如圖，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4,3），在x軸上取點(diǎn)C使得△ABC是等腰三角形．
【幾何法】“兩圓一線”得坐標(biāo)
（1）以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有AB=AC；
（2）以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作圓，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有BA=BC；
（3）作AB的垂直平分線，與x軸的交點(diǎn)即為滿足條件的點(diǎn)C，有CA=CB．
注意：若有三點(diǎn)共線的情況，則需排除．
【代數(shù)法】表示線段構(gòu)相等
（1）表示點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（m，0），又A點(diǎn)坐標(biāo)（1,1）、B點(diǎn)坐標(biāo)（4,3），
（2）表示線段：，
（3）分類討論，列出方程：根據(jù)，可得：，
（4）求解得答案：解得：，故坐標(biāo)為．
【小結(jié)】
幾何法：（1）“兩圓一線”作出點(diǎn)；
（2）利用勾股、相似、三角函數(shù)等求線段長，由線段長得點(diǎn)坐標(biāo)．
代數(shù)法：（1）表示出三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)A、B、C；
（2）由點(diǎn)坐標(biāo)表示出三條線段：AB、AC、BC；
（3）根據(jù)題意要求?、貯B=AC、②AB=BC、③AC=BC；
（4）列出方程求解．
1．（2024秋?紅塔區(qū)期中）綜合與探究
如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），且OA＝OC，E是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線EF垂直于x軸交直線AC和拋物線分別于點(diǎn)D、F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，線段DF有最大值，并寫出最大值為多少；
（3）點(diǎn)P是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若使三角形PBC是等腰三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，A（﹣4，0），且OA＝OC，
∴OA＝4，
∴OC＝4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（0，4），
把點(diǎn)A，點(diǎn)C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，，
∴二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）當(dāng)m＝﹣2時(shí)，DF有最大值，且最大值為4；理由如下：
由（1）可知，二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2﹣3x+4，且A（﹣4，0），C（0，4），
∴設(shè)直線AC所在直線的解析式為y＝kx+b（k≠0），將點(diǎn)A，點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：
，
解得，，
∴直線AC的解析式為y＝x+4，
∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，直線EF垂直于x軸交直線AC和拋物線分別于點(diǎn)D、F，
∴點(diǎn)D、F的橫坐標(biāo)為m，
∴D（m，m+4），F(xiàn)（m，﹣m2﹣3m+4），
∴DF＝﹣m2﹣3m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，
∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，DF有最大值，且最大值為4；
（3）∵二次函數(shù)y＝﹣x2﹣3x+4的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且A（﹣4，0），
∴令y＝0時(shí)，x2+3x﹣4＝0，則x1＝﹣4，x2＝1，
∴B（1，0），且C（0，4），
在Rt△BOC，OB＝1，OC＝4，，
點(diǎn)P是直線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若使三角形PBC是等腰三角形，設(shè)P（n，n+4），分三種情況：
當(dāng)CP＝CB時(shí)，即CP2＝CB2，
∴，
解得，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為或；
當(dāng)BP＝BC時(shí)，即BP2＝CB2，
∴，
解得n＝0（舍去），n＝﹣3，
∴P（﹣3，1），
當(dāng)PC＝PB時(shí)，即PC2＝PB2，
∴（n﹣1）2+（n+4）2＝n2+（n+4﹣4）2，
解得，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
綜上，若使三角形PBC是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或（﹣3，1）或．
2．（2024秋?武威月考）如圖，點(diǎn)C為二次函數(shù)y＝（x+1）2的頂點(diǎn)，直線y＝﹣x+m與該二次函數(shù)圖象交于A（﹣3，4）、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在y軸上），與二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D．
（1）求m的值及點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）在該二次函數(shù)的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出符合條件的Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）點(diǎn)C為二次函數(shù)y＝（x+1）2的頂點(diǎn)，直線y＝﹣x+m與該二次函數(shù)圖象交于A（﹣3，4）、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在y軸上），
