考生須知：
1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘．
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數字．
3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．
4．考試結束后，只需上交答題紙．
選擇題部分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知直線過點，，則直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題可得：，所以直線的傾斜角為：；
故選：C
2. 直線：與直線：的距離是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】直線：化為，
又直線：，所以，
所以直線與直線的距離是.
故選：A.
3. “”是“曲線表示橢圓”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因為曲線為橢圓，
所以，解得且，
所以“”是“且”的必要而不充分條件.
故選：B
4. 如圖，空間四邊形中，，，，點在線段上，且，點為的中點，則（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由題可知，
故選：A
5. 在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意可知， 三線兩兩垂直，所以可建立空間直角坐標系，如圖所示： 則A0,0,0，．
∴．
∴．
異面直線與所成角的余弦值為．
故選：C．
6. 已知點，，，圓，一條光線從點發(fā)出，經直線反射到圓上的最短路程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直線方程為，即，設點關于直線的對稱點為，則，解得，故，
圓心為，半徑為，故，
因此過經過反射在處，由于，
故光線從點發(fā)出，經直線反射到圓上的最短路程為，故選：B
7. 已知直線：與圓：，過直線上的任意一點作圓的切線，，切點分別為A，，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑為1，
則圓心到直線的距離為，可知直線與圓相離，
因為，且，
當OP最小時，則最大，可得最大，即最大，
又因為OP的最小值即為圓心到直線的距離為，
此時，所以取得最大值．故選：C．
8. 設橢圓的兩個焦點是,,過點的直線與橢圓交于點，若，且，則橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】連接，如下圖所示：
由橢圓定義，以及已知條件，可得：
，
在和中，由余弦定理可得：
，
代值整理可得：
，
，
則離心率.
故選：B.
二、選擇題：本題共三小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分．
9. 已知F1，F2分別是橢圓C：的左，右焦點，P為橢圓C上異于長軸端點的動點，則下列結論正確的是（ ）
A. 的周長為10B. 面積的最大值為
C. 橢圓C的焦距為6D. 橢圓C的離心率為
【答案】AB
【解析】對A，因為橢圓C：，
的周長為，故A正確；
對B，因為，面積最大時高最大，為，
所以面積的最大值為，故B正確；
對C，橢圓C的焦距為，故C錯誤；
對D，橢圓C的離心率為，故D錯誤；
故選：AB
10. 已知圓與圓交于，兩點，則（ ）
A. 兩圓的公切線有2條
B. 直線方程為
C.
D. 動點在圓上，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】由題意可知，，
故，故兩圓相交，公切線有2條，A正確，
與圓相減可得，
故直線方程為，B正確，
到直線的距離為，故，故C錯誤，
可看作是圓上的一個點到點的距離的平方，
故最大值為，D正確，
故選：ABD
11. 如圖，已知正方體的棱長為2，點，在四邊形所在的平面內，若，，則下述結論正確的是（ ）
A. 二面角的平面角的正切值為2
B.
C. 點的軌跡是一個圓
D. 直線與平面所成角的正弦值的最大值為
【答案】BCD
【解析】對于A,連接相交于，連接,
由于且，故
因此為二面角的平面角，故,故A錯誤，
對于C：在正方體中，平面，平面，所以，
故，則有，
所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，故選項C正確；
對于B：在正方體中，平面平面，且兩平面交線為,平面，故平面，
因為，則平面，故在上，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為點的軌跡是線段，設，則,,，
則,0,，,0,，,0,，,2,，,，
則,,，,故，
進而可得，故，B正確，
又,0,，,2,，,,，
設平面的一個法向量為,,，
則有，即，令，則，，
故平面的一個法向量為,1,，
設與平面所成的角為，
則,，
當時，有最大值，
故與平面所成角的正弦值的最大值，故D正確．
故選：BCD．
非選擇題部分
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. ，，，則________．
【答案】
【解析】，解得，故，
故答案為：
13. 已知正四面體的棱長為1，空間中一點滿足，其中，，，且.則的最小值______．
【答案】
【解析】由，且，
可知與，，共面，則的最小值為三棱錐的高，
設為在平面上的射影，連接并延長交于點，
則，所以，所以，
所以三棱錐的高為．故答案為：
14. 已知點P是橢圓上一動點,Q是圓上一動點,點，則|PQ|－|PM|的最大值為______.
【答案】6
【解析】如圖所示：
由，得，
則，所以橢圓的左，右焦點坐標分別為，，
則圓的圓心為橢圓的左焦點，
由橢圓的定義得，
所以，
又，
所以，
，
故答案為：6.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫成文字說明，證明過程或驗算步驟．
15. 已知直線經過點．
（1）若與直線：垂直，求的方程；
（2）若在兩坐標軸上的截距相等，求的方程．
解：（1）由題可知，的斜率為，
設的斜率為，因為，
所以，
則，
又經過點，所以的方程為，即；
（2）若在兩坐標軸上的截距為0，即經過原點，設的方程為，
將代入解析式得，解得，
故的方程為，
若在兩坐標軸上的截距不為0，則設的方程為，
由，得，
故的方程為，
綜上，的方程為或.
16. 已知直線與圓交于兩點，點圓上運動．
（1）當時，求；
（2）已知點，求的中點的軌跡方程．
解：（1）由題意可知：圓的圓心，半徑，
則圓心到直線的距離，
可得，解得.
（2）設，
因為點，且為的中點，
則，
又因為點在圓上，
則，
整理得，
所以點的軌跡方程為.
17. 在直三棱柱中,D、E分別是、的中點,，，.
（1）求證：平面；
（2）求點E到平面的距離.
解：（1）因為為直三棱柱，
則平面，且，
以的原點，分別為軸，軸，軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
因為，，且，分別是，的中點，
則，
所以,，
設平面的法向量為，
則，
則，
取，則，
則平面的一個法向量為，
因為平面，且，
則平面.
（2）由（1）可知，平面的一個法向量為，
且，
則點到平面的距離.
18. 如圖，已知等腰梯形中，，，是的中點，，將沿著翻折成，使平面平面.

