一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.
1. 已知直線的方向向量為，則直線的傾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為直線的方向向量為，
所以直線的斜率為，即，
又傾斜角，所以.
故選：D
2. 已知直線與,則“”是“”的（ ）條件.
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】當直線與垂直時，，
即，
解得或，
所以可以推出，但推不出，即“”是“”的充分不必要條件，
故選：A.
3. 在三棱錐中，、分別是、的中點，是的重心，用基向量、、表示，則下列表示正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】連接，因為為的重心，則，如下圖所示：
因為為的中點，則，
所以，，
所以，
.
故選：D.
4. 平面內(nèi)，動點的坐標滿足方程，則動點的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由兩點間距離公式，條件表示的幾何意義為點到與的距離之和：，
又，根據(jù)橢圓的定義，點在以和為焦點的橢圓上，
可設(shè)標準方程為：,
由，，根據(jù),求出,
得到軌跡方程為：.
故選：B
5. 已知，若點在線段上，則的最小值為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】如圖，因為表示點Px,y和點連線的斜率，
又，所以，，
由圖知，的最小值為，

故選：C.
6. 若動圓與圓外切，又與直線相切，則動圓圓心的軌跡方程為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因為圓的圓心為，半徑為，
設(shè)動圓圓心的坐標為，半徑為，則，
又動圓與直線相切，即到直線的距離為，
所以到直線的距離為，
所以到的距離與到直線的距離相等，
所以的軌跡為拋物線，其焦點為，
所以動圓圓心的軌跡方程為.
故選：D．
7. 已知雙曲線的左、右焦點分別是上的一點（在第一象限），直線與軸交于點，若，且，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】設(shè)，如下圖所示：

由題意可得，；
又，由可得，
即，解得；
所以；
因為，所以；
即，可得，
即，解得.
故選：D
8. 我國著名數(shù)學家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實上，很多代數(shù)問題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，列如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題.已知點在直線,點在直線上,且，結(jié)合上述觀點，的最小值為（ ）
A B. C. D. 5
【答案】D
【解析】由已知表示點到點的距離，
表示點到點的距離，
所以，
過點作，垂足為，
因為直線的方程為，，
所以，
又直線與直線平行，，
所以，
所以，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，
所以，
又，
當且僅當三點共線時等號成立，
所以當點為線段與直線的交點時，
取最小值，最小值為，
因為過點與直線垂直的直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
所以點的坐標為，
所以，
所以的最小值為，
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 下列說法命題正確的是（ ）
A. 已知，，則在上的投影向量為
B. 若直線的方向向量為，平面的法向量為，則
C. 已知三棱錐，點為平面上的一點，且，則
D. 若向量（，，是不共面的向量）則稱在基底下的坐標為，若在基底下的坐標為，則在基底下的坐標為
【答案】ACD
【解析】A選項，在上的投影向量為
，A正確；
B選項，，故，
或，B錯誤；
C選項，點為平面上的一點，設(shè)，
即，
所以，
又，
故，故，C正確；
D選項，由題意得，
設(shè)，
則，解得，
則在基底下的坐標為，D正確.
故選：ACD
10. 已知圓與圓交于，兩點，則（ ）
A. 兩圓的公切線有2條
B. 直線方程為
C.
D. 動點在圓上，則的最大值為
【答案】ABD
【解析】由題意可知，，
故，故兩圓相交，公切線有2條，A正確，
與圓相減可得，
故直線方程為，B正確，
到直線的距離為，故，故C錯誤，
可看作是圓上的一個點到點的距離的平方，
故最大值為，D正確，
故選：ABD
11. 如圖，曲線可以看作“蝴蝶結(jié)”的一部分，已知曲線上除原點外的所有點均滿足其到原點的距離的立方與該點橫縱坐標之積的絕對值的商恒為定值（），則（ ）
A. 曲線關(guān)于直線對稱
B. 曲線經(jīng)過點，其方程為
C. 曲線圍成的圖形面積小于
D. 存在，使得曲線上有5個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）
【答案】ACD
【解析】對于A，先求曲線方程，設(shè)曲線上一點（），
由已知，即.
若點在曲線上，則也滿足曲線方程，
所以曲線關(guān)于直線對稱，A選項正確.
對于B，將代入曲線方程，得，即，，此時方程為，B選項錯誤.
對于C，，則，
所以C在以圓心為O，半徑為的圓內(nèi)，結(jié)合圖形知道，C選項正確.
對于D，由于，所以，
由曲線的對稱性可知，要使曲線上有5個整點，
則曲線在第一象限內(nèi)有兩個整點，當整點為時，，
此時整點都在曲線上，其有3個整點，不滿足題意;
當整點為時，，此時整點均在曲線上，
且均不在曲線上，其有5個整點，滿足題意，D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 圓心在直線上，且經(jīng)過原點和點的圓的方程為______
【答案】
【解析】因為圓心在直線上，設(shè)圓心坐標為，
因為圓經(jīng)過原點和點，則，解得，
故圓心坐標為，圓的半徑為，
故所求圓的方程為.
故答案為：.
13. 若方程表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】因為方程表示雙曲線，
所以，即或，
解得或，
所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
14. 如圖，邊長為4正方形中,、分別為、中點,將,沿、折起，使、兩點重合于點，點在平面內(nèi)，且，則直線與夾角余弦值的最大值為______．

