一、單選題
1．已知圓的方程圓心坐標(biāo)為，則它的半徑為
A．B．C．D．
【答案】D
【詳解】分析：先根據(jù)圓心坐標(biāo)求出a的值，再求圓的半徑.
詳解：由題得所以圓的半徑為
故答案為D
點睛：(1)本題主要考查圓的一般方程，意在考查學(xué)生對該基礎(chǔ)知識的掌握能力. (2) 當(dāng)時，表示圓心為，半徑為的圓.
2．圖中的直線的斜率分別為，則有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直線斜率的概念，結(jié)合圖象，可直接得出結(jié)果.
【詳解】由圖象可得，，
故選：C
3．已知向量，且，則的值為（ ）
A．4B．2C．3D．1
【答案】A
【分析】根據(jù)空間向量垂直得到，解方程即可.
【詳解】因為，所以，
因為向量，，
所以，解得，
所以的值為4.
故選：A.
4．在平行六面體中，M為AC與BD的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用空間向量線性運算法則進(jìn)行運算即可.
【詳解】因為在平行六面體中，，
所以.
故選：A.
5．已知橢圓經(jīng)過點，當(dāng)變動時，截得直線的最大弦長為，則的方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意求出和，代入橢圓方程即可.
【詳解】由題意可得，，所以，所以橢圓方程為.
故選：A
6．一束光線從點射出，沿傾斜角為的直線射到軸上，經(jīng)軸反射后，反射光線所在的直線方程為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【詳解】先求得入射光線所在直線與軸的交點，進(jìn)而求得反射光線所在直線方程.
【分析】傾斜角為的直線，斜率為，
所以入射光線為，
令，解得，所以入射光線與軸的交點為，
反射光線的斜率為，則反射光線的方程為.
故選：D
7．已知圓，點在圓上，點，為的中點，為坐標(biāo)原點，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)中點坐標(biāo)公式結(jié)合相關(guān)點法可得的軌跡方程為，即可根據(jù)相切求解最值.
【詳解】由題意知圓的方程為，設(shè)，，
則,所以,又在圓上，所以，
即，即的軌跡方程為.如圖所示，
當(dāng)與圓相切時，取得最大值，
此時，，所以的最大值為.
故選:A
8．如圖，已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點，，A、B、C、D是它們的公共點，且都在圓上，直線與x軸交于點P，直線與雙曲線交于點，記直線、的斜率分別為、，若橢圓的離心率為，則的值為（ ）

