一、幾何法：兩線一圓得坐標
（1）若∠A為直角，過點A作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；
（2）若∠B為直角，過點B作AB的垂線，與x軸的交點即為所求點C；
（3）若∠C為直角，以AB為直徑作圓，與x軸的交點即為所求點C．（直徑所對的圓周角為直角）
二、構(gòu)造三垂直：
構(gòu)造三垂直步驟：
①過直角頂點作一條水平或豎直的直線；
②過另外兩端點向該直線作垂線，即可得三垂直相似．
三、代數(shù)法：表示線段構(gòu)勾股
（1）表示點：設坐標為（m，0），又A（1，1）、B（5，3）；
（2）表示線段：，，；
（3）分類討論：當為直角時，；
（4）代入得方程：，解得：．
小結(jié)：
幾何法：（1）“兩線一圓”作出點；
（2）構(gòu)造三垂直相似，利用對應邊成比例求線段，必要時可設未知數(shù)．
代數(shù)法：（1）表示點A、B、C坐標；
（2）表示線段AB、AC、BC；
（3）分類討論①AB2+AC2=BC2、②AB2+BC2=AC2、③AC2+BC2=AB2；
（4）代入列方程，求解．
如果問題變?yōu)榈妊苯侨切未嬖谛裕瑒t同樣可采取上述方法，只不過三垂直得到的不是相似，而是全等．
例．（2024?酒泉二模）如圖，平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）．點D為直線BC上的一動點．
（1）求此二次函數(shù)的表達式；
（2）如圖2，是否存在點D，使得以A，C，D為頂點的三角形是直角三角形，若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）由題意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
則﹣3a＝3，則a＝﹣1，
則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，理由：
設點D（x，﹣x+3），
由點A、C、D的坐標得，AC2＝10，AD2＝2x2﹣4x+10，CD2＝2x2，
當AD為斜邊時，AC2+CD2＝AD2，
則2x2﹣4x+10＝2x2+10，
解得：x＝0（舍去）；
當CD或AC為斜邊時，
同理可得：10+2x2﹣4x+10＝2x2或10＝2x2﹣4x+10+2x2，
解得：x＝0（舍去）或5或1，
即點D（5，﹣2）或（1，2）．
對應練習：
1．（2024春?蘭山區(qū)校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，M為拋物線的頂點．
（1）求A，B兩點的坐標；
（2）對稱軸上是否存在點N，使得以B，C，N為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3，當y＝0時，
x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）對稱軸上存在點N，使得以B，C，N為頂點的三角形是直角三角形；理由如下：
∵B（3，0），C（0，﹣3），設N（1，t），
則：BC2＝32+32＝18，
BN2＝22+t2＝t2+4，
CN2＝12+（t+3）2＝t2+6t+10，
當BC邊為斜邊時：
BN2+CN2＝BC2，
t2+6t+10+t2+4＝18，
解得：，，
∴，；
當BN邊為斜邊時：
BC2+CN2＝BN2，
t2+6t+10+18＝t2+4，
解得：t＝﹣4，
∴N3（1，﹣4）；
當CN邊為斜邊時：
BC2+BN2＝CN2，
t2+4+18＝t2+6t+10，
解得：t＝2，
∴N4（1，2）；
綜上所述：存在點N，使得以B，C，N為頂點的三角形是直角三角形，，，N3（1，﹣4），N4（1，2）．
2．（2024?富順縣二模）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，點P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象上是否存在點M，使三角形ACM是以AC為直角邊的直角三角形．若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）由題意得：y＝（x+2）（x﹣4），
則拋物線的表達式為：y＝x2﹣x﹣4；
（2）存在，理由：
∵y＝的圖象交y軸于點C，
∴C（0，﹣4），
∵A（﹣2，0），
∴yAC＝﹣2x﹣4，
當以點A為直角頂點時，設直線AM的解析式為，
∵A（﹣2，0），
∴b＝1，
∴直線AM的解析式為．
聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：x+1＝x2﹣x﹣4，
解得：x＝﹣2（舍去）或5，
即點M（5，3.5）；
當以點C為直角頂點時，
同理可得：直線AM的解析式為．
聯(lián)立上式和拋物線的表達式得：x﹣1＝x2﹣x﹣4，
