第Ⅰ卷
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．
1．直線的傾斜角是（ ）
A．B．C． D．不存在
【詳解】直線與軸垂直，的傾斜角為.
故選：B.
2．如圖．空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．
【詳解】如圖，. 故選：B.
3．若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【詳解】變形為，要表示橢圓需要滿足 ，
解得. 故選：C.
4．若點(diǎn)在圓的外部，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【正確答案】C
【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在圓的外部，
所以，解得.
故選：C．
5．若直線與曲線至少有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B． C． D．
【正確答案】B
解析：直線l：恒過定點(diǎn)，
由，得到，
所以曲線表示以點(diǎn)為圓心，半徑為1，且位于直線右側(cè)的半圓（包括點(diǎn)，），如下圖所示：
當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，l與曲線C有一個(gè)不同的交點(diǎn)，此時(shí)，
當(dāng)l與半圓相切時(shí)，由，得，
由圖可知，當(dāng)時(shí)，l與曲線C至少有一個(gè)公共點(diǎn)，故選：B
6．下列說法正確的是（ ）
A．若，則是鈍角;
B．直線l的方向向量，平面的法向量，則;
C．直線l經(jīng)過點(diǎn)，，則到l的距離為
D．若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底
解析：對(duì)于A，若，則是鈍角或平角，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)橹本€的方向向量，平面的法向量，
則，故與不共線，即不成立，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)?，，?br>則，，，
故到的距離為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，利用反證法的思想，
假設(shè)三個(gè)向量共面，則，
所以，
若，則，則共線，
與是空間的一組基底矛盾；
若，則，則共面，
與是空間的一組基底矛盾；
所以假設(shè)不成立，即不共面，
所以也是空間的一組基底，故D正確；
7．已知直線過點(diǎn)，且與圓交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，l的方程為（ ）
A．B．或
C．D． 或
【正確答案】D
【詳解】依題意，圓的圓心，半徑，
顯然，即點(diǎn)在圓內(nèi)，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，連接CD
設(shè),則
面積
當(dāng)且僅當(dāng) 即時(shí)等號(hào)成立
此時(shí)，圓心C到直線的距離
故過點(diǎn)P的直線斜率一定存在，設(shè)其方程為
則，解得或，
此時(shí)直線方程為 或 故選：D
8．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是橢圓E：上位于x軸上方的點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn).延長PO，PF交橢圓E于Q，R兩點(diǎn)，，，則橢圓E的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【詳解】
如圖，設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，，，
由題，，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以四邊形為平行四邊形，
又因?yàn)?，所以四邊形為矩?
設(shè)，又因?yàn)?，則，
則，，，
在中，，即，
解得或（舍去），故，
由，所以，即，所以離心率.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
9．已知直角坐標(biāo)系中，，滿足的點(diǎn)的軌跡為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．上的點(diǎn)到直線的最小距離為
B．若點(diǎn)在上，則的最小值是－1
C．若點(diǎn)在上，則的最小值是－2
D．圓與有且只有兩條公切線，則的取值范圍是
解析：設(shè)
，，且， ，
化簡得： ， ，
圓心 ，所以上的點(diǎn)到直線的最小距離為
，故A正確.
令，即 當(dāng)與圓相切時(shí) 取最值，
， 此時(shí) 或 ，的最小值是－1，故B正確.
令即 ，當(dāng)與圓相切時(shí) 取最值，
，此時(shí) 或 ，
的最小值是，故C錯(cuò)誤.
因?yàn)閳A，所以圓心為 ，半徑為 與有且只有兩條公切線，
所以 ，即，解得，故D正確. 故選：ABD.
10．設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正確的是（ ）
A. 的周長為B．的最大值為36
C．滿足的點(diǎn)P有兩個(gè)D．直線與圓相交
【詳解】由，得，則，
因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn)，所以，
所以，故A正確；
對(duì)B：由，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為36，故B正確；
對(duì)C：因?yàn)闄E圓與圓有四個(gè)交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D：圓的圓心為，半徑為，
則圓心到直線的距離，
由是上一點(diǎn)（除去與軸的交點(diǎn)），
故有且，
則，即，
則，即，
故直線與圓相交，故D正確.