∴4＝3+m，
∴m＝1，
∴y＝﹣x+1，
∴B（0，1），
二次函數(shù)解析式為y＝（x+1）2，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（﹣1，0）；
（2）在該二次函數(shù)的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使得以A，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形；理由如下：
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（﹣1，0），
∴對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，
過點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，
在Rt△ACE中，．
①當(dāng)AQ＝CQ時(shí)，設(shè)CQ＝m，
在Rt△AQE中，AE2+EQ2＝AQ2，
∴22+（4﹣m）2＝m2，
解之得，
∴；
②當(dāng)AC＝AQ時(shí)，根據(jù)等腰三角形三線合一得：CE＝QE＝4，
∴CQ＝2CE＝8，
∴Q2（﹣1，8）；
③當(dāng)CA＝CQ時(shí)，，
∴，．
綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或（﹣1，8）或或．
3．（2024秋?寶坻區(qū)校級(jí)月考）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，﹣3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）過P點(diǎn)作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)E，求線段PE的最大值．
（3）在直線BC找一點(diǎn)Q，使得△QOC為等腰三角形，直接寫出Q點(diǎn)．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)C（0，﹣3），
∴，
∴．
∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），0＜m＜3，
設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+a，
∴，
∴，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3．
∵過P點(diǎn)作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)E，
∴E（m，m﹣3），
∴PE＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m＝﹣+，
∵﹣1＜0，
∴當(dāng)m＝時(shí)，PE有最大值為．
∴線段PE的最大值為．
（3）①∵C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴OB＝OC＝3，
∴當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，滿足△QOC為等腰三角形，
∴Q（3，0）；
②當(dāng)QO＝QC時(shí)，過點(diǎn)Q作QD⊥OC于點(diǎn)D，如圖，
∵QO＝QC，QD⊥OC，
∴OD＝OC＝，
∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為﹣，
∵點(diǎn)Q在直線y＝x﹣3上，
∴﹣＝x＝3，
∴x＝．
∴Q（，﹣）；
③當(dāng)QC＝OC＝3時(shí)，過點(diǎn)Q作QE⊥OB于點(diǎn)E，如圖，
∵OB＝OC＝3，
∴BC＝3，∠OCB＝∠OBC＝45°．
∴BQ＝BC＝CQ＝3﹣3，
∴EQ＝BE＝BQ＝3﹣，
∴OE＝OB﹣BE＝，
∴Q（，3）；
當(dāng)QC＝OC＝3時(shí)，過點(diǎn)Q作QF⊥OC于點(diǎn)F，如圖，
∵OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°．
∴∠QCF＝45°，
∵QF⊥OC，
∴QF＝CF＝CQ＝，
∴OF＝OC+CF＝3+，
∴Q（﹣，﹣3﹣）．
綜上，在直線BC找一點(diǎn)Q，使得△QOC為等腰三角形，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）或（，﹣）或（，3）或（﹣，﹣3﹣）．
4．（2024?雅安）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖①，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)線段PQ的長度最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）如圖②，在（2）的條件下，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得△BDE為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）由題意得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，
則a＝1，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3；
（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C（0，3），
由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，直線CB的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，
設(shè)點(diǎn)Q（x，x2﹣4x+3），則點(diǎn)P（x，﹣x+3），
則PQ＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，
故PQ有最大值，
此時(shí)x＝，則y＝x2﹣4x+3＝﹣，
即點(diǎn)Q（，﹣）；
（3）存在，理由：
由點(diǎn)C、Q的坐標(biāo)得，直線CQ的表達(dá)式為：y＝﹣x+3，
過點(diǎn)Q作TQ∥y軸交x軸于點(diǎn)T，則∠TQA＝∠QCO，
