2022-2023學年福建省泉州市永春第一中學高二上學期期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．已知點，，則直線的傾斜角為（    ）A．30 B．60 C．120 D．150【答案】B【分析】求出直線的斜率即得解.【詳解】解：由題得直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，所以.故選：B2．已知平面的法向量分別為且則（    ）A． B． C．4 D．8【答案】C【解析】根據(jù)，則可得出答案.【詳解】因為平面的法向量分別為，且，所以，即，則故選：C3．圓x2+y2-2x-3=0與圓x2+y2-4x+2y+3=0的位置關(guān)系是（　　）A．相離 B．內(nèi)含 C．相切 D．相交【答案】D【分析】求出圓心和半徑，再根據(jù)兩個圓的圓心距與半徑之差和半徑和的關(guān)系，可得兩個圓相交．【詳解】由于圓x2+y2﹣2x﹣3＝0的圓心為（1，0），半徑等于2，而圓x2+y2﹣4x+2y+3＝0即（x﹣2）2+（y+1）2＝2，表示以（2，﹣1）為圓心，半徑等于的圓．由于兩個圓的圓心距為：，2，故兩個圓相交，故選D．【點睛】本題主要考查圓的標準方程，兩個圓的位置關(guān)系的判定方法，屬于中檔題．4．點關(guān)于直線的對稱點的坐標是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，利用垂直及中點在軸上這兩個條件求出的值，可得結(jié)論．【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標為，則由題意可得故答案為：B．5．雙曲線的漸近線方程是：，則雙曲線的焦距為（    ）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程是：，則求解.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程是：，所以，，所以焦距為.故選：B【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6．四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，點E為棱PC的中點，若，則等于（    ）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】運用向量的線性運用表示向量，對照系數(shù)，求得，代入可得選項.【詳解】因為，所以，所以，所以 ，解得，所以，故選：B.7．已知圓：，過直線：上一點Р作圓的切線，切點依次為A，B，若直線上有且只有一點Р使得，為坐標原點．則（    ）A．-20 B．20或12 C．-20或-12 D．12【答案】A【分析】由題設(shè)易知且為到直線的距離，再根據(jù)圓心坐標及半徑、即可確定m的值，進而可得，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標運算求.【詳解】∵這樣的點是唯一的，則，即為到直線：的距離，而圓的半徑為2且，∴要使，則，又，即，∴，故．故選：A．8．法國數(shù)學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”、“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓：的蒙日圓為：，過C上的動點M作的兩條切線，分別與C交于P，Q兩點，直線PQ交于A，B兩點，則下列結(jié)論不正確的是（    ）A．橢圓的離心率為B．面積的最大值為C．到的左焦點的距離的最小值為D．若動點D在上，將直線DA，DB的斜率分別記為，，則【答案】B【分析】對于A，取橢圓左頂點與上頂點處的切線，建立齊次方程，可得答案；對于B，根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積公式，可得答案；對于C，設(shè)出點的坐標，由兩點距離公式，利用函數(shù)的思想，可得答案；對于D，設(shè)出點的坐標，代入橢圓的標準方程，利用點差法，結(jié)合兩點之間斜率公式，可得答案.