故選：ABD
11．如圖，正方體棱長為2，分別是棱，棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M是其側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），下列結(jié)論正確的是（ ）
A．沿正方體的表面從點(diǎn)A到點(diǎn)P的最短距離為
B．過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面面積為
C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長度為
D．保持與垂直時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡長度為
【解】對(duì)于A中，如圖所示，將正方形沿著展在平面，
在直角中，可得，
將沿著展開到與平面重合，
在直角中，可得，所以A正確；
對(duì)于B中，如圖所示，連接，
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，可得，
因?yàn)?，所以?br>所以過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面為等腰梯形，
其中，且，可得高為，
可得等腰梯形的面積為，所以B正確；
對(duì)于C中，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)槠矫?，可得平面?br>又因?yàn)槠矫妫裕?br>在直角中，由，可得，
所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓在正方形內(nèi)的部分，
如圖所示，在直角中，由，可得，
所以，可得，
即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長度為，所以C錯(cuò)誤；
對(duì)于D中，以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，可得，設(shè)，其中，
則，
因?yàn)榕c垂直，可得，即，
令，可得；當(dāng)，可得，
即直線與正方形的邊的交點(diǎn)為，
可得，所以D正確.
故選：ABD.
第Ⅱ卷
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)且，則的大小為 .
【詳解】由橢圓可知，
故，結(jié)合，
可得，而，
,,
故/.
13．函數(shù)的最小值為 ．
解析：=表示、的距離，
表示、的距離，
又關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)
所以，
所以.
14．畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)：在橢圓中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于長、短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個(gè)圓就稱為橢圓C的蒙日?qǐng)A，其圓方程為．已知橢圓C的離心率為，點(diǎn)A，B均在橢圓C上，則點(diǎn)A與橢圓C的蒙日?qǐng)A上任意一點(diǎn)的距離最小值為 （用含b的式子表示），若b=1，橢圓C的蒙日?qǐng)A上存在點(diǎn)M滿足，則△AOB面積的最大值為
【解答過程】由離心率e=ca=63，且a2=b2+c2可得a2=3b2，
所以蒙日?qǐng)A方程x2+y2=4b2；，由于原點(diǎn)O到蒙日?qǐng)A上任意一點(diǎn)的距離為2b，原點(diǎn)O到橢圓上任意一點(diǎn)的距離最大值為a=3b，所以橢圓C上的點(diǎn)A與橢圓C的蒙日?qǐng)A上任意一點(diǎn)的距離最小值為2?3b；
若b=1，則橢圓C的方程為x23+y2=1，即x2+3y2=3，蒙日?qǐng)A方程為x2+y2=4，
不妨設(shè)Mx0,y0，因?yàn)槠湓诿扇請(qǐng)A上，所以x02+y02=4，
設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，又MA⊥MB，所以可知MA,MB與橢圓相切，
此時(shí)可得直線MA的方程為x1x+3y1y=3，同理直線MB的方程為x2x+3y2y=3；
將Mx0,y0代入MA,MB的直線方程中可得x1x0+3y1y0=3x2x0+3y2x0=3，
所以直線AB的方程即為x0x+3y0y=3，
聯(lián)立x0x+3y0y=3x2+3y2=3，消去y整理可得x02+3y02x2?6x0x+9?9y02=0；
由韋達(dá)定理可得x1+x2=6x0x02+3y02,x1x2=9?9y02x02+3y02,
所以AB=1+?x03y02x1+x22?4x1x2=x02+9y023y0?6y0x02+3y02?3x02+3y02=21+2y022+y02，
原點(diǎn)O到直線AB的距離為d=3x02+9y02=34+8y02，
因此△AOB的面積S△AOB=12AB?d=12×21+2y022+y02×34+8y02=31+2y0222+y02
=32×1+2y02121+2y02+32=32×11+2y022+321+2y02≤32×121+2y022?321+2y02=32；
當(dāng)且僅當(dāng)121+2y02=321+2y02，即y02=1時(shí)等號(hào)成立，
因此△AOB面積的最大值為32，
四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟．
15．（本題13分）如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，平面
(1)證明：平面ADE；
(2)求平面ADE與平面CEF夾角的余弦值；
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)?，且，則且，
可知四邊形是平行四邊形，.…………2分
則，且，
又因?yàn)槭橇庑危瑒t，且，
可得且，可知四邊形是平行四邊形，.…………3分
則，
且平面平面，
所以平面.………….………….………….………….……….…………5分
（2）連接交于，取中點(diǎn)
因?yàn)槠矫?，則平面，且，
以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，.…………7分
則，
.………….…………8分
設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量為，則
令，則，可得
設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為,
同理可得……………….………….…………11分
設(shè)平面ADE與平面CEF的夾角為，則
平面ADE與平面CEF夾角余弦值為.…………….………….………13分
16．（本題15分）如圖，已知圓，點(diǎn).