(1)求證：平面；
(2)求與平面所成的角；
(3)在線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
解：(1)因為，是的中點，
所以，
故四邊形是菱形，
從而，
所以沿著翻折成后，，,
又因為，
所以平面，
由題意，易知，，
所以四邊形是平行四邊形，故，
所以平面；
(2)因為平面，
所以與平面所成的角為，
由已知條件，可知，，
所以是正三角形，所以，
所以與平面所成的角為30°；
(3)假設線段上是存在點，使得平面，
過點作交于，連結，，如下圖：
所以，所以，，， 四點共面，
又因為平面，所以，
所以四邊形為平行四邊形，故，所以為中點，
故在線段上存在點，使得平面，且.
19. 已知、分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點，點在橢圓上，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設為橢圓的左頂點,過點的直線交橢圓于、兩點，，求直線的方程．
（3）若過橢圓上一點Px0,y0切線方程為，利用上述結論，設是從橢圓中心到橢圓在點處切線的距離，當在橢圓上運動時，判斷是否為定值．若是求出定值，若不是說明理由．
解：（1）設，，，故，
點在橢圓上，則，
，故得，即
解得，
故橢圓的方程為．
（2）由（1）知，，，若直線的斜率不存在，
則，代入橢圓方程可得，故，
此時,故直線有斜率，

直線的斜率為，則的方程為，
由消去得，，①
顯然，設,，,，則，
于是，
,
化簡可得，即，解得，
所以直線方程為
（3）由于橢圓上一點，的切線方程為．
依題意，設橢圓上的點,，則過點,的切線方程為，
即，原點到切線的距離為
．
由兩點間距離公式可得，，
同理，
則，
故定值．

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