∵∠CQD＝2∠OCQ，∠TQA＝∠QCO，
則∠CQT＝∠QQT，
即直線AQ和DQ關(guān)于直線QT對(duì)稱，
則直線DQ的表達(dá)式為：y＝（x﹣）﹣，
聯(lián)立上式和拋物線的表達(dá)式得：x2﹣4x+3＝（x﹣）﹣，
解得：x＝（舍去）或5，
即點(diǎn)D（5，8）；
設(shè)點(diǎn)E（0，y），由B、D、E的坐標(biāo)得，BD2＝68，DE2＝25+（y﹣8）2，BE2＝9+y2，
當(dāng)DE＝BD時(shí)，
則68＝25+（y﹣8）2，
解得：y＝8±，即點(diǎn)E（0，8±）；
當(dāng)DE＝BE或BD＝BE時(shí)，
同理可得：25+（y﹣8）2＝9+y2或9+y2＝68，
解得：y＝5或±，
即點(diǎn)E（0，5）或（0，±）；
綜上，點(diǎn)E（0，8±）或（0，5）或（0，±）．
5．（2024?仁布縣一模）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線的頂點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求△DBC的面積；
（3）在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在一點(diǎn)P，使P，B，C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）∵拋物線 y＝x2+bx+c 經(jīng)過 A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴，
解得，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式是y＝x2﹣2x﹣3．
（2）如圖，過D作x軸的垂線，交BC于E，垂足為F，
由y＝x2﹣2x﹣3可得頂點(diǎn)D（1，﹣4），C（0，﹣3），
∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，
∴E（1，﹣2），
∴DE＝（﹣2）﹣（﹣4）＝2，
∴．
（3）存在．P1（1，﹣1），P2（1，，，，．
設(shè)點(diǎn)P（1，a），連接PB，PC，
由P，B兩點(diǎn)的水平距離為|1﹣3|，豎直距離為|a﹣0|，得PB2＝（1﹣3）2+a2＝4+a2，
同理可得PC2＝1+（a+3）2＝a2+6a+10，BC2＝32+32＝18，
分類討論：①若PC＝PB，則PC2＝PB2，
即a2+6a+10＝4+a2，
解得a＝﹣1，
即P1（1，﹣1）；
②若PC＝BC，則PC2＝BC2，
即a2+6a+10＝18，
解得，，
即，P3（1，；
③若PB＝BC，則PB2＝BC2，
即4+a2＝18，
解得，，
即P4，．
綜上，符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為P1（1，﹣1），P2（1，，，，．
6．（2024?清鎮(zhèn)市校級(jí)模擬）人生有低谷，那可是觸地反彈前的轉(zhuǎn)折點(diǎn)！如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于C（0，3）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）求線段BC的長．
（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC為等腰三角形？如不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)直接寫出P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）由題意得：，
解得：，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3；
（2）令拋物線y＝0，則x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或x＝3，
根據(jù)題意：B（3，0），
∵C（0，3），
∴BC＝＝3；
（3）存在．
理由：∵BC＝3，
點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：如圖，
①當(dāng)CP＝CB時(shí)，PC＝3，
又∵C（0，3），
∴點(diǎn)P（0，3±3）；
②當(dāng)BP＝BC時(shí)，OP＝OC＝3，
∴P3（0，﹣3）；
③當(dāng)PB＝PC時(shí)，
∵OC＝OB＝3，
∴此時(shí)P與O重合，
∴P4（0，0）；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+3）或（0﹣3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）．
7．（2024?濱湖區(qū)校級(jí)二模）二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣4的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（﹣4，0）和點(diǎn)B（2，0），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）若拋物線的對(duì)稱軸l交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是線段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），連接PC，作PQ⊥PC交x軸于點(diǎn)Q（k，0），求k的取值范圍；
（3）連接AD、BD，點(diǎn)M、N分別在線段AB、AD上（均含端點(diǎn)），且∠DMN＝∠DBA，若△DMN是等腰三角形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）由題意得：y＝a（x+4）（x﹣2）＝ax2+bx﹣4，
解得：a＝，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝x2+x﹣4；
（2）由拋物線的表達(dá)式知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣4），定點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣1，﹣），
由點(diǎn)P在線段DE上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，a），