A．2B．
C．D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件依次求得兩點的坐標(biāo)，由此可求得的值.
【詳解】設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
則，由，，
所以，所以橢圓方程可化為，
由，兩式相減得，
，則，
根據(jù)對稱性可知關(guān)于原點對稱，關(guān)于軸對稱.
則，
直線的方程為.
將代入得，
由，解得或，
而，，所以，
所以，所以雙曲線方程可化為，
由消去并化簡得，
設(shè)，解得，所以，
所以.
故選：B
【點睛】本題中，涉及圓和雙曲線、圓和橢圓、直線和雙曲線等圖象的“交點”，求交點的坐標(biāo)，主要是通過聯(lián)立方程組來進(jìn)行求解，要注意運算的準(zhǔn)確性，另外也要注意運算的速度.在雙曲線和橢圓中，的關(guān)系是不相同的.
二、多選題
9．直線l過點且斜率為k，若與連接兩點，的線段有公共點，則k的取值可以為（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】AD
【分析】要使直線l與線段AB有公共點，則需或，根據(jù)兩點的斜率公式計算可得選項.
【詳解】解：要使直線l與線段AB有公共點，則需或，
而，，所以或，
所以k的取值可以為或4，
故選：AD
10．在正方體中，分別是和的中點，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．//平面B．平面
C．D．點與點到平面的距離相等
【答案】AC
【分析】采用逐一驗證法，建立空間直角標(biāo)系，根據(jù)線面平行的判定定理以及線面垂直的判定定理可知A,B正誤，然后根據(jù)向量的坐標(biāo)運算以及點面距相等的判定條件，可得結(jié)果.
【詳解】對A，因為分別是和的中點
故，故//平面成立.
對B，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體邊長為2
則，.故.
故不互相垂直.又屬于平面.故平面不成立.
對C， ，.
，故成立.
對D，點與點到平面的距離相等則點與點中點在平面上.
連接易得平面即平面.
又點與點中點在上，故點不在平面上.故D不成立.
故選：AC
【點睛】本題考查線面關(guān)系、點面距以及空間向量的坐標(biāo)運算，掌握線線、線面、面面的相關(guān)定理以及點面距、面面距、線面距的向量求法，屬基礎(chǔ)題.
11．已知、滿足，則（ ）
A．的最小值為B．的最大值為
C．的最小值為D．的最小值為
【答案】BCD
【分析】利用距離的幾何意義結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可判斷AD選項；設(shè)，可知直線與圓有公共點，利用直線與圓的位置關(guān)系求出的取值范圍，可判斷B選項；設(shè)，可知直線與圓有公共點，利用直線與圓的位置關(guān)系求出的取值范圍，可判斷C選項.
【詳解】方程可變形為，
則方程表示的曲線是以為圓心，以為半徑的圓，
對于A選項，設(shè)點，則表示圓上的點到原點的距離的平方，
因為，則原點在圓外，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)為線段與圓的交點時，取最小值，
所以，的最小值為，故A錯誤；
對于B選項，設(shè)，則，
由題意知直線與圓有公共點，
則，即，解得，
即的最大值為，故B正確；
對于C選項，設(shè)，即，
由題意知直線與圓有公共點，
所以，解得，故的最小值為，故C正確；
因為，
所以，
代數(shù)式表示點到點的距離，
因為，所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)點為線段與圓的交點時，取最小值，
所以，的最小值為，故D正確.
故選：BCD.
12．月光石是由兩種長石混合組成的具有月光效應(yīng)的長石族礦物.某月光石的截面曲線可近似看成由半圓和半橢圓組成.圓的半徑?橢圓的短半軸長都為1，橢圓的焦距為是曲線上不同的兩點，為坐標(biāo)原點，的面積為，則（ ）
A．線段的最大值為
B．若在半圓上，則的最大值為
C．當(dāng)軸時，的最大值為
D．若在半橢圓上，當(dāng)時，取得最大值
【答案】ABD
【分析】A.由在軸上時，線段的最大求解判斷；B.設(shè)，由判斷；C.由軸，設(shè)直線的方程為，由求解判斷；D.直線斜率存在時，設(shè)直線：，并代入半橢圓方程，由，得到m，k的關(guān)系，然后由求解判斷.
【詳解】由題意得，圓的方程為： ，橢圓方程為，
當(dāng)在軸上時，線段的最大值為，故正確；
設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B正確；
當(dāng)軸時，設(shè)直線的方程為，，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故C錯誤；
當(dāng)在半橢圓上，直線斜率存在時，設(shè)直線：，，
由，得，
由韋達(dá)定理得，
，
則，
點到直線的距離，
由，解得，
則，
，
，所以.
當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)：，
由，解得，
則，故D正確.
故選：ABD
三、填空題
13．拋物線上的點到焦點的距離為，則 .
【答案】
【分析】由拋物線的定義可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，
由拋物線的定義可知，拋物線上的點到焦點的距離為，
解得.
故答案為：.
14．已知點，，，四點共圓，則 .
【答案】1
【分析】設(shè)出圓的一般方程，帶入，，坐標(biāo)，求出圓的方程，再帶入點求出答案.
【詳解】設(shè)過，，的圓的方程為，，
則，
解得，
所以過，，的圓的方程為，
又點在此圓上，
所以，
即，
所以，
故答案為：1
15．已知直線與圓：交于，兩點，且，則的最大值為 .
【答案】30
【分析】的幾何意義為點到直線的距離之和，根據(jù)梯形中位線知其最大值是的中點到直線的距離的2倍．由題意，所以的中點的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓，利用圓的性質(zhì)即可得解.
【詳解】的幾何意義為點到直線的距離之和，
根據(jù)梯形中位線知其最大值是的中點到直線的距離的2倍，
由題可知， 圓：的圓心，半徑為2，，
則，
所以的中點的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓，
故點到直線的最大距離，
所以的最大值為，
則的最大值為30．
故答案為：30．
16．在長方體中，分別是棱上的動點（不含端點），且，則三棱錐體積的取值范圍是 .
【答案】
【分析】直接建立空間直角坐標(biāo)系或者應(yīng)用等體積法做即可.
【詳解】法一：以為原點，分別以直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.
如圖所示，

設(shè)，而，
則，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，則
所以平面的一個法向量為，
點到平面的距離
因為
設(shè)中的邊上的高為，則 ，
所以（），
所以三棱錐的體積的取值范圍是，
故答案為：
法二：設(shè)，延長到，使得，
則，，則，于是，

而長方體的對角面是矩形，則有，
又平面，平面，于是平面，
所以到平面的距離等于到平面的距離，
由等體積法可知，
又，
故，所以，
故答案為：
四、解答題
17．如圖，若是雙曲線的兩個焦點.
（1）若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；
（2）若P是雙曲線左支上的點，且，試求的面積.
【答案】（1）10或22；（2）.
【分析】（1）利用雙曲線的定義，根據(jù)動點到一個焦點的距離求動點到另一個焦點的距離即可；
（2）先根據(jù)定義得到，兩邊平方求得，即證，，再計算直角三角形面積即可.
【詳解】解：（1）是雙曲線的兩個焦點，則，
點M到它的一個焦點的距離等于16，設(shè)點到另一個焦點的距離為，
則由雙曲線定義可知，，解得或，
即點到另一個焦點的距離為或；
（2）P是雙曲線左支上的點，則，
則，而，
所以，
即，
所以為直角三角形，，
所以.
18．已知的三個頂點是，，.
(1)求邊上的高所在直線的方程；
(2)求的角平分線所在直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)垂直滿足的斜率關(guān)系，即可由點斜式求解直線方程，
（2）根據(jù)兩點距離可得三角形為等腰三角形，進(jìn)而得中點坐標(biāo)，根據(jù)兩點斜率公式即可求解斜率.
【詳解】（1）設(shè)邊上的高所在直線的斜率為，直線的斜率，
所以，所以，
故所求直線方程為，即.
（2）由題意得，，
所以，則為等腰三角形，
的中點為，故，
由等腰三角形的性質(zhì)知，為的平分線，
故所求直線方程為，即.

