1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.
第I卷（選擇題，共58分）
一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.）
1. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，
故選：C.
2. 橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上一點(diǎn)，若，則（ ）
A. 4B. 3C. 5D. 7
【答案】D
【解析】橢圓的長半軸長，依題意，，而，
所以.
故選：D
3. 已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則邊上的中線所在直線的方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以邊上的中線所在直線的方程為，
整理得.
故選：B
4. 若圓C的圓心為，且被y軸截得的弦長為8，則圓C的一般方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如圖，過點(diǎn) C 作CD⊥AB 于D，依題意， 因?yàn)楣蕓CD|=3，
從而，圓的半徑為 故所求圓的方程為
即
故選：C
5. 圓與圓的公切條數(shù)為（ ）
A. 1條B. 2條C. 3條D. 4條
【答案】B
【解析】的圓心是，半徑，
即，圓心為，半徑，
，，
所以兩圓相交，公切線有條.
故選：B
6. 如圖是某拋物線形拱橋的示意圖，當(dāng)水面處于位置時(shí)，拱頂離水面的高度為2.5m，水面寬度為8m，當(dāng)水面上漲0.9m后，水面的寬度為（ ）

A. 6.4mB. 6mC. 3.2mD. 3m
【答案】A
【解析】以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線的方程為，
依題意可知，拋物線過點(diǎn)，
所以，
所以拋物線方程為，
所以當(dāng)時(shí)，，
解得，所以當(dāng)水面上漲0.9m后，水面的寬度為.
故選：A

