如圖，拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，連接BC．若點P在線段BC上運動（點P不與點B，C重合），過點P作x軸的垂線，交拋物線于點E，交x軸于點F．設點P的橫坐標為m．
（1）求點A，B，C的坐標，并直接寫出直線BC的函數(shù)解析式．
（2）在點P的運動過程中，是否存在m使得△CPE為等腰直角三角形？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）當y＝0時，x2﹣3x﹣4＝0，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
當x＝0時，y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
設直線BC的解析式為y＝kx﹣4，
將點B代入可得4k﹣4＝0，
解得k＝1，
∴直線BC的解析式為y＝x﹣4；
（2）存在m使得△CPE為等腰直角三角形，理由如下：
由（2）可得，PC2＝2m2，PE2＝（m2+4m）2，CE2＝m2+（m2﹣3m）2，
當∠PCE＝90°時，PE2＝2PC2，即（m2+4m）2＝4m2，
解得m＝2或m＝6（舍）；
當∠CEP＝90°時，2CE2＝PC2，即2m2+2（m2﹣3m）2＝2m2，
解得m＝3或m＝5（舍）；
綜上所述：m的值為3或2．
2．（2024秋?集美區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C（0，3），A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0）．點P是拋物線上一個動點，且在直線BC的上方．
（1）求這個二次函數(shù)及直線BC的表達式．
（2）過點P作PD∥y軸交直線BC于點D，求PD的最大值．
（3）點M為拋物線對稱軸上的點，問在拋物線對稱軸右側的圖象上是否存在點N，使△MNO為等腰直角三角形，且∠NMO為直角，若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C（0，3），A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0）．把C、B兩點坐標代入二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c中得：
，
解得：，
∴二次函數(shù)解析式為y＝﹣x2+2x+3；
設直線BC解析式為y＝kx+t，
把C、B兩點坐標代入一次函數(shù)y＝kx+t得：
，
解得：，
∴直線BC解析式為y＝﹣x+3；
（2）∵點P在拋物線上，
∴設P（m，﹣m2+2m+3）；
∵PD∥y軸，
∴D（m，﹣m+3），
∴PD＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵，且二次項系數(shù)﹣1＜0，
∴當時，PD有最大值；
（3）①當點M位于x軸上方時，
如圖1，過N點作NG垂直對稱軸于點G，設拋物線對稱軸交x軸于點F；
則∠MFO＝∠NGM＝90°，
∵△MNO為等腰直角三角形，且∠NMO＝90°，
∴NM＝MO，∠NMO＝90°，
∴∠NMG+∠OMF＝90°，
∵∠NMG+∠MNG＝90°，
∴∠MNG＝∠OMF，
在△MGN和△OFM中，
，
∴△MGN≌△OFM（AAS），
∴OF＝GM，MF＝NG，
∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∴OF＝GM＝1；
設點M坐標為（1，a），此時a＞0，則NG＝MF＝a，
∴N（1+a，a﹣1）；
∵N點在拋物線上，
∴a﹣1＝﹣（1+a）2+2（a+1）+3，
解得：（舍去）；
∴N點坐標為；
當點M位于x軸下方時，此時a＜0；
同理得N（﹣a+1，a+1），
則有a+1＝﹣（﹣a+1）2+2（﹣a+1）+3，
解得：（舍去）；
∴N點坐標為；
綜上，N點坐標為或．
3．（2024秋?中山市校級月考）九（1）班數(shù)學課題學習小組，為了研究學習二次函數(shù)問題，他們經歷了實踐—應用—探究的過程
（1）實踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道進行測量，測得隧道的路面寬為10米，隧道頂部最高處距地面6.25米，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖1所示的直角坐標系，請你求出拋物線的解析式．