19．如圖，在長方體中，，，點、分別為、的中點．
（1）證明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】(1)見證明；(2)
【分析】（1）以點A為坐標(biāo)原點，分別以AB，AD，AA1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AC1⊥平面BDE．
（2）求出平面BDE的法向量和平面FBE的法向量，二面角F﹣BE﹣D為銳二面角，利用向量法能求出二面角的余弦值．
【詳解】(1)如圖，以點A為坐標(biāo)原點，分別以AB,AD,A為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,),(1,1,),
,,
,
,
與BE是平面BDE內(nèi)兩條相交直線
平面BDE
（2）由（1）進(jìn)一步可得F(0，)，
設(shè)平面BDE的法向量為，可取，
設(shè)平面FBE的法向量為，
由,可得，取x=1，可得(1,-2,)
.
由于二面角F-BE-D為銳二面角，故所求的二面角的余弦值為
【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
20．已知圓，圓：，圓：，這三個圓有一條公共弦.
(1)當(dāng)圓的面積最小時，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)在（1）的條件下，直線同時滿足以下三個條件：
（i）與直線垂直；
（ii）與圓相切；
（iii）在軸上的截距大于0，
若直線與圓交于，兩點，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）聯(lián)立圓與圓的方程，求得公共弦的兩個端點坐標(biāo)分別為，，當(dāng)圓的面積最小時，是圓的直徑，求解即可；
（2）由題意設(shè)直線的方程為，結(jié)合條件直線與圓相切，在軸上的截距大于0，求得，然后利用弦長公式求解.
【詳解】（1）依題意，由，解得或，
因此圓與圓的公共弦的兩個端點坐標(biāo)分別為，，
當(dāng)圓的面積最小時，是圓的直徑，則圓的圓心為，半徑為，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
（2）因為直線與直線垂直，則設(shè)直線的方程為，
而直線與圓相切，則有，解得或，
又因為在軸上的截距大于0，即，所以，
即直線的方程為，而圓的圓心，半徑，
點到直線：的距離為，
于是得.

21．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面為等邊三角形，頂點在底面上的射影在正方形外部，設(shè)點，分別為，的中點，連接，.
(1)證明：平面；
(2)若四棱錐的體積為，設(shè)點為棱上的一個動點（不含端點），求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）取的中點，利用線面平行的判定、面面平行的判定、性質(zhì)推理即得.
（2）利用給定體積求出錐體的高，以點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，再利用線面角的向量求法求解即得.
【詳解】（1）取的中點，連接，，如圖，
由為的中點，得，而平面，平面，則平面，
又，且，即四邊形為平行四邊形，則，
又平面，平面，于是平面，
顯然，平面，因此平面平面，又平面，
所以平面.
（2）連接，設(shè)該四棱錐的高為，則體積為，，
連接，則，平面，
于是平面，而平面，則平面平面，
在平面內(nèi)過作，而平面平面，從而平面，
顯然兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
則，，，設(shè)，
則，點，，
設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，
設(shè)直線與平面所成的角為，則
，
令，則，且，
因此，
所以當(dāng)，即時，取得最大值，且最大值為.
22．已知、分別為橢圓的左、右焦點，M為上的一點.
(1)若點M的坐標(biāo)為，求的面積；
(2)若點M的坐標(biāo)為，且直線與交于不同的兩點A、B，求證：為定值，并求出該定值；
(3)如圖，設(shè)點M的坐標(biāo)為，過坐標(biāo)原點O作圓（其中r為定值，且）的兩條切線，分別交于點P，Q，直線OP，OQ的斜率分別記為，.如果為定值，求的取值范圍，以及取得最大值時圓M的方程.
【答案】(1)；
(2)證明見解析，0；
(3)，圓M的方程為或.
【分析】（1）將點代入求出，再求出左、右焦點即可求解.
（2）將直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求解.
（3）設(shè)出直線:，直線:，利用點到直線的距離公式可得、是關(guān)于的方程的兩實根，根據(jù)題意為定值，可得，，設(shè)，，將直線:，直線:與橢圓聯(lián)立，求出，即求.
【詳解】（1）由已知條件得，因為，則，又，
因此的面積為.
（2）設(shè)，由，得，
，又，，
，
于是
，
即為定值.
（3）因為直線:與相切，則，即，
同理，由直線:與相切，可得，
于是、是關(guān)于的方程的兩實根，
注意到，且，故，
因為定值，故不妨設(shè)（定值），
于是有，即.
依題意可知，變化，而、均為定值，即有，解得，，
設(shè)，，由得，同理，
所以
，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
因此，解得，所以的范圍為，
當(dāng)或時，直線關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，此時圓心M為橢圓頂點，
所以圓M的方程為或.
【點睛】思路點睛：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．
（2）涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．

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