解得：x＝0（舍去）或3，
即點M（3，﹣2.5）．
綜上所述，M1（5，），M2（3，）．
3．（2024?秭歸縣模擬）在平面直角坐標系中，把與x軸交點相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：交x軸于點A，B（點A在點B左側(cè)），交y軸于點C．拋物線L2與L1是“共根拋物線”，其頂點為P．
（1）若拋物線L2經(jīng)過點（1，﹣5），求拋物線L2對應的函數(shù)關(guān)系式；
（2）是否存在以點A，C，P為頂點的三角形是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出拋物線L2對應的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）在拋物線L1：中，令y＝0，則，
解得：x＝﹣4或x＝2，
即點A（﹣4，0），點B（2，0），
根據(jù)題意，設拋物線L2的函數(shù)關(guān)系式為：y＝a（x+4）（x﹣2），
將點（1，﹣5）代入得：﹣5＝a（1+4）（1﹣2），
解得：a＝1，
∴拋物線L2的函數(shù)關(guān)系式為：y＝（x+4）（x﹣2）＝x2+2x﹣8；
（3）假設存在，設點P的坐標為（﹣1，m），
∵A（﹣4，0），C（0，2），
∴，，，
當點P在x軸上方時，
由題意得AC2+PC2＝AP2，即，
解得m＝4，
即點P的坐標為（﹣1，4），
將點（﹣1，4）代入y＝a（x+4）（x﹣2）得：4＝a（﹣1+4）（﹣1﹣2），
解得：，
∴拋物線L2的函數(shù)關(guān)系式為：；
當點P在x軸下方時，
由題意得AC2+AP2＝PC2，即，
解得m＝﹣6，
即點P的坐標為（﹣1，﹣6），
將點（﹣1，﹣6）代入y＝a（x+4）（x﹣2）得：﹣6＝a（﹣1+4）（﹣1﹣2），
解得：，
∴拋物線L2的函數(shù)關(guān)系式為：；
綜上，拋物線L2的函數(shù)關(guān)系式為：或．
4.（2024?遂寧）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸分別交于點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），P、Q為拋物線上的兩點．
（1）求二次函數(shù)的表達式；
（2）當P、C兩點關(guān)于拋物線對稱軸對稱，△OPQ是以點P為直角頂點的直角三角形時，求點Q的坐標；
【解答】解：（1）由題意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
則﹣3a＝﹣3，
則拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）△OPQ是以點P為直角頂點的直角三角形時，
拋物線的對稱軸為直線x＝1，
則點P、C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
則點P（2，﹣3），
設Q（m，m2﹣2m﹣3），
∵∠OPQ＝90°，
∴OP2+PQ2＝OQ2，
∴[（0﹣2）2+（0+3）2]+[（2﹣m）2+（﹣3﹣m2+2m+3）2]＝[m2+（m2﹣2m﹣3）2]
整理得：3m2﹣8m+4＝0，
解得：m1＝，m2＝2（舍去），
∴m＝，
∴Q（，﹣）；
5．（2024?錦江區(qū)校級模擬）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），連接線段AC和線段BC．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式．
（2）若動點E從A點出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向點B運動；同時，動點F從點B出發(fā)以每秒個單位長度的速度向點C運動，當一個點到達終點時，另一個點停止運動，設動點運動時間為t秒，求當t為何值時，△BEF為直角三角形．
【解答】解：（1）由題意得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
則﹣4a＝2，
解得：a＝﹣，
則拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+2；
（2）由點B、C的坐標得，tan∠ABO＝，則cs∠ABO＝，
當∠FEB為直角時，
則點E、F的橫坐標相同，
即﹣1+t＝4﹣BF?cs∠ABO，即﹣1+t＝4﹣t×，
解得：t＝；
當∠EFB為直角時，
則cs∠ABO＝＝＝，
解得：t＝，
綜上，t＝或；
