高一數(shù)學試題
2024.11
（必修第一冊階段檢測）
說明：本試卷滿分150分，分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第I卷為第1頁至第2頁，第II卷為第2頁至第4頁.試題答案請用2B鉛筆或0.5mm簽字筆填涂到答題卡規(guī)定位置上，書寫在試題上的答案無效.
考試時間120分鐘
第I卷（選擇題58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．命題，，則命題的否定形式是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．若，函數(shù)最小值為（ ）
A．B．2C．D．4
4．若冪函數(shù)的圖象關于軸對稱，則（ ）
A．或4B．C．4D．2
5．“”的一個必要不充分條件為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知不等式的解集為或，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集為
7．已知函數(shù)滿足：對任意，當時，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．在山東省實驗中學科技節(jié)中，高一李明同學定義了可分比集合：若對于集合滿足對任意，，都有，則稱是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均為可分比集合，且，則正整數(shù)的最大值為（ ）
A．6B．7C．8D．9
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（ ）
A．B．
C．D．
10．若，，且，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函數(shù)的定義域為R，且，的圖象關于對稱.當時，，若，則（ ）
A．的周期為4
B．的圖象關于對稱
C．
D．當時，
第II卷（非選擇題 92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．若函數(shù)的定義域為，則的定義域為 .
13．若正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為 .
14．已知函數(shù)，若關于的方程至少有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．設集合，.
(1)當時，求與；
(2)當時，求實數(shù)的取值范圍.
16．已知定義域為上的奇函數(shù)滿足當時，.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)在上的最大值和最小值及對應的值.
17．已知二次函數(shù).
(1)當時，解關于的不等式；
(2)當，時，求的最大值.
18．已知函數(shù).
(1)判斷并證明的奇偶性；
(2)判斷并證明在上的單調(diào)性；
(3)若關于的不等式對于任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
19．已知函數(shù)，.
(1)求函數(shù)的值域；
(2)證明：曲線是中心對稱圖形；
(3)若對任意，都存在及實數(shù)，使得，求實數(shù)的最大值.
1．B
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求集合B，進而可求交集.
【詳解】由題意可得：，
且，所以.
故選：B.
2．C
【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得到結論．
【詳解】命題，，為全稱量詞命題，
則該命題的否定為：，.
故選：C．
3．C
【分析】根據(jù)題意利用基本不等式求最值即可.
【詳解】因為，，
當且僅當，即時，等號成立，
所以函數(shù)最小值為.
故選：C.
4．C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義與性質(zhì)分析運算.
【詳解】若冪函數(shù)，則，解得或，
且冪函數(shù)的圖象關于軸對稱，則為偶數(shù)，故.
故選：C．
5．A
【分析】分析可知：是選項中對應集合的真子集，逐項分析判斷即可.
【詳解】由題意可知：是選項中對應集合的真子集，
結合選項可知只有選項A符合.
故選：A.
6．D
【分析】根據(jù)不等式與方程的關系，結合韋達定理，求得的關系，再分析選項即可求解．
【詳解】對于A，由已知可得開口向下，即，故A錯誤；
對于BCD，是方程的兩個根，
所以，
所以，，
，故BC錯誤，D正確；
故選：D．
7．C
【分析】利用增函數(shù)的定義并結合一次函數(shù)與二次函數(shù)性質(zhì)列出不等式求解即可.
【詳解】對任意，當時都有成立，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
8．B
【分析】方法一：根據(jù)可分比集合，再通過時成立，時不成立得到正整數(shù)的最大值為7；方法二：分析出，再證明滿意題意.
【詳解】解法一：一方面，取滿足題意，則；
另一方面，若，不妨設，則，則，此時，且，矛盾！
綜上所述，正整數(shù)的最大值為7.
解法二：，則，又，即若，內(nèi)的數(shù)均不屬于，
若，則，則，又，矛盾，
所以，當時，符合，所以．
故選：B.
9．BC
【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)定義及函數(shù)單調(diào)性逐項判斷即得.
【詳解】對于A，函數(shù)定義域為，不是偶函數(shù)，A錯誤；
對于B，函數(shù)定義域為R，，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，B正確；
對于C，函數(shù)定義域為R，，是偶函數(shù)，
且當時，，則其在上單調(diào)遞增，C正確；
對于D，因為，，則，不是偶函數(shù)，D錯誤.
