注意事項(xiàng)：
1、答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知空間向量，，若與垂直，則等于（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】因?yàn)?，，與垂直，
所以，解得，
所以，所以.
故選：C.
2. 橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則的值為（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】由，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以，，
因?yàn)殚L軸長是短軸長的兩倍，所以，
所以a=2，得.
故選：D.
3. 某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加比賽，那么互斥且不對(duì)立的兩個(gè)事件是（ ）
A. 至少有1名女生與全是女生
B. 至少有1名女生與全是男生
C. 恰有1名女生與恰有2名女生
D. 至少有1名女生與至多有1名男生
【答案】C
【解析】“從中任選2名同學(xué)參加比賽”所包含的基本情況有：兩男、兩女、一男一女.
至少有1名女生與全是女生可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；
至少有1名女生與全是男生是對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；
恰有1名女生與恰有2名女生是互斥不對(duì)立事件，故C正確；
至少有1名女生與至多有1名男生是相同事件，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
4. 已知一組數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別為80，21，若向這組數(shù)據(jù)中再添加一個(gè)數(shù)據(jù)80，數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)和方差分別為，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由題得，所以，
則新數(shù)據(jù)平均數(shù)為，故A，B錯(cuò)誤；
且由題意，
所以，
則新數(shù)據(jù)方差
，故C錯(cuò)誤，D正確.
故選：D.
5. 在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以為原點(diǎn)，以，，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
，則，，，，
所以，，
所以，
故與所成角的余弦值為.
故選：B.
6. 過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且恰為線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】顯然在橢圓內(nèi)，
當(dāng)直線的斜率不存在，即直線方程為時(shí)，可得，或，，
此時(shí)不是線段的中點(diǎn)，
所以直線的斜率存在，設(shè)，，
則，兩式相減并化簡(jiǎn)得，
又，，代入得，
解得，
故選：D.
7. 已知圓，圓，，分別是圓，上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】圓，圓心為，半徑，
圓，圓心為，半徑為，如圖：

圓關(guān)于軸的對(duì)稱圓為圓，
連接，交軸于，交圓于，交圓于，此時(shí)，最小，
最小值為，
故選：A.
8. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)，點(diǎn).（1）若直線經(jīng)過點(diǎn)，且以為方向向量，是直線上的任意一點(diǎn)，則直線的方程為；（2）若平面經(jīng)過點(diǎn)，且以為法向量，是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則平面的方程為.利用以上信息解決下面的問題：已知平面的方程為，直線是平面與平面的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】平面的方程為，平面的一個(gè)法向量.
根據(jù)，所以直線的方向向量可為：
設(shè)直線與平面所成角為，
則.
故選：A
二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行投籃比賽，甲每次命中概率為0.7，乙每次命中概率為0.8，甲和乙是否命中互不影響，甲、乙各投籃一次，則（ ）
A. 兩人都命中的概率為0.56B. 恰好有一人命中的概率為0.38
C. 兩人都沒有命中的概率為0.6D. 至少有一人命中的概率為0.7
【答案】AB
【解析】記“甲命中”，“乙命中”，“甲不命中”，“乙不命中”，
則，，兩兩獨(dú)立.
，
，.
對(duì)于選項(xiàng)A：“兩人都命中”，，故A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B：“恰好有一人命中”，
，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：“兩人都沒有命中”，，故錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：“至少有一人命中”是“兩人都沒有命中”的對(duì)立事件，概率為，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 設(shè)動(dòng)直線與圓交于，兩點(diǎn)，則下列說法正確的有（ ）
A. 直線過定點(diǎn)B. 當(dāng)最大時(shí)，
C. 當(dāng)最小時(shí)，D. 當(dāng)最小時(shí)，其余弦值為
【答案】ABC
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，由動(dòng)直線可得：，
令可得，即直線過定點(diǎn)，即選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)取得最大值時(shí)，直線過圓心，
則，得，選項(xiàng)B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)取得最小值時(shí)，直線與和的連線垂直，
經(jīng)過和的直線的斜率為1，故直線的斜率為，故，選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)最小時(shí)，最小，此時(shí)直線與和的連線垂直，
則，
由余弦定理可得，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：ABC.
11. 立體幾何中有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，半正多面體的棱長為，棱數(shù)為24，它所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得的，下列結(jié)論正確的有（ ）

