和為，已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B. 數(shù)列an為等比數(shù)列
C.
D. 若，則數(shù)列bn的前10項和為
【答案】BD
【分析】根據(jù)題意，可得，所以數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，依次可判斷A、B、C，再由裂項相消法判斷D.
【詳解】當(dāng)時，由，得，解得，
當(dāng)時，，
即，
即數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
則，，，所以A、C錯誤，B正確；
又，
數(shù)列bn的前10項和為：
，D正確.
故選：BD
10. 已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則下列說法正確的是（ ）
A. 圓的圓心為B. 點在圓內(nèi)
C. 圓半徑為5D. 點在圓內(nèi)
【答案】ABC
【分析】根據(jù)給定圓方程，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系逐項判斷作答.
【詳解】圓圓心為，半徑為5，AC正確；
由，得點在圓內(nèi)，B正確；
由，得點在圓外，D錯誤.
故選：ABC
11. 設(shè)等差數(shù)列的前n項的和為，公差為d，已知，，，則（ ）
A. B.
C. D. 當(dāng)時，n的最小值為13
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列前n項和公式依次分析選項，結(jié)合基本量的運算即可得到答案.
【詳解】對于A，，A正確；
對于B，，即，
又，解得，B錯誤；
對于C，由，得，C正確；
對于D，由選項C知，an是遞減數(shù)列，，而，
因此當(dāng)時，n的最小值為13，D正確.
故選：ACD
三.填空題（本題共3小題，每題5分，共15分）
12. 點到直線：的距離是______
【答案】
【分析】直接代入點到直線的距離公式求解即可.
【詳解】點到直線：的距離是.
故答案為：.
13.數(shù)列的前項和記為，若，則______.
【答案】
14. 求過點且與圓相切的直線方程為______.
【答案】x＝4或3x+4y＝0
四、解答題：本題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 請把答案填在答題卷的相應(yīng)位置.
15. 已知，在中，
（1）求邊的方程；
（2）求邊上的中線所在直線的方程．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】（1）直接由直線的兩點式方程化簡得.
（2）首先得中點，然后結(jié)合點坐標(biāo)，由兩點式化一般式即可得解.
【小問1詳解】
邊過兩點
由兩點式，得， ……3分
即，……6分
故邊的方程是．……7分
【小問2詳解】
設(shè)的中點為，
則，， ……9分
所以，……10分
又邊的中線過點，
所以，即，……14分
所以邊上的中線所在直線的方程為．……15分
16.已知數(shù)列滿足，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，數(shù)列為以為公差，以為首項的等差數(shù)列，即可得通項公式；
（2）利用裂項相消法求和.
【小問1詳解】
根據(jù)題意，數(shù)列滿足，
即，
所以根據(jù)題意，數(shù)列為以為公差的等差數(shù)列，
又，則，……3分
所以；……7分
【小問2詳解】
根據(jù)題意，，……10分
所以數(shù)列的前n項和為：.
……15分
17. 若圓C經(jīng)過點和，且圓心在x軸上，則：
（1）求圓C的方程．
（2）直線與圓C交于E、F兩點，求線段的長度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由圓心既在線段的垂直平分線上，又在x軸上，可聯(lián)立直線方程求圓心，進而得半徑與圓的方程；
（2）利用幾何法，先求圓心到直線的距離，再利用勾股定理求半弦長即可得.
【小問1詳解】
因為和，線段的中點為0,2，且，……3分
則的垂直平分線方程為，由圓的性質(zhì)可知，圓心在該直線上，
又已知圓心在軸上，令，得，……5分
故圓心為，半徑，……7分
7則圓圓C的方程為.……8分
【小問2詳解】
由圓心2,0到直線的距離……10分
，.……14分
故線段的長度為.……15分

18.已知數(shù)列的前項和為，且滿足．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)已知，求數(shù)列的前項和．
【解析】（1）因為，即，則，
兩式相減并整理得，則，
兩式相減整理得，
所以數(shù)列為等差數(shù)列．……3分
當(dāng)時，，所以．
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為，解得，……5分
所以．……7分
（2）由（1）可得，則，……9分
則可得所以．
……15分
19.已知數(shù)列an，對于任意的n∈N*，都有an+an+2>2an+1，則稱數(shù)列an為“凹數(shù)列”．
(1)判斷數(shù)列an=2n是否為“凹數(shù)列”，請說明理由；
(2)已知等差數(shù)列bn，首項為4，公差為d，且bnn為“凹數(shù)列”，求d的取值范圍；
(3)證明：數(shù)列cn為“凹數(shù)列”的充要條件是“對于任意的k,m,n∈N*，當(dāng)k2an+1，數(shù)列2n是“凹數(shù)列”．…5分
（2）因為等差數(shù)列bn的公差為d,b1=4，
所以bn=b1+n?1d=4+n?1d，……7分
因為數(shù)列bnn是凹數(shù)列，
所以bn?1n?1+bn+1n+1>2×bnn對任意n≥2,n∈N*恒成立，
即4+n?2dn?1+4+ndn+1>2×4+n?1dn，
所以d+4?dn?1+d+4?dn+1>2d+4?dn，即4?d1n?1+1n+1?2n>0，
因為1n?1+1n+1?2n=2nn2?1?2n=2nn2?1>0，
解得d2cn+1，即cn+2?cn+1>cn+1?cn，
所以對任意的k,m,n∈N*，當(dāng)kcm+1?cm，
又cm?ck=cm?cm?1+cm?1?cm?2+?+ck+1?ck

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