2022-2023學年福建省泉州市五校聯(lián)考高二上學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．如圖，在平行六面體中，設，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量線性運算求解即可.【詳解】連接，如圖所示：.故選：B2．向量，，若，則（    ）A． B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)題意，設，即，即可求得、的值【詳解】因為向量，，且，則設，即，則有，則，，解得，，故選：C3．直線和直線互相垂直，則實數(shù)的值為（    ）A． B． C．或  D．或 【答案】B【分析】由兩直線互相垂直，直接列方程求解即可.【詳解】因為直線和直線互相垂直，所以，解得，故選：B4．若方程表示一個圓，則m的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】運用配方法，結合圓的標準方程的特征進行求解即可.【詳解】由，得，則.故選：A5．已知直線與圓：交于，兩點，且，則的值為（    ）A． B． C． D．2【答案】B【分析】利用圓的弦長、弦心距、半徑關系，以及點線距離公式列方程求k值.【詳解】由題設且半徑，弦長，所以到的距離，即，可得.故選：B6．已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（    ）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當且僅當時，等號成立）．故選：C．【點睛】7．若點在直線上，則的最小值為（    ）A．3 B．4 C．2 D．6【答案】C【分析】將轉化為兩點距離，即可求解．【詳解】解：表示點與點的距離，且點在直線外則的最小值為點到直線的距離，即，故的最小值為2．故選：C．8．向量的運算包含點乘和叉乘，其中點乘就是大家熟悉的向量的數(shù)量積．現(xiàn)定義向量的叉乘：給定兩個不共線的空間向量與，規(guī)定：①為同時與，垂直的向量；②，，三個向量構成右手系（如圖1）；③；④若，，則，其中．如圖2，在長方體中，，，則下列結論正確的是（    ）A．B．C．D．長方體的體積【答案】C【分析】利用向量的叉乘的定義逐項分析即得.【詳解】解法一：同時與，垂直；，，三個向量構成右手系，且，所以選項A錯誤；根據(jù)右手系知：與反向，所以，故選項B錯誤；因為，且與同向共線；又因為，且與同向共線，，與同向共線，所以，且與同向共線，，故選項C正確；因為長方體的體積為．又因為由右手系知向量方向垂直底面向上，與反向，所以，故選項D錯誤；故選：C．解法二：如圖建立空間直角坐標系：，，，則，所以選項A錯誤；，則，故選項D錯誤；，故選項B錯誤；，則，，，則．所以，故選項C正確；故選：C． 二、多選題9．“方程表示橢圓”的一個充分條件是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】求出表示橢圓時的取值范圍，進而選出答案.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得：或.故與是或的充分條件，故選：AC.10．下列說法中，正確的有（    ）A．過點且在軸，軸截距相等的直線方程為B．直線在軸的截距是2C．直線的傾斜角為30°D．過點且傾斜角為90°的直線方程為【答案】CD【分析】根據(jù)直線的截距、傾斜角、直線方程等知識確定正確答案.【詳解】A選項，直線過點且在軸，軸截距相等，所以A選項錯誤.B選項，直線在軸上的截距是，B選項錯誤.C選項，直線的斜率為，傾斜角為，C選項正確.D選項，過點且傾斜角為90°的直線方程為，D選項正確.故選：CD11．已知空間中三點，，，則下列結論正確的有（    ）A．B．與共線的單位向量是C．與夾角的余弦值是D．平面的一個法向量是【答案】AD【分析】A選項，數(shù)量積為0，則兩向量垂直；B選項，判斷出不是單位向量，且與不共線；C選項，利用向量夾角坐標公式進行求解；D選項，利用數(shù)量積為0，證明出，從而得到結論.