【詳解】依題意，過橢圓的上頂點作y軸的垂線，過橢圓的右頂點作x軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓C上，所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；因為點M，P，Q都在圓C上，且，所以PQ為圓C的直徑，所以，所以面積的最大值為，故B不正確；設(shè)，的左焦點為，連接MF，因為，所以，又，所以，則M到的左焦點的距離的最小值為，故C正確；由直線PQ經(jīng)過坐標原點，易得點A，B關(guān)于原點對稱，設(shè)，，則，，，又，所以，所以，所以，故D正確故選：B. 二、多選題9．以下四個命題表述正確的是（    ）A．直線恒過定點B．已知直線與直線互相垂直，則C．圓的圓心到直線的距離為2D．兩圓與的公共弦所在的直線方程為【答案】AB【分析】將直線轉(zhuǎn)化為對恒成立，即可判斷A是否正確；根據(jù)直線垂直的關(guān)系可知，解出的值，即可判斷B是否正確；求出圓心坐標，再根據(jù)點到直線的距離公式即可判斷C是否正確；將兩圓方程聯(lián)立作差，即可求解兩個圓的公共弦方程，進而判斷D是否正確；【詳解】直線，即對恒成立，所以直線恒過定點，所以A正確；因為與直線互相垂直，所以，所以，所以B正確；因為圓的圓心坐標為，所以圓心到直線的距離為，所以C錯誤；將兩圓與方程聯(lián)立，作差可得，所以D錯誤.故選：AB.10．已知曲線的方程為，則（    ）A．當時，曲線是半徑為2的圓B．存在實數(shù)，使得曲線的離心率為的雙曲線C．當時，曲線為雙曲線，離心率為D．“”是“曲線為焦點在軸上的橢圓”的必要不充分條件【答案】AD【分析】根據(jù)圓，雙曲線和橢圓的定義，依次判斷每個選項，AD正確，B選項方程無解排除，求出雙曲線離心率排除C選項得到答案.【詳解】當時，方程為，表示半徑為的圓，A正確；若曲線表示雙曲線，則，故或，當時，，無解，當時，，無解，B錯誤；當時，，曲線為雙曲線，，C錯誤；曲線為焦點在軸上的橢圓，則滿足，解得，故D正確.故選：AD.11．已知橢圓：的左?右焦點分別為，，點在上，若是直角三角形，則的面積可能為（    ）A．5 B．4 C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)對稱性只需考慮或，當時，求出的長，再由面積公式即可求面積，當時，結(jié)合，求出，再由面積公式即可求面積.【詳解】由可得，，所以，根據(jù)對稱性只需考慮或，當時，將代入可得，如圖：，，所以的面積為，當時，由橢圓的定義可知：，由勾股定理可得，因為，所以，解得：，此時的面積為，綜上所述：的面積為或.故選：BC.12．已知正三棱柱中，為的中點，點在線段上，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．直線平面， B．和到平面的距離相等C．存在點，使得平面 D．存在點，使得【答案】AB【分析】連接交于點，連接，證得，進而得到平面，可判定A正確；證得，結(jié)合斜線與平面所成的角相等，可判斷B正確；假設(shè)存在點，使得平面，得到，令，結(jié)合，可判定C、D錯誤.【詳解】對于A中，如圖所示，連接交于點，連接，因為為正三棱柱，所以其側(cè)面都是矩形，所以為的中點，又因為是的中點，所以，由平面，且平面，所以平面，所以A正確；對于B中，因為交于點，，，所以，因為與與平面成角相等，所以和到平面的距離相等，所以B正確；對于C中，假設(shè)存在點，使得平面，因為平面，所以，令，可得，因為和所成角為銳角，和所成角為銳角，所以，所以，所以不成立，所以C錯誤；對于D中，由C知，所以不存在點，使得，所以D錯誤.故選：AB. 三、填空題13．已知，若三向量共面，則實數(shù)=_____.【答案】【分析】由題意結(jié)合向量基本定理得到方程組，求解方程組即可確定的值.【詳解】由題意可知，存在實數(shù)滿足：，據(jù)此可得方程組：，求解方程組可得：.故答案為．【點睛】本題主要考查空間向量基本定理，方程的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.14．已知點到直線的距離為1，則等于______．【答案】【分析】由點到直線的距離公式，即得解【詳解】由點到直線的距離公式，得，即，又，所以．故答案為：15．已知方程表示圓，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【分析】若表示圓，則，據(jù)此列式計算即可.【詳解】由題意，得，化簡得，解得，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：. 四、解答題16．