則﹣≤a＜0，
∵Q（k，0），C（0，﹣4），
∴PQ2＝（k+1）2+a2，CP2＝1+（a+4）2，CQ2＝k2+6，
∵PQ⊥PC，
∴∠QPC＝90°，
在Rt△QPC中，CQ2＝PQ2+CP2，
∴k2+16＝（k+1）2+a2+1+（a+4）2，
整理得k＝﹣（a+2）2+3，
∵﹣≤a＜0，
∴當(dāng)a＝﹣2時(shí)，k取得最大值3；當(dāng)a＝﹣時(shí)，k取得最小值﹣，
∴﹣≤k≤3；
（3）由拋物線對(duì)稱性可得，∠DBA＝∠DAB，
∵∠DMN＝∠DBA，
∴∠DMN＝∠DBA＝∠DAB，
把y＝0代入y＝x2+x﹣4；
解得x1＝﹣4，x2＝2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），
∵點(diǎn)M在線段AB上（含端點(diǎn)），
∴﹣4≤m≤2，
①若DN＝DM，則∠DMN＝∠DNM，
∵∠DMN＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠DNM，
得點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，則點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）；
②若DN＝MN，則∠DMN＝∠NDM，
∵∠DMN＝∠DAB，
∴∠NDM＝∠DAB，
∴AM＝DM，即m+4＝，
解得：m＝，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）；
③若MN＝MD，則∠MND＝∠MDN，
∵∠AMD是△BDM的外角，
∴∠AMN+∠DMN＝∠BDM+∠DBA，
∵∠DMN＝∠DBA，
∴∠AMN＝∠BDM，
∵M(jìn)N＝MD，∠MAN＝∠DBM，
∴△AMN≌△BDM（AAS），
∴AM＝BD，
∴m+4＝，
解得：m＝，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）；
綜上所述，若△DMN是等腰三角形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）或（，0）或（，0）．
8．（2024?城關(guān)區(qū)校級(jí)一模）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）求線段BC的長．
（3）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，
，
解得：b＝﹣4，c＝3，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3；
（2）令拋物線y＝0，則x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或x＝3，
根據(jù)題意：B（3，0），
∵C（0，3），
∴；
（3）存在．
理由：∵，
點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)分三種情況進(jìn)行討論：如圖，
①當(dāng)CP＝CB時(shí)，，
又∵C（0，3），
∴，；
②當(dāng)BP＝BC時(shí)，OP＝OC＝3，
∴P3（0，﹣3）；
③當(dāng)PB＝PC時(shí)，
∵OC＝OB＝3，
∴此時(shí)P與O重合，
∴P4（0，0）；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或或（0，﹣3）或（0，0）．
9．（2024春?渠縣校級(jí)月考）如圖，一次函數(shù)與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B，其對(duì)稱軸為直線
（1）求該二次函數(shù)表達(dá)式；
（2）在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAC為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）對(duì)于，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2，即點(diǎn)C（0，﹣2），
令，則x＝﹣4，即點(diǎn)A（﹣4，0）．
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，則點(diǎn)B（1，0），
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣4，0），
設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）（x+4）＝a（x2+3x﹣4），
∵拋物線過點(diǎn)C（0，﹣2），
則﹣4a＝﹣2，
解得：，
故拋物線的表達(dá)式為：；
（2）存在，
理由：根據(jù)題意對(duì)稱軸，設(shè)點(diǎn)，
由點(diǎn)A、C、P的坐標(biāo)得：，AC2＝20，，
當(dāng)PA＝AC時(shí)，則，
解得：，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或；
當(dāng)PA＝PC時(shí)，則，
解得：t＝0，
即點(diǎn)；
當(dāng)AC＝PC時(shí)，則，
解得：，
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或．
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或或或或．
10．（2024?興慶區(qū)校級(jí)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線BC的上方．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BPC的面積最大？請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC面積的最大值．
（3）除原點(diǎn)外，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△BCQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）將B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）如圖，過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，
