如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,3），在x軸上取點(diǎn)C使得△ABC是等腰三角形．
【幾何法】“兩圓一線”得坐標(biāo)
（1）以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有AB=AC；
（2）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有CA=CB．
注意：若有三點(diǎn)共線的情況，則需排除．
【代數(shù)法】表示線段構(gòu)相等
（1）表示點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），又A點(diǎn)坐標(biāo)（1,1）、B點(diǎn)坐標(biāo)（4,3），
（2）表示線段：，
（3）分類討論，列出方程：根據(jù)，可得：，
（4）求解得答案：解得：，故坐標(biāo)為．
【小結(jié)】
幾何法：（1）“兩圓一線”作出點(diǎn)；
（2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長，由線段長得點(diǎn)坐標(biāo)．
代數(shù)法：（1）表示出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)A、B、C；
（2）由點(diǎn)坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AC、BC；
（3）根據(jù)題意要求?、貯B=AC、②AB=BC、③AC=BC；
（4）列出方程求解．
1．（2024秋?紅塔區(qū)期中）綜合與探究
如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），且OA＝OC，E是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線EF垂直于x軸交直線AC和拋物線分別于點(diǎn)D、F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，線段DF有最大值，并寫出最大值為多少；
（3）點(diǎn)P是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若使三角形PBC是等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
2．（2024秋?武威月考）如圖，點(diǎn)C為二次函數(shù)y＝（x+1）2的頂點(diǎn)，直線y＝﹣x+m與該二次函數(shù)圖象交于A（﹣3，4）、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在y軸上），與二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．
（1）求m的值及點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）在該二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
3．（2024秋?寶坻區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）過P點(diǎn)作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)E，求線段PE的最大值．
（3）在直線BC找一點(diǎn)Q，使得△QOC為等腰三角形，直接寫出Q點(diǎn)．
4．（2024?雅安）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖①，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)線段PQ的長度最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如圖②，在（2）的條件下，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得△BDE為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
5．（2024?仁布縣一模）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△DBC的面積；
（3）在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使P，B，C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
6．（2024?清鎮(zhèn)市校級(jí)模擬）人生有低谷，那可是觸地反彈前的轉(zhuǎn)折點(diǎn)！如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于C（0，3）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）求線段BC的長．
（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC為等腰三角形？如不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)直接寫出P的坐標(biāo)．
7．（2024?濱湖區(qū)校級(jí)二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣4的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B（2，0），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若拋物線的對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），連接PC，作PQ⊥PC交x軸于點(diǎn)Q（k，0），求k的取值范圍；
（3）連接AD、BD，點(diǎn)M、N分別在線段AB、AD上（均含端點(diǎn)），且∠DMN＝∠DBA，若△DMN是等腰三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
8．（2024?城關(guān)區(qū)校級(jí)一模）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）求線段BC的長．
（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
9．（2024春?渠縣校級(jí)月考）如圖，一次函數(shù)與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B，其對(duì)稱軸為直線
（1）求該二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAC為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
10．（2024?興慶區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線BC的上方．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BPC的面積最大？請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC面積的最大值．
（3）除原點(diǎn)外，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△BCQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
11．（2024?梅州模擬）如圖所示，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），B（﹣1，0），C（0，﹣5）．
（1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）直線x＝t（0＜t＜5）交二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象于點(diǎn)P，交直線AC于點(diǎn)Q，是否存在實(shí)數(shù)t，使△CPQ為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出這樣的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
12．（2024春?錫山區(qū)期中）如圖1，二次函數(shù)y＝ax2+2ax+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝OC．點(diǎn)P為拋物線第二象限上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）直接寫出該二次函數(shù)的表達(dá)式為 ；
（2）連接PA、PC、BC，求四邊形ABCP面積的最大值；
（3）如圖2，連結(jié)BP交AC于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)Q．當(dāng)△PQH為等腰三角形時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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