全國通用中考數(shù)學(xué) 二次函數(shù)壓軸題專題練習(xí) 12直角三角形存在性問題（不含答案版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、幾何法：兩線一圓得坐標(biāo)
（1）若∠A為直角，過點(diǎn)A作AB的垂線，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；
（2）若∠B為直角，過點(diǎn)B作AB的垂線，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C；
（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)C．（直徑所對(duì)的圓周角為直角）
二、構(gòu)造三垂直：
構(gòu)造三垂直步驟：
①過直角頂點(diǎn)作一條水平或豎直的直線；
②過另外兩端點(diǎn)向該直線作垂線，即可得三垂直相似．
三、代數(shù)法：表示線段構(gòu)勾股
（1）表示點(diǎn)：設(shè)坐標(biāo)為（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；
（2）表示線段：，，；
（3）分類討論：當(dāng)為直角時(shí)，；
（4）代入得方程：，解得：．
小結(jié)：
幾何法：（1）“兩線一圓”作出點(diǎn)；
（2）構(gòu)造三垂直相似，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求線段，必要時(shí)可設(shè)未知數(shù)．
代數(shù)法：（1）表示點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)；
（2）表示線段AB、AC、BC；
（3）分類討論①AB2+AC2=BC2、②AB2+BC2=AC2、③AC2+BC2=AB2；
（4）代入列方程，求解．
如果問題變?yōu)榈妊苯侨切未嬖谛?，則同樣可采取上述方法，只不過三垂直得到的不是相似，而是全等．
例．（2024?酒泉二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖2，是否存在點(diǎn)D，使得以A，C，D為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
對(duì)應(yīng)練習(xí)：
1．（2024春?蘭山區(qū)校級(jí)月考）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，M為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)N，使得以B，C，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2．（2024?富順縣二模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象上是否存在點(diǎn)M，使三角形ACM是以AC為直角邊的直角三角形．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
3．（2024?秭歸縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：交x軸于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．拋物線L2與L1是“共根拋物線”，其頂點(diǎn)為P．
（1）若拋物線L2經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣5），求拋物線L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）是否存在以點(diǎn)A，C，P為頂點(diǎn)的三角形是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出拋物線L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說明理由．
4.（2024?遂寧）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），P、Q為拋物線上的兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)P、C兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，△OPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
5．（2024?錦江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），連接線段AC和線段BC．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．
（2）若動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)以每秒個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求當(dāng)t為何值時(shí)，△BEF為直角三角形．
6．（2024春?威遠(yuǎn)縣校級(jí)期中）已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的頂點(diǎn)P在直線y＝﹣4x上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）D是線段BP上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，E點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0）.在BP上是否存在點(diǎn)D，使△DCE為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
7．（2023秋?新會(huì)區(qū)校級(jí)月考）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于C（0，﹣2）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是直角三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出答案，如果不存在，請(qǐng)說明理由．
8．（2024?涼州區(qū)二模）如圖，已知：關(guān)于y的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，6），拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為直角三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
9．（2023秋?伊通縣校級(jí)月考）如圖①，二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣5與x軸交于點(diǎn)A、C，且點(diǎn)A在點(diǎn)C的右側(cè)，與y軸交于點(diǎn)B，連接AB．
（1）求拋物線的對(duì)稱軸；
（2）求直線AB的解析式；
（3）如圖②，點(diǎn)P是x軸下方、拋物線對(duì)稱軸右側(cè)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，過點(diǎn)P作PQ∥AB，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，M、N為AB上的兩點(diǎn)，且PM∥y軸，QN∥y軸．
①當(dāng)△BPM為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
10．（2024?婁底模擬）如圖，拋物線C：y＝ax2+6ax+9a﹣8與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是2，拋物線C的頂點(diǎn)為D．
（1）求a的值及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是x軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線C繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C1，記拋物線C1的頂點(diǎn)為E，拋物線C1與x軸的交點(diǎn)為F，G（點(diǎn)F在點(diǎn)G的右側(cè)）．當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)（如圖1），求拋物線C1的表達(dá)式；
（3）如圖2，在（2）的條件下，從A，B，D中任取一點(diǎn)，E，F(xiàn)，G中任取兩點(diǎn)，若以取出的三點(diǎn)為頂點(diǎn)能構(gòu)成直角三角形，我們就稱拋物線C1為拋物線C的“勾股伴隨同類函數(shù)”．當(dāng)拋物線C1是拋物線C的勾股伴隨同類函數(shù)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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