福建省泉州市永春第二中學(xué)等學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

這是一份福建省泉州市永春第二中學(xué)等學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4，共18頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1. 在空間直角坐標(biāo)系中，與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)直接求解即可.
【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)，則其關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為.
故選：A.
2. 橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上一點(diǎn)，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓的定義求出結(jié)果.
【詳解】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，依題意，，而，
所以.
故選：D
3. 如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)．若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的平行四邊形法則、平行六面體的性質(zhì)即可得出．
【詳解】，
故選：B．
4. 設(shè)入射光線沿直線y=2x+1射向直線,則被反射后,反射光線所在的直線方程是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】由可得反射點(diǎn)A(?1,?1),在入射光線y=2x+1上任取一點(diǎn)B(0,1)，
則點(diǎn)B(0,1)關(guān)于y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C(1,0)在反射光線所在的直線上．
根據(jù)點(diǎn)A(?1,?1)和點(diǎn)C(1,0)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)式求得反射光線所在的直線方程是
，化簡(jiǎn)可得x?2y?1=0.
故選D.
5. 已知點(diǎn)、、， 過(guò)點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D. 以上都不對(duì)
【答案】C
【解析】
【分析】過(guò)點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，得到直線l的斜率或，進(jìn)而求解即可
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率或，
而，于是直線l的斜率或，
所以直線l斜率k的取值范圍是，
故選：C
6. 已知四棱錐的底面為正方形，平面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用坐標(biāo)法，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的向量求法即得.
【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，
所以，
所以，
所以點(diǎn)到直線的距離是.
故選：D.
7. 已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知求出，進(jìn)而即可根據(jù)投影向量求出答案.
【詳解】由已知可得，，，
所以，向量在向量上的投影向量是.
故選：B.
8. 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P為線段的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 存在點(diǎn)Q，使得B. 存在點(diǎn)Q，使得平面
C. 三棱錐的體積是定值D. 存在點(diǎn)Q，使得PQ與AD所成的角為
【答案】B
【解析】
【分析】A由、即可判斷；B若為中點(diǎn)，根據(jù)正方體、線面的性質(zhì)及判定即可判斷；C只需求證與面是否平行；D利用空間向量求直線夾角的范圍即可判斷.
【詳解】A：正方體中，而P為線段的中點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，
所以，故不可能平行，錯(cuò)；
B：若為中點(diǎn)，則，而，故，
又面，面，則，故，
，面，則面，
所以存在Q使得平面，對(duì)；
C：由正方體性質(zhì)知：，而面，故與面不平行，
所以Q在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到面的距離不一定相等，
故三棱錐的體積不是定值，錯(cuò)；
D：構(gòu)建如下圖示空間直角坐標(biāo)系，則，，且，
所以，，若它們夾角為，
則，
令，則，
當(dāng)，則，；
當(dāng)則；
當(dāng)，則，；
所以不在上述范圍內(nèi)，錯(cuò).
故選：B
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 若直線的斜率，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. 1B. 3C. 0D. 4
【答案】AB
【解析】
【分析】利用直線垂直的充要條件列出方程，計(jì)算即得.
【詳解】因，且，則斜率必存在，故，
即，化簡(jiǎn)得，
解得或.
故選：AB.
10. 如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且，則下列說(shuō)法中正確的有（ ）

A. 異面直線與所成的角為
B.
C.
D. 直線與所成角的余弦值為0
【答案】BD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，由異面直線夾角范圍可判斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，由向量首尾相連法則結(jié)合圖形可判斷選項(xiàng)正誤；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)結(jié)合向量模長(zhǎng)公式可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，注意到，后由向量夾角余弦公式可判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】A選項(xiàng)，因異面直線夾角范圍為，故A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，由圖可知，又，則，故B正確.
C選項(xiàng)，由題可得，，
則
，故C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，，因.
又，則
，故D正確.
故選：BD
11. 已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，設(shè)點(diǎn)是橢圓上的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到定直線的距離之比為定值，則下列計(jì)算正確的是（ ）
A. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
B
C.
D. 若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知列出關(guān)于方程組求得后再求得，從而得橢圓方程；設(shè)，依題意得，化簡(jiǎn)并把用表示后得關(guān)于的恒等式，由恒等式知識(shí)可求得；將與橢圓方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)后可得距離，從而判斷各選項(xiàng)．
【詳解】由題意，所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，A正確；
設(shè)，依題意得，
又，所以，
所以恒成立，
可得且，且，顯然，
解得，B不正確，C正確；
由，解得，，
所以交點(diǎn)為，，D正確．
故選：ACD
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)15分.