（2）應用：按規(guī)定機動車輛通過隧道時，車頂部與隧道頂部在豎起方向上的高度差至少為0.5米，為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3米，最高3.5米的兩輛車居中并列行駛（不考慮兩車之間的空隙）？
（3）探究：該課題學習小組為進一步探究拋物線的有關知識，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩個問題，請予解答：
①如圖2，在拋物線內作矩形ABCD，使頂點C、D落在拋物線上，頂點A、B落在x軸上，設矩形ABCD的周長為l，求l的最大值．
②如圖3，過原點作一條直線y＝x，交拋物線于M，交拋物線的對稱軸于N，P為直線OM上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，問在直線OM上是否存在點P，使以點P、N、Q為頂點的三角形為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）根據(jù)坐標系可知此函數(shù)頂點坐標為（5，6.25），且圖象過（10，0）點，
代入頂點式得：y＝a（x﹣5）2+6.25，
∴0＝a（10﹣5）2+6.25，
解得：a＝﹣0.25，
∴y＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25；
（2）當最寬3米，最高3.5米的兩輛廂式貨車居中并列行駛時，
∴10﹣3×2＝4，4÷2＝2，
∴x＝2代入解析式得：
y＝﹣0.25（2﹣5）2+6.25；
解得y＝4，
∴4﹣3.5＝0.5（米），
∴隧道能讓最寬3米，最高3.5米的兩輛廂式貨車居中并列行駛；
（3）①假設AO＝x米，可得AB＝（10﹣2x）米，
∴AD＝﹣0.25（x﹣5）2+6.25（米）；
∵矩形ABCD的周長為l，
∴l(xiāng)＝2[﹣0.25（x﹣5）2+6.25]+2（10﹣2x）＝﹣0.5x2+x+20，
∴l(xiāng)的最大值為：；
②在直線OM上存在點P，使以點P、N、Q為頂點的三角形為等腰直角三角形；理由如下：
當以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形時，
∵P在y＝x的圖象上，過P點作x軸的垂線交拋物線于點Q．如圖3，
∴∠POA＝∠OPA＝45°，
∴Q點的縱坐標為5，
∴5＝﹣m2+10m 4，
解得：，
∴P或，
當∠P3NQ3＝90°時，過點Q3作Q3K1⊥對稱軸，
當△NQ3K1為等腰直角三角形時，△NP3Q3為等腰直角三角形，
Q點在OM的上方時，
P3Q3＝2Q3K1，P3Q3＝，Q3K1＝5﹣x，
Q點在OM的下方時，
P4Q4＝2Q4K2，P4Q4＝，Q4K2＝x﹣5，
∴，
解得：x1＝4，x2＝10，
P3（4，4），P4（10，10），
∴使以P、N、Q為頂點的三角形是等腰直角三角形，P點的坐標為：
或或（4，4）或（10，10）．
4．（2024?海南模擬）如圖1，拋物線與x軸交于A（﹣2，0），B（﹣8，0）兩點，與y軸交于點C（0，﹣8）．經過點A的直線與拋物線交于另一點D，與y軸交于點E（0，1）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）連接AC、DC，求△ACD的面積；
（3）如圖1，點P是線段AD上一動點，過點P作PF∥y軸，交該拋物線于點F，作FG∥x軸，交該拋物線于另一點G．
①若△PFG是等腰直角三角形，求PF的長；
②如圖2，點P的橫坐標為﹣6，點M是直線AD上方拋物線上的一個動點，點N是y軸負半軸上一動點．請問是否存在點M，使得以P、N、E為頂點的三角形與△PME全等，且以同一條線段PE為對應邊？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x+8），
∴﹣8＝a?2×8，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣；
（2）如圖1，
作DQ⊥x軸于Q，
設D（m，﹣ （m+2）（m+8）），
∵∠DAQ＝∠OAE，
∴tan∠DAQ＝tan∠OAE，
∴，
∴，
∴m＝﹣9，
∴AQ＝﹣2﹣（﹣9）＝7，DQ＝AQ＝，