在平面直角坐標系中，已知，線段的中點M；(1)求過M點和直線平行的直線方程；(2)求邊的高線所在直線方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)，求得點M的坐標，和直線直線的斜率，寫出直線方程；（2）根據(jù)，得到邊的高線的斜率，寫出直線方程；【詳解】（1）解：因為，所以，，所以過M點和直線平行的直線方程為，即；（2）因為，所以邊的高線的斜率為-3，所以邊的高線所在直線方程，即17．如圖，已知平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，,，設(shè)(1)用表示，并求；(2)求AC1與BD所成角的大小.【答案】(1)(2)90° 【分析】（1）（2）問均用作為向量把其他向量表示出來，再代入對于公式計算即可.【詳解】（1），．（2）∵∴，因此AC1與BD所成角的大小為90°18．已知直線，半徑為2的圓C與相切，圓心C在軸上且在直線右上方.(1)求圓C的方程；(2)問題：是否存在______的直線被圓C截得的弦長等于？若存在，則求直線的方程；若不存在，請說明理由.請從下面給出的三個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并進行解答.①過點；②在軸上的截距和在軸上的截距相等；③方程為.【答案】(1)(2)選①，存在，直線的方程為或；選②，存在，直線的方程為；選③，不存在直線，理由見解析 【分析】（1）設(shè)圓心坐標為，，由圓心到切線距離等于半徑求得得圓方程；（2）由弦長得圓心到直線的距離，選①，檢驗斜率不存在的直線符合要求，斜率存在的直線設(shè)出直線方程后由點到直線距離公式求解；選②，分類討論，截距為0，直線過原點時檢驗可得，截距不為0時設(shè)出直線方程，由點到直線距離公式求解；選③，直接由點到直線距離公式求解．【詳解】（1）直線與軸交點為，依題意設(shè)所求圓的圓心C的坐標為，則，解得或（舍去）.故所求圓C的方程為；（2）由題意易得圓心C到直線的距離為選①：直線過點.若直線的斜率不存在，則直線的方程為，易知符合題意；若直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時直線的方程為.綜上，存在符合題設(shè)的直線且其方程為或選②：直線在x，y兩坐標軸上的截距相等.若直線的截距都為0，則直線過原點O即圓心C，不合題意；若直線的截距都不為0，不妨設(shè)直線的方程為，即.則有，解得.綜上，存在符合題設(shè)的直線且其方程為.選③：直線方程為.由題意，得整理，得，（*）因為，所以方程（*）無解，所以不存在符合題設(shè)的直線．19．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，點E，F分別是，上的動點，且.(1)求證：平面；(2)若，且PC與底面ABCD所成角的正弦值為，求平面AEC與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2). 【分析】（1）證明平面，再結(jié)合得到證明.（2）如圖所示建立空間直角坐標系，計算各點坐標，根據(jù)向量垂直得到平面的一個法向量為，平面的一個法向量，根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）底面，平面，故，又，且，平面，故平面，，即平面.（2）由底面，得與底面所成角即為，，，則，，，以A為原點，以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸，以AP所在直線為z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，，令，則，.又平面，而，平面的一個法向量，，由圖可知平面與平面夾角為銳二面角，則平面AEC與平面AED夾角的余弦值為.20．已知雙曲線：與雙曲線有相同的漸近線，直線被雙曲線所截得的弦長為6．(1)求雙曲線的方程；(2)過雙曲線右焦點的直線與雙曲線相交于，兩點，求證：以為直徑的圓恒過軸上的定點，并求此定點坐標．【答案】(1)；(2)定點坐標為，詳見解析. 【分析】（1）由題可得雙曲線的漸近線為，然后直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合弦長可得方程，進而即得；（2）當直線的斜率不為0時，可設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達定理法可得以為直徑的圓的方程，然后令，結(jié)合條件可得定點，當直線的斜率為0時，易得以為直徑的圓過此定點，即得.