(1)求圓心在直線上，經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相外切的圓的方程；
(2)若過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，且圓弧恰為圓周長的，求直線的方程.
【正確答案】(1)
(2)或
【詳解】（1）由，
化為標(biāo)準(zhǔn)方程.
所以圓的圓心坐標(biāo)為，…………….………1分
又圓的圓心在直線上，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，
又經(jīng)過點(diǎn)，且與圓相外切，所以切點(diǎn)為，
則有…………….………3分
即，
解得，…………….………4分
所以圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，…………….………5分
故圓的方程為.…………….……6分
（2）因?yàn)閳A弧PQ恰為圓C周長的，所以.………7分
所以點(diǎn)到直線的距離為2. …………….………8分
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)C到軸的距離為2，
直線即為軸，所以此時(shí)直線的方程為.….………10分

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
即.…………….………11分
所以，解得.…………….………13分
所以此時(shí)直線的方程為…….………14分，
綜上，所求直線的方程為或.…………15分

17．（本題15分）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動(dòng)，線段的垂直平分線交于P點(diǎn).
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)設(shè)直線 與點(diǎn)P的軌跡交于A?B兩點(diǎn)，求面積的最大值.
【詳解】由題意，圓的圓心為，點(diǎn)，
線段的垂直平分線交于點(diǎn)P，
所以，.………….………….……………………2分
又由，所以點(diǎn)滿足，…………4分
由橢圓的定義知，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，………….…………5分
可得，所以，
所以點(diǎn)的軌跡方程為.………….…….………….…………6分
（2）設(shè)，則由可得，
此時(shí)….…….………….…………9分
而，….…….………….…………10分
到的距離為,….…….………….…………11分
故的面積，….…….………….…………13分
令，設(shè)，
則由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)知在上為增函數(shù)，….…….………….…………14分
故,即的最大值為3. ….…….………….…………15分
18．（本題17分）
如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長為4的正三角形，側(cè)面為菱形，已知，．
（1）當(dāng)時(shí)，求三棱柱的體積；
（2）設(shè)點(diǎn)P為側(cè)棱上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．
【正確答案】（1）24 （2）
（1）解：如圖，取的中點(diǎn)為O，
因?yàn)闉榱庑危?，所以為正三角形?br>又有為正三角形且邊長為4，則，，….…….…………2分
且，，所以，
所以，….…….…………3分
因?yàn)橛郑?br>平面，平面，
所以平面，….…….…………5分
所以三棱柱的體積．….…….………6分
（2）
在中，，，
由余弦定理可得，
所以，….…….…………7分
由（1），，
又，平面，平面，
所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以平面平面，….…….…………9分
所以在平面內(nèi)作，則平面，
以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：….…….……10分
則，，，，
，，
，，….…….……11分
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則，即，
取得，….…….……12分
設(shè)，
則
，….…….……13分
設(shè)直線與平面所成角為，
則
，….…….……14分
令，則在單調(diào)遞增，
所以，….…….……16分
故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為．….…….……17分
19. （本題17分）常用測(cè)量距離的方式有3種．設(shè)，定義歐幾里得距離；定義曼哈頓距離，定義余弦距離，其中（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求滿足的點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積；
（2）若，求的取值范圍；
（3）動(dòng)點(diǎn)在直線上，動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，求的最小值.
【正確答案】（1）2 （2） （3）
解析：（1）設(shè)Hx,y，則，………….…………1分
當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則；
當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則.
如圖，點(diǎn)的軌跡是一個(gè)邊長為的正方形，………….…………2分
點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形面積為.………….…………3分

（2）
因，.………….…………4分
令則，
即與有交點(diǎn)，
也即半圓與直線有交點(diǎn)，.………….…………5分
下面，先計(jì)算直線與半圓相切和經(jīng)過點(diǎn)時(shí)的情況.
由圓心到直線的距離解得，，
由題知此時(shí)，即；.………….………….………….………….…………7分
又由，代入點(diǎn)，解得，.……………..…………8分
由題知，要使兩者有交點(diǎn)，需使此時(shí)，
因 ，則有；.………….………….…………9分
（3）
設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則
，.………….………….…………10分
因，所以，
①當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得；……12分
②當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)；.………….………….…………13分
③當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)，.………….………….…………14分
又，
所以，.………….………….………….………….…………15分
綜合得，
當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
即的最小值為.………….………….………….…………..…………17分

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