∴S梯形COQD＝（DQ+OC）?OQ＝＝，
S△AOC＝，
S△ADQ＝
∴S△ACD＝﹣8﹣＝；
（3）①∵A（﹣2，0），E（0，1），
∴直線DE的解析式為y＝，
設F（t，﹣），P（t，），
∴PF＝﹣＝﹣，
∵PF∥y軸，F(xiàn)G∥x軸，△PFG是等腰直角三角形，
∴點F和G關于拋物線的對稱軸x＝對稱，∠PFG＝90°，PF＝FG，
∴FG＝2（﹣5﹣t）＝﹣10﹣2t，
∴﹣＝﹣10﹣2t，
∴t1＝，t2＝（舍去），
∴PF＝﹣10﹣2t＝﹣10﹣（﹣7﹣）＝；
②如圖2，
當△PEM≌△EPN時，∠EPM＝∠PEM，
∴PM∥EN，即PM∥y軸，
∴xM＝﹣6，
∴yM＝﹣＝4，
∴M（﹣6，4），
如圖3，
當△PEM≌△PEN時，∠PEM＝∠PEN，
作PW⊥EM于W，作FG⊥y軸于點F，作AG⊥FG于G，
∴∠G＝∠WFE＝90°，∠AWE＝90°，
∴∠GAW+∠AWG＝90°，∠AWG+∠EWF＝90°，
∴∠GAW＝∠EWF，
∴△EFW∽△WGA，
∴＝，
∵AO⊥EC，
∴AW＝AO＝2，∠AWO＝∠AOE＝90°，
∴∠WAE＝∠OAE，四邊形AGFO是矩形，
∴EW＝OE＝1，AG＝OF，F(xiàn)G＝OA＝2，
∴，
設EF＝a，則GW＝2EF＝2a，AG＝OF＝OE+EF＝a+1，
∴WF＝AG＝（a+1），
由WF+GW＝FG得，
，
∴a＝，
∴OF＝，WF＝，
∴W（﹣），
∵E（0，1），
∴直線EW的解析式為：y＝﹣，
由得，
，，
∴M（﹣4，4）或（﹣），
綜上所述：M（﹣6，4）或（﹣4，4）或（﹣）．
5．（2024?文昌校級模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A、B（3，0），與y軸交于點C（0，3），點P（m，n）是拋物線上的動點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖1，當m＝2時，求△BCP的面積；
（3）當∠PCB＝15°時，求點P的坐標；
（4）如圖2，點Q是拋物線對稱軸上一點，是否存在點P，使△POQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）把B（3，0），點C（0，3）代入二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+c中得：
，
解得：，
∴拋物線的表達式為：y＝x2﹣4x+3；
（2）∵點P（m，n）是拋物線上的動點，m＝2，
∴n＝4﹣8+3＝﹣1，
∴P（2，﹣1），
設PC的解析式為：y＝kx+b，PC與x軸交于點H，
把C（0，3）和P（2，﹣1）代入得：，
∴，
∴PC的解析式為：y＝﹣2x+3，
當y＝0時，﹣2x+3＝0，
x＝，
∴BH＝OB﹣OH＝3﹣＝，
∴△BCP的面積＝S△BHC+S△PBH＝××3+××1＝3；
（3）如圖1，∵C（0，3），B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠BCO＝45°，
∵∠PCB＝15°，
∴∠OCH＝45°﹣15°＝30°，
∴OH＝CH，
∵OC＝3，
∴OH＝，
∴H（，0），
同理可求得PC的解析式為：y＝﹣x+3，
∴x2﹣4x+3＝﹣x+3，
解得：x1＝0（舍），x2＝4﹣，
∴P（4﹣，6﹣4）；
當點P位于直線BC上方時，P（4﹣，）．
綜上，P（4﹣，6﹣4）或（4﹣，）．
（4）如圖2，過點P作DE∥x軸，交y軸于D，交對稱軸于點E，
由題意得：P（m，m2﹣4m+3），
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴拋物線對稱軸是直線x＝2，
∵△OPQ是等腰直角三角形，
∴∠OPQ＝90°，OP＝PQ，
∴∠EPQ+∠OPD＝90°，
∵∠OPD+∠POD＝90°，
∴∠POD＝∠EPQ，
∵∠ODP＝∠PEQ＝90°，
∴△ODP≌△PEQ（AAS），
∴PE＝OD，
∴2﹣m＝m2﹣4m+3，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m1＝（如圖3），m2＝；
如圖4，過點P作DE∥x軸，交y軸于D，交對稱軸于點E，
同理可得：PE＝OD，
∴2﹣m＝﹣m2+4m﹣3，
∴m2﹣5m+5＝0，
解得：m1＝，m2＝，
綜上，m的值是或．