故選：BC
10．ACD
【分析】由不等式的性質(zhì)可得，即可根據(jù)選項逐一求解.
【詳解】由已知可得，
對于A項，，所以，由及不等式性質(zhì)得，故A成立.
對于B項，，因為，所以，
當時，，即，故B項不一定成立.
對于C項，當時，，所以；當時，成立，故C項一定成立.
對于D項，由，，得，所以，故D項一定成立.
故選：ACD
11．ABC
【分析】根據(jù)已知推得的周期為4，且、分別是對稱軸和對稱中心判斷A，進而有判斷B；利用周期性求函數(shù)值判斷C；求得、，待定系數(shù)法求函數(shù)中參數(shù)值，再由周期性求上解析式判斷D.
【詳解】由的圖象關于對稱，即的圖象關于對稱，
所以，又，故，
所以，且的一條對稱軸為，
即的周期為4，且、分別是對稱軸和對稱中心，A對；
所以，即，關于對稱，B對；
，C對；
若，則，即，
又，，即，
所以，
則，可得，故，
所以時，D錯.
故選：ABC
12．
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域分析求解即可.
【詳解】因為函數(shù)的定義域為，
即，可得，
所以的定義域為.
故答案為：.
13．8
【分析】應用基本不等式“1”的代換求目標式最小值，注意取值條件.
【詳解】由題設，
當且僅當時取等號，故最小值為8.
故答案為：8
14．
【分析】根據(jù)解析式畫出大致圖象，結合的性質(zhì)研究臨界情況下參數(shù)值，數(shù)形結合確定參數(shù)范圍.
【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式，可得函數(shù)大致圖象如下：

而恒過定點，
當與在處相切時，有僅有一個解，
所以，此時，
當過時，，此時，
結合圖象，知時，交點至少兩個.
故答案為：
15．(1)，；
(2).
【分析】（1）解一元二次不等式求集合A，再應用集合的交并補運算求集合；
（2）根據(jù)題意有，討論集合B，列對應不等式求參數(shù)范圍.
【詳解】（1）由，，
所以或，則，.
（2）由題意，若，則，可得，
若，則且，可得，
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
16．(1)
(2)當時，;當時，.
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得的解析式.
（2）對進行分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求得最值.
【詳解】（1）∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，
則，
∴，
設，則，
∴，
所以.
（2）當時，由二次函數(shù)的性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，可得此時；
當時，由二次函數(shù)的性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，
所以，可得此時，
綜上，當時，；當時，.
17．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）先因式分解，然后對進行分類討論，從而求得正確答案.
（2）對進行分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.
【詳解】（1），
①當時，不等式的解集為；
②當時，不等式的解集為；
③當時，不等式的解集為.
（2）當，對稱軸為，
區(qū)間中點為，比較與的關系，
①當，即時，；
②當，即時，；
綜上可得.
18．(1)為奇函數(shù)，證明見解析；
(2)在上的單調(diào)遞增，證明見解析；
(3).
【分析】（1）利用奇偶性定義證明；
（2）利用單調(diào)性定義證明；
（3）根據(jù)（1）（2），將不等式化為在上恒成立，分類討論并結合二次函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍.
【詳解】（1）為奇函數(shù)，證明如下：
由解析式知，函數(shù)定義域為R，且，
所以為奇函數(shù)；
（2）在上的單調(diào)遞增，證明如下：
令，則，
，而，，
所以，即在上的單調(diào)遞增.
（3）由（1）（2）知：在R上單調(diào)遞增，且，
所以，
故，即在上恒成立，
當時，有，滿足題設；
當時，則，
綜上，.
19．(1)；
(2)證明見解析；
(3).
【分析】（1）利用復合函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)值域求的值域；
（2）只需證明，即可證結論；
（3）根據(jù)（2）結論有，令得，結合題設條件有，即可求參數(shù)范圍.
【詳解】（1）由復合函數(shù)的單調(diào)性，易知在R上單調(diào)遞減，
由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，，即，故；
（2）由，即，故關于中心對稱，得證；
（3）由（2）及，知，
對于，以為主元且，則在上遞減，
所以，問題化為任意，都有，
只需，則，則，又，
所以，即參數(shù)n的最大值為.
【點睛】關鍵點點睛：第三問，問題化為任意，使為關鍵.

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