2022-2023學(xué)年福建省泉州市永春二中、平山中學(xué)等五校高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．某高校有4名志愿者參加社區(qū)志愿工作，若每天早、中晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，則值班當(dāng)天不同的排班種類為（    ）A．12 B．18 C．24 D．144【答案】C【分析】通過題意得出一天三班，一班一人，每人最多一班，即可求出值班當(dāng)天不同的排班種類.【詳解】由題意，4名志愿者參加社區(qū)志愿工作，每天早、中晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，∴值班當(dāng)天不同的排班種類為：故選：C.2．已知函數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，令解得得，即可求得.【詳解】因為，所以，解得，所以.故選：D.3．若，則n的值為（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)組合數(shù)、排列數(shù)的計算公式列出關(guān)于的方程，由此求解出的值.【詳解】因為，所以，所以，所以，故選：B.4．若，，則的值為（    ）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，令和即可求解.【詳解】解：因為，，所以令，可得，又令，可得，所以，故選：A.5．設(shè)集合，那么集合中滿足條件“”的元素個數(shù)為A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：分以下三種情況討論，（1），則上述五個數(shù)中有一個為或，其余四個數(shù)為零，此時集合有個元素；（2），則上述五個數(shù)中有兩個數(shù)為或，其余三個數(shù)為零，其中這兩個數(shù)的所有可能搭配有中，此時集合有個；（3），則上述五個數(shù)中有三個數(shù)為或，其余兩個數(shù)為零，其中這兩個數(shù)的所有可能搭配有中，此時集合有個；綜上所述，集合共有個元素.故選D.【考點定位】本題考查分類計數(shù)原理，屬于較難題.6．已知函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則的圖像大致是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求導(dǎo)得到，根據(jù)奇偶性排除BD，特殊值計算排除A得到答案.【詳解】，則，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD；，排除A；故選：C.7．北京2022年冬奧會的吉祥物冰墩墩和雪容融非常可愛，某教師用吉祥物的小掛件作為獎品鼓勵學(xué)生學(xué)習(xí)，設(shè)計獎勵方案如下：在不透明的盒子中放有大小、形狀完全相同的6張卡片，上面分別標(biāo)有編號1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中不放回地抽取兩次卡片，每次抽取一張，只要抽到的卡片編號大于4就可以中獎，已知第一次抽到卡片中獎，則第二次抽到卡片中獎的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出事件，求出兩次都抽到卡片中獎的概率和第一次抽到卡片中獎的概率，利用條件概率公式計算出答案.【詳解】若事件為“第一次抽到卡片中獎”，事件為“第二次抽到卡片中獎”，則，，故．故選：B．8．已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實數(shù)，都有，當(dāng)時，，若，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，根據(jù)，可得，即為偶函數(shù)，再根據(jù)當(dāng)時，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上得單調(diào)性，再根據(jù)，即，即，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，令，則，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，因為，所以，所以，即，解得或.故選：C.【點睛】本題重點考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造正確的函數(shù)，考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，考查了數(shù)據(jù)分析能力，有一定的難度. 二、多選題9．在的展開式中，下列說法錯誤的是（    ）A．常數(shù)項是20 B．第4項的二項式系數(shù)最大C．第3項是 D．所有項的系數(shù)的和為0【答案】AC【分析】利用二項式定理的通項公式和賦值法求解.【詳解】因為展開式的通項公式為；令可得，所以常數(shù)項為，A錯誤；第項的二項式系數(shù)為，由組合數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時，取到最大值，B正確； 令可得，所以第三項為，C錯誤；令可得所有項的系數(shù)的和為0，D正確.故選：AC.10．(多選)設(shè)P(A|B)＝P(B|A)＝，P(A)＝，則（    ）A．P(AB)＝ B．P(AB)＝C．P(B)＝ D．P(B)＝【答案】AC【詳解】P(AB)＝P(A)P(B|A)＝×＝，由P(A|B)＝，得P(B)＝＝×2＝.11．設(shè)離散型隨機變量的分布列為012340.40.10.20.2若離散型隨機變量滿足，則下列結(jié)果正確的有（    ）A． B．，C．， D．