6．（2024春?威遠縣校級期中）已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的頂點P在直線y＝﹣4x上，并且圖象經(jīng)過點A（﹣1，0）．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）D是線段BP上的一個動點，過點D作DE⊥x軸于點E，E點的坐標為（a，0）.在BP上是否存在點D，使△DCE為直角三角形？若存在，請求出點D的坐標，若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）設拋物線頂點坐標為（m，﹣4m），則拋物線解析式為y＝（x﹣m）2﹣4m，
把A（﹣1，0）代入y＝（x﹣m）2﹣4m中得：（﹣1﹣m）2﹣4m＝0，
解得m＝1，
∴拋物線解析式為y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）在y＝x2﹣2x﹣3中，當x＝0時，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
∵DE⊥x，E點的坐標為（a，0），
∴D（a，2a﹣6），
∴CE2＝a2+32＝a2+9，DE2＝（6﹣2a）2＝4a2﹣24a+36，CD2＝（a﹣0）2+（2a﹣6+3）2＝5a2﹣12a+9，
當∠DCE＝90°時，則CE2+CD2＝DE2，
∴5a2﹣12a+9+a2+9＝4a2﹣24a+36，
解得或（舍去），
∴點D的坐標為；
當∠CDE＝90°時，則CE2＝CD2+DE2，
∴5a2﹣12a+9+4a2﹣24a+36＝a2+9，2a2﹣9a+9＝0，
解得或a＝3（舍去），
∴點D的坐標為；
綜上所述，點D的坐標為或．
7．（2023秋?新會區(qū)校級月考）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于C（0，﹣2）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）二次函數(shù)的對稱軸上是否存在點P，使△PBC是直角三角形？如果存在，請直接寫出答案，如果不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象交x軸于點A（﹣1，0），B（2，0），交y軸于點C（0，﹣2），代入得：
，
解得，
∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣x﹣2；
（2）二次函數(shù)的對稱軸上存在點P，使△PBC是直角三角形；理由如下：
∵，
∴對稱軸為，
∴可設P點坐標為，
∵B（2，0），C（0，﹣2），
∴，
∵△PBC為直角三角形，
∴有∠BPC＝90°、∠CBP＝90°和∠BCP＝90°三種情況，
①當∠BPC＝90°時，則有BP2+CP2＝BC2，
即，
解得或t＝，
此時P點坐標為或；
②當∠CBP＝90°時，則有BC2+BP2＝CP2，
即，
解得，
此時P點坐標為；
③當∠BCP＝90°時，則有BC2+CP2＝BP2，
即，
解得，
此時P點坐標為；
綜上可知，二次函數(shù)的對稱軸上存在點P，使△PBC是直角三角形；P點的坐標為或或或．
8．（2024?涼州區(qū)二模）如圖，已知：關(guān)于y的二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（2，0）和點B，與y軸交于點C（0，6），拋物線的對稱軸與x軸交于點D．
（1）求二次函數(shù)的表達式．
（2）在y軸上是否存在一點P，使△PBC為直角三角形．若存在，請求出點P的坐標．
【解答】解：（1）由C（0，6）的坐標知，c＝6，
即拋物線的表達式為：y＝x2+bx+6，
將點A的坐標代入上式得：4+2b+6＝0，
解得：b＝﹣5，
則二次函數(shù)的表達式為：y＝x2﹣5x+6；
（2）令y＝0，則x2﹣5x+6＝0，
解得：x＝2或x＝3，
∴B（3，0），拋物線對稱軸是直線x＝，
∴BC2＝32+62＝45，
設P點坐標為（0，m），
則CP2＝（6﹣m）2，BP2＝32+m2＝9+m2，
當∠CBP＝90°時，
則BC2+BP2＝CP2，即45+9+m2＝（6﹣m）2，
解得：m＝，
則P點坐標為（0， ）；
當∠CPB＝90°時，
則CP2+BP2＝BC2，即45＝9+m2+（6﹣m）2，
解得：m＝0或6（舍去），
則P點坐標為（0，0）；
綜上所述，點P的坐標為：（0， ）或（0，0）；
9．（2023秋?伊通縣校級月考）如圖①，二次函數(shù)y＝x2﹣4x﹣5與x軸交于點A、C，且點A在點C的右側(cè)，與y軸交于點B，連接AB．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）求直線AB的解析式；
（3）如圖②，點P是x軸下方、拋物線對稱軸右側(cè)圖象上的一動點，連接PB，過點P作PQ∥AB，與拋物線的另一個交點為Q，M、N為AB上的兩點，且PM∥y軸，QN∥y軸．
①當△BPM為直角三角形時，求點P的坐標；
【解答】解：（1）由題意得：
，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝2；
