2024~2025學(xué)年山東省百師聯(lián)考高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
考試時間為120分鐘，滿分150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知直線，設(shè)甲：；乙：，則甲是乙的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】由直線，，當(dāng)兩條直線平行時，解得或，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，
所以甲是乙的必要不充分條件.
故選：B
2. 直線與以點為圓心的圓相交于A，B兩點，且，則圓C的方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】點到直線的距離為，
所以圓C的半徑為，
則圓C的方程為.
故選：A.
3. 與橢圓有相同焦點，且長軸長為的橢圓的方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因為橢圓的焦點坐標(biāo)為，，所以所求橢圓的焦點在軸上，且．因為所求橢圓的長軸長為，即，所以，所以，所以所求橢圓的方程是．
故選：C．
4. 下列說法中，正確的是（）
A. 點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是
B. 若直線的方向向量為，平面的法向量為，則
C. 已知為空間中任意一點，、、、四點共面，且、、、中任意三點不共線，若，則
D. 若直線的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線與平面所成的角為
【答案】B
【解析】對于A選項，點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是，A錯；
對于B選項，若直線的方向向量為，平面的法向量為，
則，所以，B對；
對于C選項，已知為空間中任意一點，、、、四點共面，且、、、中任意三點不共線，
則存在、，
使得，
即，
所以，
所以，，解得，C錯；
對于D選項，若直線的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線與平面所成的角為，D錯.
故選：B.
5. 已知平面，的法向量分別為，，則平面，的夾角的大小為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由向量與，
得，
又，則，所以平面，的夾角的大小為．
故選：C．
6. 記為等差數(shù)列的前項和，若，則（）
A. 240B. 225C. 120D. 30
【答案】A
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為．
因為，，即
解得所以，所以．
故選：A．
7. 已知拋物線，直線過拋物線的焦點且與拋物線交于A，B兩點，若弦的長為8，則直線的方程為（）
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
【答案】B
【解析】由拋物線的方程，得，拋物線的焦點．根據(jù)題意可知直線的斜率存在，且不為0，設(shè)直線的方程為，，．
由消去，整理得，可得，所以．
因為，解得，
所以直線的方程為或．
故選：B．
8. 空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為．已知平面的方程為，直線是平面與平面的交線，則直線與平面所成角的大小為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依題意，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，平面的一個法向量為．
設(shè)直線的方向向量為，
，，，即令，則．
設(shè)直線與平面所成的角為，則，．
故選：B．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知是等差數(shù)列的前項和，，且，則（）
A. 公差B.
C. D. 當(dāng)時，最大
【答案】ACD
【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，得，
整理得，即，
因為，則，故A正確；
，故B錯誤；
，故C正確；
因為，
，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，最大，故D正確.
故選：ACD．
10. 雙曲線：的焦點為，，過的直線與雙曲線的左支相交于兩點，過的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，若四邊形為平行四邊形，則（）
A
B.
C. 平行四邊形各邊所在直線斜率均不為
D.
【答案】BC
【解析】由題意可得，，則，故A錯誤．
由雙曲線的對稱性和平行四邊形的對稱性可知：，
則，B正確．
設(shè)任一邊所在直線為（斜率存在時），聯(lián)立雙曲線，
聯(lián)立得，
則，即，C正確．
由，
設(shè)：；，，，
聯(lián)立得，
∴，，
則
，
設(shè)，
則，
∴，
又單調(diào)遞減，則，∴，
故，D錯誤．
故選：BC
11. 如圖，在正方體中，P為棱的中點，為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法正確的是（）
A. 三棱錐的體積為定值
B. 若平面，則動點的軌跡是一條線段
C. 存在點，使得平面
D. 若直線與平面所成角的正切值為2，那么點的軌跡是以為圓心，半棱長為半徑的圓弧
【答案】ABD
【解析】設(shè)正方體的棱長為．
對選項A，三棱錐的體積即三棱錐的體積，
因為的面積為定值，點到平面的距離為定值，
所以三棱錐的體積為定值．故A正確；
對選項B，如圖，分別取的中點，連接．
由且，知四邊形是平行四邊形，
所以．因為平面平面，所以平面．
同理可得平面，因為平面，
所以平面平面，則點的軌跡為線段，故B正確；
對選項C，以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則．設(shè)，
則．
設(shè)為平面的一個法向量，則
即，得取，則．
若平面，則，即存在，使得，
則，解得，與矛盾，
故不存在點使得平面，故C錯誤；
對于選項D，因為平面，
所以即為直線與平面所成的角．
因為直線與平面所成角的正切值為2，
所以．因為點為正方形內(nèi)一動點（含邊界），
所以點的軌跡是以為圓心，半棱長為半徑的圓?。ㄕ叫蝺?nèi)），
且其圓心角為，故D正確．
故選：ABD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知數(shù)列前項和滿足，則_____.