【詳解】，故，A正確；不是單位向量，且與不共線，B錯誤；，C錯誤；設，則，，所以，又，所以平面的一個法向量是，D正確.故選：AD12．圓M：關于直線對稱，記點，下列結論正確的是（    ）A．點P的軌跡方程為 B．以PM為直徑的圓過定點C．的最小值為6 D．若直線PA與圓M切于點A，則【答案】ABD【分析】由題意可知過圓心，代入即可得作出圖象,利用直線與圓的關系依次判斷各選項即可求得結果.【詳解】圓M：配方得： ，圓M關于直線對稱，直線過圓心.,即點P的軌跡方程為，A正確.由，則，則以PM為直徑的圓過定點，B正確.的最小值即為到直線的距離，由于,則，C錯誤.由于，要使取最小，即取最小值，,，則D正確.故選：ABD 三、填空題13．以點為直徑的圓的一般式方程為______________．【答案】【分析】根據(jù)為直徑，得到直徑和圓心坐標，然后寫方程即可.【詳解】因為，，所以，中點坐標為，所以以為直徑的圓的標準方程為，展開得一般式方程為.故答案為：.14．若焦點在x軸上的橢圓的焦距為4，則___________．【答案】4【分析】根據(jù)橢圓中基本量的關系得到關于m的方程，解方程得到m的值.【詳解】因為橢圓的焦點在x軸上且焦距為4，所以，解得.故答案為：4.15．已知兩直線.若直線與不能構成三角形，則滿足條件的實數(shù)__________（寫出一個即可）.【答案】或或(寫出其中一個即可)【分析】分別討論或或過與的交點時，即可求解.【詳解】由題意可得，①當時，不能構成三角形，此時：，解得：；②當時，不能構成三角形，此時：，解得：；③當過與的交點時，不能構成三角形，此時：聯(lián)立與，得，解得，所以與過點，將代入得：，解得；綜上：當或或時，不能構成三角形.故答案為：或或.(寫出其中一個即可)16．三個“臭皮匠”在閱讀一本材料時發(fā)現(xiàn)原來空間直線與平面也有方程．即過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線l的方程為．三個“臭皮匠”利用這一結論編了一道題：“已知平面的方程為，直線l是兩個平面與的交線，則直線l與平面所成的角的正弦值是多少？”想著這次可以難住“諸葛亮”了．誰知“諸葛亮”很快就算出了答案．請問答案是______．【答案】【分析】求出已知的三個平面的法向量，由直線l是兩個平面與的交線，求出直線的方向向量，再根據(jù)線面角的向量求法，可得答案.【詳解】因為平面的方程為，故其法向量可取為，平面的法向量可取為，平面的法向量可取為，直線l是兩個平面與的交線，設其方向向量為，則，令，則，故設直線l與平面所成的角為 ，則，故答案為： 四、解答題17．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，Q為的中點.(1)用，，表示；(2)若底面是正方形，且，，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)空間向量基本定理結合空間向量的線性運算即可得解；（2）將用，，表示，再根據(jù)向量數(shù)量積的運算律計算即可得解.【詳解】（1）解：；（2）解：，所以.18．已知的頂點，邊上的高所在的直線方程為.(1)求直線的一般式方程；(2)在下列兩個條件中任選一個，求直線的一般式方程.①角A的平分線所在直線方程為；②邊上的中線所在的直線方程為.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）【答案】(1)(2)答案詳見解析 【分析】（1）求得直線的斜率，進而求得直線的一般式方程.（2）若選①，先求得點的坐標，求得關于直線對稱點的坐標，從而求得直線的一般式方程.若選②，先求得點的坐標，根據(jù)線段的中點在直線以及在直線上求得點的坐標，從而求得直線的一般式方程.【詳解】（1）邊上的高所在的直線方程為，斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，整理得.（2）若選①，角A的平分線所在直線方程為，，故.