A. 平面
B. 若是棱的中點(diǎn)，則與平面平行
C. 若四邊形的邊界及其內(nèi)部有一點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡長度為
D. 若為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值的范圍為
【答案】ACD
【解析】如圖所示，“阿基米德體”的所有頂點(diǎn)都是正方體的棱的中點(diǎn).
對(duì)于A選項(xiàng)，由圖可知平面，A選項(xiàng)正確；
對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)，易知平面平面，
而與平面相交，故與平面不平行，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，半正多面體的棱長為，所以正方體的棱長為4，
在正方體中，平面，得，
故，
所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心、2為半徑的圓，
又點(diǎn)在四邊形的邊界及其內(nèi)部，所以點(diǎn)的軌跡是劣弧，
所以點(diǎn)的軌跡長度為，故C正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，
設(shè)，則，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，與平面所成角為，
則，
取，則，
，
由，可得，故D選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，則點(diǎn)到直線的距離為__________.
【答案】
【解析】由題意可得，，，
則點(diǎn)A到直線的距離為.
故答案為：.
13. 若曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】如圖，
化簡(jiǎn)曲線得：，
表示以為圓心，1為半徑的圓的上半圓.
直線經(jīng)過定點(diǎn)且斜率為，
半圓與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)直線與半圓的切線為，半圓的左端點(diǎn)為，
當(dāng)直線的斜率大于的斜率且小于或等于的斜率時(shí)，
直線與半圓有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離公式，
當(dāng)直線與半圓相切時(shí)滿足，
解之得，即，
又因?yàn)橹本€的斜率，
所以直線的斜率的范圍為.
故答案為：.
14. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過作一條漸近線的垂線，垂足為，延長與雙曲線的右支相交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為__________.
【答案】
【解析】雙曲線的方程為，一條漸近線方程為，
設(shè)F1-c,0，可得，
若，則，由雙曲線的定義可得，
在直角三角形中，，，
在中，
，
即有，
所以，即，
則.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過點(diǎn)，.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)的直線與圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程.
解：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由題意可得，
解得，
所以圓的半徑為，
因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，
此時(shí)，圓心到直線的距離為1，符合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，
則，
解得，
此時(shí)，直線的方程為，
綜上所述，直線的方程為或.
16. 求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）過點(diǎn)，且與雙曲線的離心率相等；
（2）兩頂點(diǎn)間的距離為8，漸近線方程為.
解：（1）由題意可知：雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為，且，
又雙曲線的離心率為，則，得，
故，所以雙曲線的方程為.
（2）由題意知，當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則，可得，
所以雙曲線的方程為；
當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則，可得，
所以雙曲線的方程為；
綜上所述：雙曲線的方程為或.
17. 半程馬拉松是一項(xiàng)長跑比賽項(xiàng)目，長度為21.0975公里，為全程馬拉松距離的一半.20世紀(jì)50年代，一些賽事組織者設(shè)立了半程馬拉松，自那時(shí)起，半程馬拉松的受歡迎程度大幅提升.某調(diào)研機(jī)構(gòu)為了了解人們對(duì)“半程馬拉松”相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡的人舉辦了一次“半程馬拉松”知識(shí)競(jìng)賽，將參與知識(shí)競(jìng)賽者按年齡分成5組，其中第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)參與知識(shí)競(jìng)賽者的平均年齡；
（2）現(xiàn)從以上各組中用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的“半程馬拉松”宣傳使者.若有甲（年齡36），乙（年齡42）兩人已確定入選為宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選為組長的概率；
（3）若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和1，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為42和2，據(jù)此估計(jì)年齡在內(nèi)的所有參與知識(shí)競(jìng)賽者的年齡的平均數(shù)和方差.
解：（1）設(shè)參與知識(shí)競(jìng)賽者的平均年齡為，
則（歲）.
（2）由題意得，第四組應(yīng)抽取人，記為（甲），，，，
第五組應(yīng)抽取人，記為（乙），，對(duì)應(yīng)的樣本空間為：
，
，
設(shè)事件為“甲、乙兩人至少一人被選上”，
則，
所以.
（3）設(shè)第四組、第五組的宣傳使者的年齡的平均數(shù)分別為，，方差分別為，，
則，，，，
設(shè)第四組和第五組所有宣傳使者的年齡平均數(shù)為，方差為，
則，
，
據(jù)此估計(jì)第四組和第五組所有人的年齡的平均數(shù)為38，方差為.
18. 如圖1，在直角梯形中，已知，，將沿翻折，使平面平面.如圖2，的中點(diǎn)為.

（1）求證：平面；
（2）若的中點(diǎn)為，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由.
解：（1）因?yàn)椋闹悬c(diǎn)為，所以，
又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面；
（2）取的中點(diǎn)為，連接，則，
由圖1直角梯形可知，為正方形，
，，，，.
由（1）平面，可知，，兩兩互相垂直，分別以，，為，，軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則O0,0,0，，，，
設(shè)，
，
設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，
取，則.
即平面的法向量為，
由平面，取平面的法向量，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
解得或（舍）.
所以，線段上存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為.點(diǎn)位于線段靠近的三等分點(diǎn)處.
19. 有一個(gè)半徑為8的圓形紙片，設(shè)紙片上一定點(diǎn)到紙片圓心的距離為，將紙片折疊，使圓周上某一點(diǎn)與點(diǎn)重合，每一次折疊，都留下一條折痕，當(dāng)取遍圓上所有點(diǎn)時(shí)，所有折痕與的交點(diǎn)形成的軌跡記為曲線，以點(diǎn)，所在的直線為軸，線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.
（1）求曲線的方程；
（2）若直線與曲線交于，兩點(diǎn).
（i）當(dāng)為何值時(shí)，為定值，并求出該定值；
（ii）過，兩點(diǎn)分別作曲線的切線，當(dāng)兩條切線斜率均存在時(shí)，若其交點(diǎn)在直線上，探究：此時(shí)直線是否過定點(diǎn)？若過，求出該定點(diǎn)；若不過，請(qǐng)說明理由.
解：（1）由題意可知，，
所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，長軸長為8的橢圓，
題目中給出條件焦點(diǎn)在軸上，可得橢圓方程為.
（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，

（i）由消元得，，
由，
得，
則，，
，
定值，即與無關(guān)，令，得，
此時(shí)恒成立，且滿足，，
即當(dāng)，且時(shí)，為定值，且定值為20.
（ii）如圖：

設(shè)在點(diǎn)處的切線方程為，
由消去，
整理得，
由，
化簡(jiǎn)得，因?yàn)椋?br>所以，
故在點(diǎn)處的切線方程為，整理可得，①
同理可得，在點(diǎn)處的切線方程為，②
設(shè)，將其代入①②，得，，
所以直線的方程為，即，
令，得，故直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)坐標(biāo)為.

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