6．（2024?東昌府區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c過x軸上點A（﹣1，0）、點B（5，0），過y軸上點C（0，﹣5），點P（m，n）（0＜m＜5）是拋物線上的一個動點．
（1）求該二次函數(shù)的表達式；
（2）求四邊形OCPB面積的最大值；
（3）當點P的橫坐標m滿足2＜m＜5時，過點P作PE⊥x軸，交BC于點E，再過點P作PF∥x軸，交拋物線于點F，連接EF，求使△PEF為等腰直角三角形的點P的坐標．
【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5）代入 y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2﹣4x﹣5；
（2）設直線BC的表達式為y＝kx+t，
將B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝kx+t得：，
解得，
∴直線BC的表達式為y＝x﹣5，
過點P作PQ⊥x軸，交BC于點E，交x軸于點Q，如圖，
∵P（m，n）（0＜m＜5），
∴P（m，m2﹣4m﹣5），E（m，m﹣5），
∴PE＝（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）＝﹣m2+5m，
S四邊形OCPB＝S△BOC+S△PBC＝S△BOC+S△PEC+S△PEB
＝
＝
＝+（﹣m2+5m）×5
＝﹣m2+m+
＝，
∵，
∴當時，四邊形OCPB的面積最大為；
（3）如圖，
∵y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，
∴拋物線對稱軸為直線x＝2，
當點P的橫坐標m滿足2＜m＜5時，點P在對稱軸右側，
∴PF＝2（m﹣2）＝2m﹣4，
同（2）知PE＝（m﹣5）﹣（m2﹣4m﹣5）＝﹣m2+5m，
當PE＝PF時，△PEF為等腰直角三角形，
∴﹣m2+5m＝2m﹣4，
整理得：m2﹣3m﹣4＝0，
解得：m＝4或 m＝﹣1（不符合題意，舍去），
此時n＝42﹣4×4﹣5＝﹣5，即點P（4，﹣5），
∴當點P的坐標為（4，﹣5）時，△PEF為等腰直角三角形．
7．（2023?阜新模擬）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+4與x軸，y軸分別交于點A，C，拋物線y＝﹣x2+bx+c過點A和點C，與x軸交于點B．
（1）求這個二次函數(shù)的表達式；
（2）拋物線對稱軸與直線AC交于點D，若P是直線AC上方拋物線上的一個動點（點P不與點A，C重合），求△PAD面積的最大值；
（3）點M是拋物線對稱軸上的一動點，x軸上方的拋物線上是否存在點N，使得△ANM是以AN為直角邊的等腰直角三角形；若存在，請直接寫出點N坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）對于直線y＝x+4，令x＝0，則y＝4；令y＝0，則x＝﹣4；∴A（﹣4，0），C（0，4），把A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）過P作PK∥y軸交AC于K，如圖1：
在y＝﹣x2﹣3x+4中，對稱軸為直線，
當時，，
∴，
設P（m，﹣m2﹣3m+4），則K（m，m+4），
∴PK＝﹣m2﹣3m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，
∴
＝，
∵，
∴當m＝﹣2時，S△AED取最大值為5；
∴△PAD面積的最大值為5；
（3）x軸上方的拋物線上存在點N，使得△ANM是以AN為直角邊的等腰直角三角形，理由如下：
∵A（﹣4，0），對稱軸為直線，
設N（t，﹣t2﹣3t+4），
當∠ANM＝90°，AN＝MN，過點N作x軸的平行線交對稱軸于點F，過點A作y軸的平行線交NF于點E，如圖2，
∴∠ANE＝90°﹣∠FNM＝∠NMF，
∴△ANE≌△NMF（AAS），
∴AE＝NF，EN＝FM，
∴，
整理得，
解得，
∴點N坐標為或；
當∠MAN＝90°，AM＝AN，過點N作x軸的垂線交x軸于點F，對稱軸直線交x軸于點E，如圖3，
同理△AME≌△NAF，則AE＝NF，即，
整理得，
解得，
∴點N坐標為或；
綜上，點N坐標為或或或．

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