（2）當x＝0時，y＝﹣5，
當y＝0時，
x2﹣4x﹣5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴A（5，0），B（0，﹣5）；
設直線AB的解析式為y＝kx+b，則：
，
解得，
∴直線AB的解析式為y＝x﹣5；
（3）①設點P的橫坐標為t，
則M（t，t﹣5），
P（t，t2﹣4t﹣5），
∴PM＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣t2+5t；
（ⅰ）如圖②，當∠BPM＝90°時，
∵OA＝OB＝5，
∴∠ABO＝45°，
∵PM∥y軸，
∴∠BMP＝∠ABO＝45°，
∴BP＝MP，
∴t＝﹣t2+5t，
∴t＝4，
∴y＝42﹣4×4﹣5
＝﹣5，
∴P（4，﹣5）；
（ⅱ）如圖③，當∠MBP＝90°時，
由（ⅰ）得：BM＝BP，
過M作MD⊥y軸交于D，
∴，
，
2t＝﹣t2+5t，
∴t1＝3，t2＝0（舍去），
∴y＝32﹣4×3﹣5
＝﹣8，
∴P（3，﹣8），
綜上所述：點P的坐標為（4，﹣5）或（3，﹣8）；
10．（2024?婁底模擬）如圖，拋物線C：y＝ax2+6ax+9a﹣8與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），已知點B的橫坐標是2，拋物線C的頂點為D．
（1）求a的值及頂點D的坐標；
（2）點P是x軸正半軸上一點，將拋物線C繞點P旋轉(zhuǎn)180°后得到拋物線C1，記拋物線C1的頂點為E，拋物線C1與x軸的交點為F，G（點F在點G的右側(cè)）．當點P與點B重合時（如圖1），求拋物線C1的表達式；
（3）如圖2，在（2）的條件下，從A，B，D中任取一點，E，F(xiàn)，G中任取兩點，若以取出的三點為頂點能構(gòu)成直角三角形，我們就稱拋物線C1為拋物線C的“勾股伴隨同類函數(shù)”．當拋物線C1是拋物線C的勾股伴隨同類函數(shù)時，求點P的坐標．
【解答】解：（1）由y＝ax2+6ax+9a﹣8得y＝a（x+3）2﹣8，
∴頂點D的坐標為（﹣3，﹣8），
∵點B（2，0）在拋物線C上，
∴0＝a（2+3）2﹣8，
解得：a＝；
（2）如圖1，連接DE，作DH⊥x軸于H，作EM⊥x軸于M，
根據(jù)題意，點D，E關(guān)于點B（2，0）成中心對稱，
∴DE過點B，且DB＝EB，
在△DBH和△EBM中，
，
∴△DBH≌△EBM（AAS），
∴EM＝DH＝8，BM＝BH＝5，
∴拋物線C1的頂點E的坐標為（7，8），
∵拋物線C1由C繞點P旋轉(zhuǎn)180°后得到，
∴拋物線C1的函數(shù)表達式為y＝﹣（x﹣7）2+8；
（3）∵拋物線C1由C繞x軸上的點P旋轉(zhuǎn)180°后得到，
∴頂點D，E關(guān)于點P成中心對稱，由（2）知：點E的縱坐標為8，
設點E（m，8），
如圖2，作DH⊥x軸于H，EM⊥x軸于M，EN⊥DN于N，
∵旋轉(zhuǎn)中心P在x軸上，
∴FG＝AB＝2BH＝10，
∴點H的坐標為（﹣3，0），點N的坐標為（m，﹣8），
根據(jù)勾股定理得，EF2＝82+52＝89，
顯然，△AEG和△BEG不可能是直角三角形，
①當△AEF是直角三角形時，顯然只能有∠AEF＝90°，
根據(jù)勾股定理得：
AE2＝AM2+EM2＝（m+8）2+82＝m2+16m+128，
AE2＝AF2﹣EF2＝（m+13）2﹣89＝m2+26m+80，
∴m2+16m+128＝m2+26m+80，
解得：m＝，
∴OP＝（m+3）﹣3＝（m﹣3）＝×（﹣3）＝，
∴點P的坐標為（，0）；
②當△BEF是直角三角形時，顯然只能有∠BEF＝90°，
根據(jù)勾股定理得：
BE2＝BM2+EM2＝（m﹣2）2+82＝m2﹣4m+68，
BE2＝BF2﹣EF2＝（m+3）2﹣89＝m2+6m﹣80，
∴m2﹣4m+68＝m2+6m﹣80，
解得：m＝，
∴OP＝（m﹣3）＝×（﹣3）＝，
∴點P的坐標為（，0），
③當△DEF是直角三角形時，
DE2＝EN2+DN2＝162+（m+3）2＝m2+6m+265，
DF2＝DH2+HF2＝82+（m+8）2＝m2+16m+128，
i）當∠DEF＝90°時，DE2+EF2＝DF2，
即m2+6m+265+89＝m2+16m+128，
解得：m＝，
∴OP＝（m﹣3）＝×（﹣3）＝，
∴點P的坐標為（，0）；
ii）當∠DFE＝90°時，DF2+EF2＝DE2，
即m2+16m+128+89＝m2+6m+265，
解得：m＝，
∴OP＝（m﹣3）＝×（﹣3）＝，
∴點P的坐標為（，0）；
iii）∵DE＞EN＝16＞EF，
∴∠EDF≠90°，
綜上所述，當拋物線C1是拋物線C的勾股伴隨同類函數(shù)時，點P的坐標為（，0）或（，0）或（，0）．

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