【詳解】（1）由雙曲線，可得其漸近線為，∴雙曲線：的漸近線為，∴，即，∴雙曲線：，由，可得，解得，∴直線被雙曲線所截得的弦長為，解得，所以雙曲線的方程為；（2）當直線的斜率不為0時，可設(shè)，由，可得，設(shè)，則，，∴，，設(shè)以為直徑的圓上任意一點，則，∴以為直徑的圓的方程為，令，可得，∴，∴，由，可得，即以為直徑的圓恒過定點，當直線的斜率為0時，此時為實軸端點，顯然以為直徑的圓過點，綜上，以為直徑的圓恒過軸上的定點，此定點坐標為.21．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e =，經(jīng)過點P（2，3）．(1)求橢圓C的方程；(2)若點Q與點P關(guān)于x軸對稱，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動點．①若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；②當A、B運動時，滿足于∠APQ =∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值，說明理由．【答案】(1)(2)① ；②斜率為定值；理由見解析 【分析】（1）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)離心率可得出，將點P坐標代入橢圓方程，從而可得出答案.（2）①設(shè)，直線AB的方程為與橢圓方程聯(lián)立，得出韋達定理，根據(jù)四邊形APBQ面積為整理化簡，將韋達定理代入，可得答案.②由題意則PA，PB的斜率互為相反數(shù)，設(shè)PA的直線方程為y－3 = k（x－2）與橢圓方程聯(lián)立得出，同理得出，代入AB的斜率公式中可得答案.【詳解】（1）設(shè)橢圓C的方程為（a＞b＞0），則，且，解得a2 = 16，b2 = 12，∴ 橢圓C的方程為．（2）① ∵ 點Q與點P（2，3）關(guān)于x軸對稱，∴ Q（2，－3）．設(shè)，直線AB的方程為，代入中，消去y，整理，得 x2－tx + t2－12 = 0．由，解得 －4＜t＜4；由韋達定理，得 x1 + x2 = t，x1x2 = t2－12．注意到線段PQ⊥x軸，︱PQ︱= 6，∴ 四邊形APBQ的面積=，∴ 當t = 0，Smax =．                                    ② 當∠APQ =∠BPQ，則PA，PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為－k．由PA的直線方程為y－3 = k（x－2），與橢圓C的方程聯(lián)立，組成方程組，消去y整理，得（3 + 4k2）x2 + 8k（3－2k）x + 4（3－2k）2－48 = 0，所以 ．同理，PB的直線方程為y－3 =－k（x－2），有（3 + 4k2）x2－8k（3 + 2k）x + 4（3 + 2k）2－48 = 0，所以 ．于是 ，，因此，將x1 + x2，x1－x2代入，可得kAB =．所以，AB的斜率為定值．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查根據(jù)橢圓離心率和點在橢圓上求橢圓方程，求四邊形面積的最值以及定點問題，解答本題的關(guān)鍵是將四邊形的面積表示為=，從而得出面積的最值，利用直線PA的方程與橢圓方程聯(lián)立得出點的坐標，同理得出的坐標,屬于難題. 五、雙空題22．把半橢圓：和圓?。?/span>合成的曲線稱為“曲圓”，其中點是半橢圓的右焦點，分別是“曲圓”與軸的左、右交點，分別是“曲圓”與軸的上、下交點，已知，過點的直線與“曲圓”交于兩點，則半橢圓方程為_________（），的周長的取值范圍是_______________.【答案】          【分析】由橢圓的焦點坐標以及，可得橢圓的標準方程和圓的方程，從而得到半橢圓方程；易知是橢圓的左焦點，過橢圓的右焦點的直線與曲圓可得，，在直線轉(zhuǎn)動的過程中由，的位置可得三角形的周長的取值范圍．【詳解】解：由，令，可得以及，再由橢圓的方程及題意可得，，，由，可得，由可得，所以，所以半橢圓及圓弧的方程分別為，，所以，可得相當于橢圓的左焦點，的周長為，當從（不包括向運動時，，當在軸右側(cè)時，，所以這時三角形的周長為8，當從向運動時，在第四象限，則，，這時三角形的周長小于8，當運動到時，在處，不構(gòu)成三角形，三角形的周長接近，由曲圓的對稱性可得運動到軸下方時，與前面的一樣，綜上所述，的周長的取值范圍為，．故答案為：；． 

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