，【答案】CD【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)列方程可得，根據(jù)期望和方差公式可得，根據(jù)和分別可得和，由此可得答案.【詳解】由概率的性質(zhì)可得，解得，，，，,故選：CD【點睛】本題考查了概率的性質(zhì)，考查了離散型隨機變量的期望和方差公式，屬于基礎(chǔ)題.12．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（    ）．A．當(dāng)時，過原點作曲線的切線l，則l的方程為B．當(dāng)時，在上單調(diào)遞增C．若在上單調(diào)遞增，則D．當(dāng)時，在上有極小值點【答案】ABD【分析】設(shè)切點坐標(biāo)并求導(dǎo)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線方程，運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點.【詳解】當(dāng)時，，設(shè)切點為，，，所以，又l過原點，則，解得，所以l的方程為，故A正確；當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；，若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以，故C錯誤；當(dāng)時，，，令，則，當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以由零點存在定理可知，存在唯一的，使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在上有極小值點，故D正確．故選：ABD． 三、填空題13．若，則的值為______．【答案】190【分析】根據(jù)組合數(shù)公式計算即可得到答案【詳解】因為即，化簡得，因為為大于等于10的整數(shù)，所以，所以故答案為：19014．已知函數(shù)，則該函數(shù)的圖象在處的切線的傾斜角為__________.【答案】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，計算時的斜率，得傾斜角.【詳解】因為，所以，所以，即切線的斜率為-1，傾斜角為.故答案為：.15．現(xiàn)有7位同學(xué)（分別編號為）排成一排拍照，若其中三人互不相鄰，兩人也不相鄰，而兩人必須相鄰，則不同的排法總數(shù)為________．（用數(shù)字作答）【答案】240【分析】把排列，產(chǎn)生4個空位，然后將看作一個整體與插入到中可求解.【詳解】解：因兩人必須相鄰，所以把看作一個整體有種排法.又三人互不相鄰，兩人也不相鄰，所以把排列，有種排法，產(chǎn)生了4個空位，再用插空法.（1）當(dāng)分別插入到中間的兩個空位時，有種排法，再把整體插入到此時產(chǎn)生的6個空位中，有6種排法.（2）當(dāng)分別插入到中間的兩個空位其中一個和兩端空位其中一個時，有種排法，此時必須排在中間的兩個空位的另一個空位，有1種排法.所以共有.【點睛】方法點睛：在排列組合中“相鄰問題”用捆綁法策略處理；“不相鄰問題”用插空法策略處理.16．若函數(shù)在上存在極值,則的取值范圍為______.【答案】【分析】在上存在極值,即在上存在變號零點,構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)求單調(diào)性,判斷函數(shù)性質(zhì)后使函數(shù)的最小值小于零即可.【詳解】解:由題知在上存在極值,即在上存在變號零點,所以,設(shè)函數(shù),即在上存在變號零點,則,當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增.因為時,,故只需即可,即.故答案為:.【點睛】思路點睛:此題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合問題,屬于難題,關(guān)于函數(shù)極值點的存在問題的思路有:(1)對原函數(shù)進行求導(dǎo);(2)令導(dǎo)函數(shù)為新的函數(shù),使新的函數(shù)有變號零點;(3)對新函數(shù)求導(dǎo)求單調(diào)性,判斷函數(shù)性質(zhì),建立不等式,計算結(jié)果. 四、解答題17．在二項式的展開式中，______.給出下列條件：①若展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于46；②所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為256.試在上面兩個條件中選擇一個補充在上面的橫線上，并解答下列問題：（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式的常數(shù)項.【答案】（1），；（2）.【分析】選擇①：，利用組合數(shù)公式，計算即可；選擇②：轉(zhuǎn)化為，計算即可（1）由于共9項，根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式系數(shù)最大的項為第5項和第6項，利用通項公式計算即可；（2）寫出展開式的通項，令，即得解【詳解】選擇①.，即，即，即，解得或（舍去）.選擇②.，即，解得.（1）展開式中二項式系數(shù)最大的項為第5項和第6項，，.（2）展開式的通項為，令，得，所以展開式中常數(shù)項為第7項，常數(shù)項為.18．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1),.(2)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為. 