【答案】
【解析】取中點，連接，且延長線過點，
因為，，所以平面，
根據(jù)對稱性可知在底面平面內(nèi)的射影點必在上，記為點，
以為坐標原點，方向為軸，過點垂直于方向為軸，方向為軸，建立空間直角坐標系，如下圖所示：
因為，所以，
所以為等腰直角三角形，所以，
又因為，所以，
所以，
又因為，所以，
設(shè)，因為，
所以，所以，
又因為，，
所以，
不妨設(shè)，
所以，
所以，取等號時，
所以直線PM與BF夾角余弦值的最大值為，
故答案為：．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知拋物線的焦點為，位于第一象限的點在拋物線上，且.
（1）求焦點的坐標；
（2）若過點的直線與只有一個交點，求的方程.
解：（1）因為拋物線，，
所以，所以，可得
所以焦點的坐標.
（2）因為點在拋物線上，所以，
又位于第一象限，所以，
所以，
過點的直線與只有一個交點，直線斜率不存在不合題意；
設(shè)直線與有且只有一個交點，
由，得，
當時，，即，即，
當時，，只有一個根符合題意；
所以的方程為或，即或.
16. 已知△中，頂點，邊上的高線所在直線與直線平行，的平分線所在直線的方程為．
（1）求頂點的坐標；
（2）求邊所在直線的一般式方程．
解：（1）由題意可設(shè)邊所在的直線方程為，
則將代入，解得，
則邊所在直線的方程為，
，則頂點的坐標為．
（2）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則
，所以．直線的方程即為直線的方程.
因為，所以，
即為，
則直線的一般式方程為．
17. 設(shè)動點到定點的距離與它到定直線的距離之比為．
（1）求點軌跡的方程；
（2）過的直線與曲線交右支于兩點（在軸上方），曲線與軸左、右交點分別為，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試判斷是否為定值，若是定值，求出此值，若不是，請說明理由．
解：（1）設(shè)Mx,y，到定直線的距離為則，
故，平方后化簡可得，
故點的軌跡的方程為：
（2）由題意，,
設(shè)直線的方程為，,，,，
由，可得，
所以，．
則，，
所以
；
當直線的斜率不存在時，，
此時，
綜上，為定值．

18. 如圖，在多面體中，平面平面，四邊形為平行四邊形，，，，，，為的中點.
（1）求證：；
（2）求點到平面的距離；
（3）在線段上是否存在一點,使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
解：（1）在中，因為，，，
所以，
所以，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以.
（2）由（1）可得，，又，
所以，，兩兩垂直，
以，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，
所以，，.
設(shè)平面的一個法向量，則，即，
令，則，，所以，
所以點到平面的距離.
（3）假設(shè)存在，設(shè)，則，
所以，
設(shè)平面DHP的一個法向量，因為，
所以，即，
令，則，，
所以，
設(shè)平面的一個法向量，因為，，
所以，即，
令，則，，所以，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
解得或（舍），
所以存在點，使得滿足要求，此時，
即.
19. 已知為坐標原點，是橢圓的左、右焦點，的離心率為，點是上一點，的最小值為.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知是橢圓的左、右頂點，不與軸平行或重合的直線交橢圓于兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，且.
①證明：直線過定點；
②設(shè)的面積為，求的最大值.
解：（1）由題可知，， 解得，
，
橢圓的方程為.
（2）①設(shè)直線的方程為，，
由得，
，
即，
，
在橢圓上 ，
，即，
，
，即，
在直線上，
，
，
，即，
此時，
直線的方程為，即直線過定點.
②記直線過定點，
,，
，
，
，
令，則，
在上單調(diào)遞增，
當時，有最大值.

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