【答案】10
【解析】由題得.
故答案為：10.
13. 在平行六面體中，，，，點在上，且，用，，表示，則_____．
【答案】
【解析】在平行六面體中，點在上，且，
所以，
故答案為：
14. 已知橢圓，且，直線與橢圓相交于兩點.若點是線段的中點，則橢圓的半焦距__________.
【答案】
【解析】設(shè)，，因為在橢圓上，
所以. 兩式相減得，
即.
因為點是線段的中點，所以，.
斜率，得，即,解得.
當(dāng)時，橢圓方程為，可得，所以.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知直線過點為坐標(biāo)原點．
（1）若直線與直線垂直，求直線的方程；
（2）若點到直線的距離為3，求直線的方程．
解：（1）因為點，所以直線的斜率為．
因為直線與直線垂直，所以直線的斜率為．
又直線過點，則直線點斜式方程為，
整理得．
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時原點到直線的距離為，滿足題意．
當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即．
根據(jù)題意及點到直線的距離公式，得，所以．
兩邊平方，化簡得，解得．
此時直線的方程為，整理得．
綜上，直線的方程為或．
16. 如圖，在四棱柱中,四邊形是正方形，，，點為的中點．
（1）用向量，，表示；
（2）求線段的長及直線與所成角的余弦值．
解：（1）方法一：
由題意知
．
方法二：
因為為的中點，所以．
（2）因為四邊形是正方形，，，
所以，，．
所以
，
即線段的長為．
因為，
所以
，
又
，
所以，
即直線與所成角的余弦值為．
17. 數(shù)列滿足，，，數(shù)列滿足，．
（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列并求其通項公式．
（2）數(shù)列的前項和為，問是否存在最小值?若存在，求的最小值及取得最小值時的值；若不存在，請說明理由．
解：（1）因為，所以．
因為，所以，
所以．因，所以，
所以數(shù)列是首項，公差的等差數(shù)列．
所以．
（2）根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式，得．
對于二次函數(shù)，其圖象的對稱軸為直線，
所以當(dāng)時，取得最小值．因為，
所以存在最小值，最小值為－9，此時．
18. 如圖，在四棱錐中，平面平面為棱的中點.
（1）證明：平面；
（2）若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在棱上是否存在點，使得點到平面的距離是？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.
解：（1）取的中點，連接，，如圖所示：
為棱的中點，
，，
，，，，
四邊形是平行四邊形，，
又平面，平面，
平面；
（2），，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
又，平面，，，由，
以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
則，，，，，，
（i）故，,設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z，
則，令，則，，，
平面的一個法向量為,

則，令，則，，故，
,，
由于二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為；
（ii）假設(shè)在線段上是存在點，使得點到平面的距離是，
設(shè)，，
則,0,，0,，
由（2）知平面的一個法向量為,,，
，
點到平面的距離是，
，．
19. 設(shè)分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左?右焦點，是橢圓的短軸的一個端點，的面積為，橢圓的離心率為.
（1）求橢圓的方程.
（2）如圖，是橢圓上不重合的三點，原點是的重心.
（i）當(dāng)直線垂直于軸時，求點到直線的距離；
（ii）求點到直線的距離的最大值.
解：（1）令橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為，得，
，由的面積為，得，
因此，
所以橢圓的方程為.
（2）（i）設(shè)，由直線垂直于軸，得，
由原點是的重心，得，
即，，
又，解得，所以到直線的距離為.
（ii）由（i）知，當(dāng)直線斜率不存在時，到直線的距離為；
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，，
由得，且，
即，
，
由原點是的重心，得，
解得，點，
于是，
整理得，
因此點到直線的距離為
，
所以當(dāng)與軸垂直時點到直線的距離最大為.

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