設是點關于直線的對稱點，則，解得，即，由于是直線上的點，所以，所以直線的方程為，整理得直線的一般式方程為.若選②，邊上的中線所在的直線方程為，，故.設，則的中點在直線上，即，整理得，在直線，即，，即，所以，所以直線的方程為，整理得直線的一般式方程為.19．已知的三頂點坐標為，求(1)的外接圓的方程;(2)過點作圓的切線，求切線方程.【答案】(1)(2) 或 【分析】（1）設外接圓的一般方程為，代入點坐標，待定系數(shù)即得解；（2）分不存在，存在兩種情況討論，利用圓心到直線距離等于半徑，求解即可.【詳解】（1）不妨設外接圓的一般方程為故解得：即的外接圓的方程為：（2）由題意，故圓心為，半徑，若切線的斜率不存在，則，此時圓心到直線的距離，成立，故為圓C的切線；若切線的斜率存在，不妨設切線為：，圓心到直線的距離：，解得故切線方程為：綜上，過點的圓的切線方程為： 或20．已知橢圓的長軸長為，兩焦點的坐標分別為和．（1）求橢圓的標準方程；（2）若為橢圓上一點，軸，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的長軸即焦點坐標,可得.由橢圓中滿足,即可求得,進而得橢圓的標準方程.（2）根據(jù),可得點坐標,即可求得的面積．【詳解】（1）橢圓的長軸長為,兩焦點的坐標分別為和則,且解得 所以橢圓的標準方程為（2）為橢圓上一點,軸所以點的橫坐標為,代入橢圓方程可求得點的縱坐標為 不妨設點在軸上方,則 所以【點睛】本題考查了橢圓標準方程的求法,橢圓的幾何性質簡單應用,焦點三角形面積求法,屬于基礎題.21．如圖，在三掕臺中，，，側棱平面，點是棱的中點.(1)證明：平面(2)求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質，可得，根據(jù)線面垂直的性質定理以及判定定理，可得，再結合線面垂直判定定理，可得答案.（2）建立空間直角坐標系，求兩個平面的法向量，根據(jù)面面角與法向量夾角的關系，可得答案.【詳解】（1）在平面內，過作，且，則，在中，，易知，即，平面平面，，且平面平面，平面平面，平面.（2）以點為原點，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，由點為的中點，則在平面中，取，設該平面的法向量，則，即，今，解得，故平面的一個法向量，在平面中，取，設該平面的法向量，則，即，今，解得，故平面的一個法向量，則，由圖得二面角為銳角，故平面與平面的夾角的余弦值為.22．在平面直角坐標系xOy中，動圓P與圓：內切，且與圓：外切，記動圓P的圓心的軌跡為E．(1)求軌跡E的方程；(2)過圓心的直線交軌跡E于A，B兩個不同的點，過圓心的直線交軌跡E于D，G兩個不同的點，且，求四邊形ADBG面積的最小值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)兩圓內切和外切列出圓心距與半徑的關系，即可發(fā)現(xiàn)圓心P的軌跡滿足橢圓的定義，進而可求出方程；（2）當直線AB的斜率不存在，或為0時，可直接由已知得出四邊形ADBG面積；當直線AB的斜斜率存在且不為0時，設出直線AB的方程，與聯(lián)立橢圓聯(lián)立，通過韋達定理與弦長公式得出與直線AB的斜率的關系，再由，得出直線DG的斜率與直線AB的斜率的關系，設出直線DG的方程，同理得出與直線AB的斜率的關系，即可列出四邊形ADBG面積的式子，再通過基本不等式的應用得出最小值.【詳解】（1）設動圓P的半徑為R，圓心P的坐標為，由題意可知：圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為，動圓P與圓內切，且與圓外切，，則動圓P的圓心的軌跡E是以， 為焦點的橢圓，設其方程為：，其中，，，，即軌跡E的方程為：.（2）當直線AB的斜率不存在，或為0時，四邊形ADBG面積長軸長通徑長，當斜率存在且不為0時，設直線AB的方程為，，，由可得：，，，，．，，同理可得：，，四邊形ADBG面積，則等號當且僅當時取，即時，. 

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