12. 兩條平行直線與之間的距離為_(kāi)_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行可求得，由平行直線間距離公式可求得結(jié)果.
【詳解】，，解得：，
，即，
之間的距離.
故答案為：.
13. 圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是__．
【答案】3
【解析】
【分析】由圓心到直線的距離減去半徑求解即可.
【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，
圓心到直線的距離，
所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是．
故答案為：
14. 橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上第一象限內(nèi)，記，存在圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為_(kāi)_________.
【答案】##
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的正切求得，再設(shè)出點(diǎn)，結(jié)合斜率的坐標(biāo)公式求出即可求出離心率.
【詳解】顯然直線斜率都存在，且，
由，得，
則，而，
于是，設(shè)，則，
因此，解得，
所以橢圓的離心率為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：
①定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；
②齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；
③特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知圓與圓
（1）求經(jīng)過(guò)圓與圓交點(diǎn)的直線方程：
（2）求圓與圓的公共弦長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）判斷兩圓相交，將兩圓的方程相減，即可得答案；
（2）確定圓的圓心和半徑，求得圓心到兩圓公共弦所在直線的距離，根據(jù)弦長(zhǎng)的幾何求法即可求得答案.
【小問(wèn)1詳解】
圓的圓心為，半徑為，
圓即，圓心為，半徑為，
則，故圓與圓相交；
將圓與圓的方程相減，
得，
即經(jīng)過(guò)圓與圓交點(diǎn)的直線方程為；
【小問(wèn)2詳解】
圓的圓心為，半徑為1，
到直線的距離為，
故圓與圓的公共弦長(zhǎng)為.
16. 如圖，直三棱柱的側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，．
（1）證明：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）證明出兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積為0得到，，從而證明出線面垂直；
（2）求出兩平面的法向量，求出平面夾角的余弦值.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)槿庵鶠橹比庵?br>所以，又因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)?，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br>因?yàn)闉檎叫?，所以?br>故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
因?yàn)?，?br>所以，，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面，
【小問(wèn)2詳解】
由（1）可知：平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的法向量為，
則，
解得：，令，則，所以，
設(shè)平面與平面夾角為，
故，
故平面與平面夾角的余弦值為.
17. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線與圓相切，圓心的坐標(biāo)為.
（1）求圓的方程；
（2）設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由直線與圓相切的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到直線的距離可得半徑，即可得解；
（2）由題意聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理、平面向量垂直的性質(zhì)聯(lián)立方程組即可求得m，即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
∵直線與圓C相切，且圓心C的坐標(biāo)為，
∴圓C的半徑，
則圓C的方程為；
小問(wèn)2詳解】
聯(lián)立，得，
由，解得，
設(shè)，
則，
∵，∴，
即，
∴，解得，符合題意，
∴．
18. 如圖，在四棱錐中，，底面為正方形，分別為的中點(diǎn)．
（1）求證：∥平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用中位線定理證明，然后由線面平行的判定定理證明即可；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式求解即可；
（3）求出的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到平面距離的向量公式求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
證明：因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，
所以，
又平面，平面，
故平面；
【小問(wèn)2詳解】
由于平面，
所以平面，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，，，，，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，，
故，
設(shè)直線與平面所成角為，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為；
【小問(wèn)3詳解】
因?yàn)椋?br>又平面法向量為，
所以點(diǎn)到平面的距離為．
19. 已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)，過(guò)其右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，線段EF的中點(diǎn)為Q，在y軸上是否存在定點(diǎn)P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）存在定點(diǎn)，
【解析】
【分析】（1）直接由橢圓C過(guò)點(diǎn)和解方程即可；
（2）先聯(lián)立直線和橢圓，通過(guò)∠EQP＝2∠EFP得到點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，即PE⊥PF，表示出，由解出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.
【小問(wèn)1詳解】
由題知，橢圓C過(guò)點(diǎn)和，
所以，解得
所以橢圓C的方程為．
【小問(wèn)2詳解】
假設(shè)在y軸上存在定點(diǎn)P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，設(shè)，，
由，得，∴，
∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP
∴點(diǎn)P在以EF為直徑的圓上，即PE⊥PF
，
∴
∴恒成立
∴，解得
∴
∴存在定點(diǎn)，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立．