7. 空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面方程為,經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下列問題：現(xiàn)給出平面的方程為，經(jīng)過點(diǎn)的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由題設(shè)知：平面的法向量，直線的方向向量，
且平面與直線相交于，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
故選：A
8. 已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線過圓的圓心且與圓交于兩點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，即，
則圓心，半徑為.
橢圓方程，,
則，
則圓心為橢圓的焦點(diǎn)，
由題意的圓的直徑，且
如圖，連接，由題意知為中點(diǎn)，則，
可得
.
點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，
則，，
由，
得.
故選：C
二、多選題（本題共3小題，題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分送對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）
9. 已知直線，（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為
B. 當(dāng)時(shí)，
C. 若，則或
D. 直線始終過定點(diǎn)
【答案】BD
【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，直線：，
故斜率，則傾斜角為120°，故A錯(cuò)誤，
對于B，等價(jià)于，解得，故B正確，
對于C，若，且，故，故C錯(cuò)誤，
對于D，：變形為：，
令且，解得，故恒過，故D正確，
故選：BD
10. 已知直線l：與圓C：，下列說法正確的是（ ）
A. 點(diǎn)在圓C外
B. 直線l與圓C相離
C. 點(diǎn)P為圓C上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線l上的動點(diǎn)，則的取值范圍是
D. 將直線l下移4個(gè)單位后得到直線l＇，則圓C上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線l＇的距離為
【答案】BCD
【解析】因?yàn)閳AC：，所以圓心，半徑
對于A：點(diǎn)A與圓心的距離為，所以點(diǎn)在圓C內(nèi)，故A錯(cuò)；
對于B：圓心到直線l的距離為，所以直線l與圓C相離，故B對；
對于C：有B選項(xiàng)知，圓心到直線l的距離為，則的最小值是，無最大值，則的取值范圍是，故C對；
對于D：直線圓心到直線的距離為是半徑的一半，
如圖所示
則圓C有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為2，故D對；
故選：BCD.
11. 在直三棱柱中，，，，分別為棱和的中點(diǎn)，為棱上的動點(diǎn)，則（ ）
A.
B. 該三棱柱的體積為4
C. 過，，三點(diǎn)截該三棱柱的截面面積為
D. 直線與平面所成角的正切值的最大值為
【答案】ABD
【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則.
對于A，，
因，
，
可得，
因，且兩直線在平面內(nèi)，則有平面，
又為棱上的動點(diǎn)，故，即A正確；
對于B，由題意，該三棱柱的體積為，故B正確；
對于C，如圖，設(shè)經(jīng)過，，三點(diǎn)的截面交于點(diǎn)，連接，
因，平面，平面，則平面，
又平面，故得，即截面為梯形.
因，，
設(shè)梯形的高為，則，解得.
則故C錯(cuò)誤；
對于D，如圖，因平面，平面，則，
又，，且兩直線在平面內(nèi)，故得平面，
故可取平面的法向量為，
又為棱上的動點(diǎn)，可設(shè)，則，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
因，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值為5，此時(shí)取得最大值為，
因，而正弦函數(shù)和正切函數(shù)在上均為增函數(shù)，
故此時(shí)取得最大值為，故D正確.
故選：ABD.
第II卷（非選擇題，共92分）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）
12. 三條直線與相交于一點(diǎn)，則的值為______.
【答案】3
【解析】由，即三條直線交于，
代入，有.
故答案為：3
13. 已知空間中的三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為______．
【答案】
【解析】設(shè)直線的單位方向向量為．
則，
，
，
，
點(diǎn)到直線的距離
故答案為：
14. 已知雙曲線的左焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在的右支上存在關(guān)于軸對稱的兩點(diǎn)，使得為正三角形，且，則的離心率為__________.
【答案】
【解析】由題意知，為正三角形，且，關(guān)于軸對稱，
所以，且，
所以，，
由余弦定理得
，
由雙曲線定義得，即，
所以.
故答案：.
四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
15. 已知，動點(diǎn)滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程.
解：（1）設(shè)，則，，
由，得，
所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）曲線是以為圓心，1為半徑的圓，
過點(diǎn)的直線若斜率不存在，直線方程為，滿足與圓相切；
過點(diǎn)的切線若斜率存在，設(shè)切線方程為，即，
由圓心到直線距離，解得，
則方程為.
過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程為或.
16. 如圖，在四棱錐中，平面，為棱的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若，求平面和平面夾角的余弦值.
解：（1）取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，
所以，且，
又，且，
所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，故，
設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則有，
可取，
因?yàn)檩S垂直平面，
則可取平面的法向量為，
則，
所以平面和平面夾角的余弦值為.
17. 已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率為，虛軸長為4.
（1）求的方程；
（2）直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積是，求直線的方程.
解：（1）由題意可得，解得，
故；
（2）設(shè)，，
由，可得，
則有，
解得且，
，，
，
化簡得，即，
解得或，
故直線的方程為或.
18. 在中，，，，分別是上的點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.
（1）求證：平面；
（2）求與平面所成角的大小；
（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出長度；若不存在，請說明理由.
解：（1）因?yàn)樵谥?，，，且?br>所以，，則折疊后，，
又平面，
所以平面，平面，所以，
又已知，且都在面內(nèi)，所以平面；
（2）由（1），以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?，故?br>由幾何關(guān)系可知，，，，
故，，，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
不妨令，則，，.
設(shè)與平面所成角的大小為，
則有，
設(shè)為與平面所成角，故，
即與平面所成角的大小為；
（3）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為.
在空間直角坐標(biāo)系中，，，，
設(shè)，則，
，
設(shè)平面的法向量為，
則有，即，
不妨令，則，，所以，
設(shè)平面的法向量為，則有，即，
不妨令，則，，所以，
若平面與平面成角余弦值為.
則滿足，
化簡得，解得或，即或，
故在線段上存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為. 此時(shí)的長度為或.
19. 已知圓，點(diǎn)在圓上，過作軸的垂線，垂足為，動點(diǎn)P滿足，設(shè)動點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）斜率存在且不過的直線l與曲線C相交于M、N兩點(diǎn)，BM與BN的斜率之積為.
①證明：直線l過定點(diǎn)；
②求面積的最大值.
解：（1）依題意，設(shè)，
則，
因?yàn)?，所以?br>則，解得，
因?yàn)閳A上，
所以，則，即，
所以曲線的方程為.
（2）①依題意，設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立，消去，得，
則，即，
所以，
則
，
則，
則，
整理得，解得或（此時(shí)直線過點(diǎn)，舍去），
所以直線過定點(diǎn)；
②由①得，，
則，
所以，
令，則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，滿足，
所以面積的最大值為.

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