設(shè)P（x，﹣x2+2x+3），
由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)得，BC的解析式為y＝﹣x+3，
則Q（x，﹣x+3），
∴S△CPB＝S△BPQ+S△CPQ＝PQ×OB＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝﹣（x﹣）2+≤，
當(dāng)x＝時(shí)，△CPB的面積最大，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），△CPB的面積的最大值為；
（3）存在，理由：
設(shè)點(diǎn)Q（x，0），
由點(diǎn)B、C、Q的坐標(biāo)得，BQ2＝（x﹣3）2，BC2＝18，CQ2＝x2+9，
當(dāng)BQ＝CB時(shí)，
則（x﹣3）2＝18，
解得：x＝3±3，
即點(diǎn)Q（3±3，0）；
當(dāng)BQ＝CQ或BC＝CQ時(shí)，
則18＝x2+9或（x﹣3）2＝9，
解得：x＝﹣3（不合題意的值已舍去），
即點(diǎn)Q（﹣3，0），
綜上，（3±3，0）或（﹣3，0）．
11．（2024?梅州模擬）如圖所示，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（5，0），B（﹣1，0），C（0，﹣5）．
（1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）直線x＝t（0＜t＜5）交二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象于點(diǎn)P，交直線AC于點(diǎn)Q，是否存在實(shí)數(shù)t，使△CPQ為等腰三角形，若存在，請(qǐng)求出這樣的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解答】解：（1）由題意得，拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣5）（x+1）＝a（x2﹣4x﹣5），
則﹣5a＝﹣5，
解得：a＝1，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x﹣5；
（2）存在，理由：
由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達(dá)式為：y＝x﹣5，
則點(diǎn)P（t，t2﹣4t﹣5）、點(diǎn)Q（t，t﹣5），
由點(diǎn)P、Q、C的坐標(biāo)得，PQ2＝（﹣t2+5t）2，PC2＝t2+（t2﹣4t）2，CQ2＝2t2，
當(dāng)PQ＝CQ時(shí)，
則（﹣t2+5t）2＝2t2，
解得：t＝0（舍去）或3或4；
當(dāng)PQ＝PC或PC＝CQ時(shí)，
則（﹣t2+5t）2＝t2+（t2﹣4t）2或t2+（t2﹣4t）2＝2t2，
解得：t＝5﹣或3，
綜上，t＝5﹣或3或4．
12．（2024春?錫山區(qū)期中）如圖1，二次函數(shù)y＝ax2+2ax+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，且OA＝OC．點(diǎn)P為拋物線第二象限上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）直接寫出該二次函數(shù)的表達(dá)式為 y＝﹣x2﹣2x+3 ；
（2）連接PA、PC、BC，求四邊形ABCP面積的最大值；
（3）如圖2，連結(jié)BP交AC于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)Q．當(dāng)△PQH為等腰三角形時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）OA＝OC＝3，
則點(diǎn)A（﹣3，0），
將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0＝9a﹣6a+3，
解得：a＝﹣1，
則拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+3，
故答案為：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如圖2，
由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得，直線AC的表達(dá)式為：y＝x+3，
設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2﹣2m+3），則點(diǎn)Q（m，m+3），
則PQ＝﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣3m，
則四邊形ABCP面積＝S△ABC+S△ACP＝AB×CO+PQ×AO＝4×3+（﹣m2﹣3m）×3＝（﹣m2﹣3m）+6，
∵＜0，
故四邊形ABCP面積存在最大值，
當(dāng)m＝﹣時(shí)，四邊形ABCP面積的最大值為；
（3）設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2﹣2m+3），則點(diǎn)Q（m，m+3），
由點(diǎn)B、P的坐標(biāo)得，直線BP的表達(dá)式為：y＝﹣（m+3）（x﹣1），
聯(lián)立上式和直線AC的表達(dá)式得：﹣（m+3）（x﹣1）＝x+3，
解得：xH＝，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為：（，+3），
由直線AC的表達(dá)式知，其和x軸正半軸的夾角為45°，
如果PH＝PQ，則∠PHQ＝45°，則∠QPH＝90°，故PH＝PQ不存在，
則QH＝（xH﹣xQ）＝（﹣m），
而PQ＝﹣m2﹣3m，
當(dāng)PH＝QH時(shí)，
則點(diǎn)H在PQ的中垂線上，則yH＝（yP+yQ），
∴+3＝（﹣m2﹣2m+3+m+3），
解得：m＝﹣3（舍去）或﹣2，
即點(diǎn)P（﹣2，3）；
當(dāng)PQ＝QH時(shí)，即（﹣m）＝﹣m2﹣3m，
解得：m＝﹣3（舍去）或﹣4，
即點(diǎn)P（，6﹣7），
綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（﹣2，3）或（，6﹣7）．

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