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的運算求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用對稱性得到的值，利用特殊值得到的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得到，分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)區(qū)間，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）∵，∴，∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則,∵,∴，∴.（2）,令，解得,列表如下：單調(diào)遞增 單調(diào)遞減 單調(diào)遞增∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為.19．開展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進學(xué)生健康成長、幫助家長解決接送學(xué)生困難的重要舉措，是進一步增強教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程，某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對這兩個方案的支持情況，現(xiàn)隨機抽取個學(xué)生進行調(diào)查，獲得數(shù)據(jù)如下表：假設(shè)用頻率估計概率，且所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨立， 男女支持方案一支持方案二(1)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機抽取人，設(shè)為抽出兩人中女生的個數(shù)，求的分布列；(2)在（1）中，表示抽出兩人中男生的個數(shù)，試判斷方差與的大小，（直接寫結(jié)果）【答案】(1)分布列見解析(2) 【分析】（1）分別計算出抽到女生的概率，分析可知隨機變量的可能取值為、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列；（2）分析可知，，由方差的性質(zhì)可得出、的關(guān)系.【詳解】（1）解：記從方案一中抽取到女生為事件，從方案二中抽取到女生為事件，則，，則的可能取值為、、，所以，，，所以的分布列為：（2）解：依題意可得，所以，即.20．某同學(xué)買了7個盲盒，每個盲盒中都有一個禮物，有4個裝小兔和3個裝小狗．(1)依次不放回地從中取出2個盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；(2)依次不放回地從中取出2個盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）設(shè)事件“第次取到的是小兔盲盒”，，求出，，再根據(jù)條件概率的概率公式計算可得；（2）設(shè)事件“第次取到的是小狗盲盒”，，求出，，，再根據(jù)全概率的概率公式計算可得.【詳解】（1）設(shè)事件“第次取到的是小兔盲盒”，．∵，，∴，即第次、第次取到的都是小兔盲盒的概率為．（2）設(shè)事件“第次取到的是小狗盲盒”，．∵，，，∴由全概率公式，可知第次取到的是小狗盲盒的概率為．21．某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類．【分析】（1）通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個期望的大小即可．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應(yīng)選擇先回答類問題．22．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；（2）已知函數(shù)有兩個不同的零點，且.證明：.【答案】（1）當(dāng)時，無極值點；當(dāng)時，有個極值點；（2）證明見解析.【分析】（1）易知函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)可得，令，則，由的單調(diào)性可得 ，再分和討論即可得解；（2）由題意知，，由的單調(diào)性可得，若要函數(shù)有兩個不同零點則有，即，再根據(jù)，令，可得，令，可得，作差即可得解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，令，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，此時，無極值點；當(dāng)時，，在上有且只有一個零點.在上有且只有一個極值點. 又，在上有且只有一個零點.在上有且只有一個極值點.綜上所述，當(dāng)時，無極值點；當(dāng)時，有個極值點；（2），則當(dāng)時，，單調(diào)遞減.當(dāng)時，，單調(diào)遞增.函數(shù)有兩個不同零點，且，即又令，則令，則單調(diào)遞增單調(diào)遞增.，令，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減即令，則.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想和證明推理能力，在高考中考查壓軸題，要求較高的計算能力和邏輯思維能力，屬于難題.本題的關(guān)鍵點有：（1）分類討論思想的應(yīng)用，分類討論的關(guān)鍵是找到討論點；（2）反復(fù)的構(gòu)造函數(shù)，并用導(dǎo)數(shù)研究相關(guān)構(gòu)造的函數(shù). 

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